利用導數是可以證明很多定律的，比如不等式之類的。下面就是本站小編給大家整理的利用導數證明不等式內容，希望大家喜歡。
1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)
設函式f(x)=x-ln(x+1)
求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函式
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..證明：a-a^2>0 其中0
F(a)=a-a^2
F'(a)=1-2a
當00;當1/2
因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有當00
3.x>0,證明：不等式x-x^3/6
先證明sinx
因為當x=0時，sinx-x=0
如果當函式sinx-x在x>0是減函式，那麼它一定<在0點的值0，
求導數有sinx-x的導數是cosx-1
因為cosx-1≤0
所以sinx-x是減函式，它在0點有最大值0，
知sinx
再證x-x³/6
對於函式x-x³/6-sinx
當x=0時，它的值為0
對它求導數得
1-x²/2-cosx如果它<0那麼這個函式就是減函式，它在0點的值是最大值了。
利用導數證明不等式方法2要證x²/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函式關係，令x=0時，x²/2+cosx-1值為0
再次對它求導數得x-sinx
根據剛才證明的當x>0 sinx
x²/2-cosx-1是減函式，在0點有最大值0
x²/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x³/6-sinx是減函式，在0點有最大值0
得x-x³/6
利用函式導數單調性證明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x² x∈[0,1]
則f'(x)=1-2x
當x∈[0,1/2]時,f'(x)>0,f(x)單調遞增
當x∈[1/2,1]時,f'(x)<0,f(x)單調遞減
故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值為零
故當x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n為正整數，且1
利用導數證明不等式方法3一. 利用導數的幾何意義求光滑曲線切線的'斜率
函式y=f(x)在點的導數 表示曲線y=f(x)在點 處切線的斜率,這就是導數的幾何意義。我們通過例題看一下,如何利用導數的幾何意義求光滑曲線切線的斜率。
例題1 求曲線y=x2在點(1,1)處切線的方程。
解:由導函式定義
應用點斜式方程,可得曲線在(1,1)處的切線方程:y-1=2(x-1)
即2x-y-1=0 .
二. 利用導數的物理意義求瞬時速度、加速度、電流強度等。
導數的物理意義沒有統一的解釋,對於不同的物理量,導數有不同的物理意義。例如,變速直線運動路程函式S對時間t的導數 就是瞬時速度;瞬時速度V對時間t的導數 就是加速度;通過導體某截面的電量Q對時間t的導數 就是電流強度。下面我們看一個具體的例題。
例題2 已知物體的運動規律為s=t3(米) ,求這個物體在t=2秒時的速度。
解:有導函式的定義
有運動物體運動路程對時間的物理意義可知
將t=2,帶入上式,得
三. 利用導數的符號判別函式在某一區間的單調性及利用導數證明不等式
導數是對函式的影象與性質的總結與拓展,導數是研究函式單調性極佳、最佳的重要工具,廣泛運用在討論函式影象的變化趨勢及證明不等式等方面。具體例題如下:
例題3 討論函式 的單調性。
解: ,當x>0時, >0 ;當x<0時, <0 .函式的定義域為 ,因為在 內 <0,所以函式 在 上單調減少;因為在 內 >0,所以函式 在 上單調增加。
例題4 證明當x>0時,
解:設 則 , 在x=0時為零,在 內均大於零,故函式 在 上單調增加,對於任何x>0,有 .即
所以
四. 利用導數研究函式的極值
根據導數在駐點兩側的符號,可以判斷函式在該駐點是極大值還是極小值。需要注意的是極值點可能是駐點,也可能是導數不存在的點。下面我們看一個有駐點求極值的例題:
例題5 求函式 的極值 .
解:這個函式的定義域為
令 =0,求得駐點
在 內, >0 ;在(1,3)內, <0;在 內, >0.由此可知,
五. 利用導數研究函式函式的最大值和最小值。
人們做任何事情,小到日常用具的製作,大至生產科研和各類經營活動,都要講究效率,考慮怎樣以最小的投入得到最大的產出,這類問題在數學上往往可以歸納為求某一函式在某個區間內的最大與最小值的問題。
例6、把長度為16cm的線段分成兩段,各圍成一個正方形,它們的面積之和的最小值為多少?
解:設一段長為xcm,則另一段長(16-x)cm.
∴面積和
∴S′= -2,令S′=0有x=8.
在 內, <0 ;在(8,16)內, >0 .
∴當x=8時,S有最小值8cm2.
