1 三個數abc成等差數列，則c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差數列
等差：an-(an-1)=常數 (n≥2)
等比：an/(an-1=常數 (n≥2)
等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)
等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我們推測數列{an}的通項公式為an=5n-4
下面用數學規納法來證明：
1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立
2)假設當n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
於是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1時，推測仍成立。
3
在新的數列中
An=S[4n-(4n-4)]
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d為原數列公差)
20d為常數,所以新數列為等差數列上，an=5n-4即為數列的通項公式，故它為一等差數列。
4
A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得[A(n+1)/2^(n+1)]-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差為3/4An除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數列
5
證明：
an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2
2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1
(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1 (1)
同理
(n-1)*(an+1)=nan-a1 (2)
(1)-(2)
得到
(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)
2an=an-1+an+1
所以an+1-an=an-an-1
所以數列{an}是等差數列
那麼你就設直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b
於是它是直角三角形得到
a²+(a+b)²=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化簡得a²=2ab+3b²
兩邊同時除以b²
解得a/b=3 即a=3b
所以三邊可以寫為 3b ，3b+b 。 3b+2b
所以三邊之比為3：4：5
6
設等差數列 an=a1+(n-1)d
最大數加最小數除以二即
[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數為
Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2
得證
【擴充套件閱讀篇】
用文字記載一個星期來的自己的思想、學習、生活情況的文字記錄。
它有別於“流水賬”，日記，在於流水賬是有什麼就記錄什麼，不需要作任何修飾和認識的昇華，而且內容不限，一週之內可以記錄您每一天的任何事情。而週記就是：每週一次，並且對自己的生活學習思想認識有一定的昇華。 週記是對個人和某個團體一週的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一週裡讓你有所感觸的事。
編輯本段作用
從學生角度來說，週記用來了解學生的思想動態，學習情況，答疑解惑，並通過週記的形式而置一些跟教育主題有關的主題作文，提高學生的認識，從而在全班範圍內形成正確、積極、健康的輿論環境，併為主題班會準備材料，提高同學們參與的積極性。
從老師的角度來說，週記用來回顧一週的得失，提出經驗教訓，讓班主任對班上情況有一個更加詳細和全面的瞭解，提高工作的針對性和準確性。老師除了用來了解同學一週發生的事情外，還用來鍛鍊同學的文章水平，使同學文章水平得以提高。
編輯本段格式
週記的題目(寫作範圍：讀後感;見聞;趣事;數學週記......)
1.記事
2.自評(優，缺)
3.解決措施
4.下週計劃
5.自己的所見所聞所感
其實週記並沒有一種標準的格式，只需要同學們每週把自己的所看到的、聽到的、想到的、經歷的東西記下來，形成的文字片斷或一篇文章，一週寫一則就可以了。
編輯本段怎麼寫週記
不少同學又開始問了，週記怎麼寫?國小國中週記開頭怎麼寫?
如果是一個片斷，將事情寫清、將要表達的意思表達完整就行了，當然，時間充裕，你可以將前因後果，你的想法補充完整，形成一篇文章。不論無論，週記沒有什麼特殊規定的格式，跟我們平時說話寫文章一樣，要求就是條理清楚地說清一件事、一個想法。
週記的關鍵是要真，真事、真情、真想，不要虛構。用力表達你正經歷的、正思考的事，對提高你的寫作能力是有幫助的，不要當作負擔，也不要覺得有任何壓力，因為真的，只要排列一下就行了。
同時，週記交給老師後，也可讓老師來了解你的`生活、你的想法，或許對你有幫助。
去年也談過週記怎麼寫，轉到下面，大家再看看。
老師佈置了週記作業，怎麼寫呢?許多同學發了愁。
其實週記也好，日記也好，都是要寫一段時間內印象最深的事。週記就是本星期內的事。
回想一下這個星期發生了什麼，在學習上有什麼問題，班級裡有什麼新鮮事，和朋友老師間關係如何，這些都可以寫，和日記相比周記可以寫的內容更多了，需要突出一兩個重點。
如果大腦裡立刻就想起一二件事情，記憶深刻，那麼恭喜，你就有材料了，將它們的前因後果，事情經過，個人感想寫清楚吧。
有人會問：不好意思，一想到過去的幾天，我印象裡只記得吃了一次大餐，或者只記得被老師罵了一頓，或者跟同學鬧彆扭心裡不爽，這些都沒有重要意義，怎麼能寫呢?告訴你，既然你想到了，就說明是值得寫的。有意義的事情，不一定非得是意義重大，思想崇高，自己的生活瑣事，也是值得一寫的，只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子，串起了我們的歡笑，串起了我們的憂愁，串起了我們的無聊，引領著我們一天天，不知不覺地在長大。
更有一些同學說，這個周最無味，什麼也沒有發生，沒什麼可寫的。再想想，再想想，多個心眼，仔細觀察，你會找到的。
