(1)定義式:
任意兩項
的關係為
(5)等比中項:
若
為
或者
無窮遞縮等比數列各項和公式:公比的絕對值小於1的無窮等比數列,當n無限增大時的極限叫做這個無窮等比數列各項的和。
(7)由等比數列組成的新的等比數列的.公比:
{an}是公比為q的等比數列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
則,A、B、C構成新的等比數列,公比Q=q^n
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
則,A、B、C構成新的等比數列,公比Q=q
性質
(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am*an=ap*aq。
(2)在等比數列中,依次每k項之和仍成等比數列。
(3)若“G是a、b的等比中項”則“G^2=ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比數列,公比為q1,{bn}也是等比數列,公比是q2,則
{a2n},{a3n}…是等比數列,公比為q1^2,q1^3…
{can},c是常數,{an*bn},{an/bn}是等比數列,公比為q1,q1q2,q1/q2。
(5)等比數列中,連續的,等長的,間隔相等的片段和為等比。
(6)若(an)為等比數列且各項為正,公比為q,則(log以a為底an的對數)成等差,公差為log以a為底q的對數。
(7) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比數列中,首項A1與公比q都不為零。
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(8)由於首項為a1,公比為q的等比數列的通項公式可以寫成an=(a1/q)*q^n,它的指數函式y=a^x有著密切的聯絡,從而可以利用指數函式的性質來研究等比數列。
求通項方法
(1)待定係數法:已知a(n+1)=2an+3,a1=1,求an?
構造等比數列a(n+1)+x=2(an+x)
a(n+1)=2an+x,∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
∴(a(n+1)+3)/(an+3)=2
∴{an+3}為首項為4,公比為2的等比數列,所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
(2)定義法:已知Sn=a·2^n+b,,求an的通項公式?
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1
實際應用
等比數列在生活中也是常常運用的。
如:銀行有一種支付利息的方式——複利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,
在計算下一期的利息,也就是人們通常說的“利滾利”。
按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期。