一、內容與解析
(一)內容:二次函式性質的再研究。
(二)解析:二次函式問題多以解答題的一個部分出現,主要考查利用二次函式的影象和性質研究最值、值域、單調性、求函式值等問題.特別是定軸動區間或(動軸定區間)問題是大學聯考考查的熱點也是難點,學本節時應加強練習,並能靈活運用數形結合的思想來解決問題.
二、目標及其解析:
(一)目標
(1)掌握二次函式的求最值、對稱性和平移以及二次函式解析式的求法和二次函式的應用;
(二)解析
(1)二次函式是一重要的函式,掌握好二次函式,對學生學習以後的函式有重要的啟發作用,學習時,要特別注意其性質的把握,這裡面一個最關鍵的是對稱軸。
三、問題診斷分析
研究二次函式問題一定注意問題成立的範圍,超出範圍的解是無效的.因此研究二次函式時,不僅要關注函式的解析式還要關注函式的定義域,這一點對初學者來說,是很容易犯錯的。
四、支援條件分析
在本節課一次遞推的教學中,準備使用PowerPoint 2003。因為使用PowerPoint 2003,有利於提供準確、最核心的文字資訊,有利於幫助學生順利抓住老師上課思路,節省老師板書時間,讓學生儘快地進入對問題的分析當中。
五、教學過程
(一)研探新知:
(1)1.二次函式 的性質
圖 像
開口方向① ②
頂點座標③ ④
對 稱 軸
單調區間單調遞減區間
⑤調遞增區間 單調遞增區間
⑥單調遞減區間
最 值當 ,取 得最小值為
當 ,取得最大值為
2.二次函式性質的應用
①如何確定二次函式的性質
②如何確定二次函式在閉區間上的值域或最值
3.二次函式的三種解析式
①頂點式:y=a(x-h)2+k (a≠0),其中點(h,k)為頂點,對稱軸為x=h.如果已知頂點,則可設成這種形式.
②交點式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫座標.如果已知二次函式與x 軸的交點座標,則可設成這種形式.
③一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函式上任意3點座標,可設為這種形式.
(二)型別題探究
題型一 二次函式的最值與解析式問題
例1 已知 ,函式 、 表示函式 在區間 上的最小值,最大值,求 、 表示式.
解析:由 ,知影象關於 對稱,結合影象知,
當 ,即 時, ;
而當 ,即 時, ;
當 ,即 時, .
當 ,即 時, ;
當 ,即 時, .
題型二 二次函式的實際應用問題
例2 某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時,可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.(1)當每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車?(2)當每輛車的.月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解析:(1)當每輛車的月租金定為3600元時,未租出的車輛數為: ,所以這時租出了88輛車;
(2)設每輛車的月租金定為 元,則租賃公司的月收益為:
整理得: ,
所以,當 時, 取最大值,其最大值為 ,
即當每輛車的月租金定為4050元時,租賃公司的月收益最大,最大收益為307050元.
設計意圖:通過以上問題的探討,使學生逐漸體會研究函式問題的一般方法。
(三)小結:
六、目標檢測
一、選擇題
1. 二次函式y=ax2+bx+c滿足f(4)=f(1),那麼( )
A. f(2)>f(3) B. f(2)<f(3)
C. f(2)=f(3) D. f(2)與f(3)的大小關係不能確定
1. C 解析:函式對稱軸兩側的單調性與二次項係數的正負有關,結合對稱軸的位置即可得到答案.
2. 一元二次方程 有一個正實數根和一個負實數根,則a的範圍是( )
A. B. C. D.
2. C 解析:方程△=4-4a>0,設兩根為 ,則 .∵ 異號,∴ ,結合兩個不等式可得解.
3.函式 是單調函式,則( )
A. B. C. D.
3.A 解析:函式 的對稱軸 ,∴函式 )是單調函式 ,
4.二次函式 ,若 ,則 等於( )
A. B. C. D.
4.D 解析:二次函式 對稱軸 ,頂點座標 ,所以 =
二、填空題
5.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營.據市場分析,每輛客車營運的利潤y與營運年數x(x∈Z)為二次函式關係(如圖),則客車有營運利潤的時間不超過________年.
5.7 解析:首先根據條件求出y=-(x-6)2+11,本題要求的“客車有營運利潤的時間”實際上是求影象與x軸兩個交點的橫座標之差.
6.若函式f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4]上是減函式,那麼實數a的取值範圍是_____
6.a≤-3 解析:利用二次函式的單調區間與其對稱軸的關係來解題,已知函式二次項係數為1>0,所以在對稱軸的左側該函式為減函式.該函式對稱軸為 ,所給區間都在對稱軸的左側,即a≤-3
三、解答題
7.(1)求函式 (x∈N)的最小值.
(2)在區間 上,求函式 的最大值與最小值.
(3)在區間 上,求函式 的最大值與最小值.
7.解析:(1)因為 ,又因為 ∈N,所以當 =1或 =2時函式值都等於-9且最小.
(2)該函式的對稱軸為x= ,所給區間 在對稱軸的同側,都在右側,又二次項係數為1>0,所以在 上該函式為增函式,所以當 =2時,函式值最小,最小值為-9,當 =3時函式有最大值,最大值為-7
(3)所給區間在對稱軸的異側,所以在對稱軸的時候對應的函式值最小,最小值為 ,當 時, ,當 時, ,所以該函式的最大值為 .
8.已知二次函式當x=4時有最小值-3,且它的圖象與x軸兩交點間的距離為6,求這個二次函式的解析式.
8. 解析:解法一:設二次函式解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),由條件,可得拋物線的頂點為(4,-3),且過(1,0)與(7,0)兩點,將三個點的座標代入,得 解得
∴所求二次函式解析式為y= x2- x+ .
解法二:∵拋物線與x軸的兩個交點座標是(1,0)與(7,0),
∴設二次函式的解析式為y=a(x-1)(x-7),把頂點(4,-3)代入,得-3=a(4-1)(4-7),解得a= .
∴二次函式解析式為y= (x-1)(x-7),即y= x2- x+ .
解法三:∵拋物線的頂點為(4,-3),且過點(1,0),∴設二次函式解析式為y=a(x-4)2-3.
將(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a= .
∴二次函式解析式為y= (x-4)2-3,即y= x2- x+ .
大學聯考能力演練
9.若函式f(x)=x2+ax+b與x軸的交點為(1,0)和(3,0),則函式f(x)的單調性
A.在(-∞,2]上減少,在[2,+∞)上增加 B.在(-∞,3)上增加
C.在[1,3]上增加 D.不能確定
9. A 解析:由已知可得該函式的對稱軸為 ,又二次項係數為1>0,所以在(-∞,2]上為單調遞減函式,在[2,+∞)上為單調遞增函式.
10.已知函式 ,且對任意的實數 都有 成立
(1)求實數 的值; (2)利用單調性的定義判斷函式 在區間 上的單調性.
10.解析: (1) ,所以該函式的對稱軸為 ,
根據函式解析式可知 ,所以 .
(2)由(1)可知 ,在 上該函式為增函式,下面就用定義去證明:
設 ,則
即 ,故函式 在區間 上的增函式
11.已知函式f(x)=x2-2ax+a2+1,x∈[0,1],若g(a)為f(x)的最小值.
(1)求g(a); (2)當g(a)=5時,求a的值.
11.解析: f(x)=(x-a)2+1,
(1)當0≤a≤1時,g(a)=f(a)=1;
當a<0時,g(a)=f(0)=a2+1; a="">1時,g(a)=f(1)=a2-2a+2.
∴g(a)=
(2)令 a=-2. 令 a=3.∴ 或 時,