高中數學《函式的簡單性質》
重難點：領會函式單調性的實質，明確單調性是一個區域性概念，並能利用函式單調性的定義證明具體函式的單調性，領會函式最值的實質，明確它是一個整體概念，學會利用函式的單調性求最值;函式奇偶性概念及函式奇偶性的判定;函式奇偶性與單調性的綜合應用和抽象函式的奇偶性、單調性的理解和應用;瞭解對映概念的理解並能區別函式和對映.
考綱要求：①理解函式的單調性、最大(小)值及其幾何意義;結合具體函式，瞭解函式奇偶性的'含義;並瞭解對映的概念;
②會運用函式影象理解和研究函式的性質.
經典例題：定義在區間(-∞，+∞)上的奇函式f(x)為增函式，偶函式g(x)在[0，+∞ )上圖象與f(x)的圖象重合.設a>b>0，給出下列不等式，其中成立的是
f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
當堂練習：
1.已知函式f(x)=2x2-mx+3，當
時是增函式，當
時是減函式，則f(1)等於 ( )
A.-3B.13 C.7 D.含有m的變數
2.函式
是( )
A. 非奇非偶函式 B.既不是奇函式,又不是偶函式奇函式 C. 偶函式 D. 奇函式
3.已知函式(1)
, (2)
,(3)
(4)
,其中是偶函式的有( )個
A.1 B.2 C.3 D.4
4.奇函式y=f(x)(x≠0)，當x∈(0，+∞)時，f(x)=x-1，則函式f(x-1)的圖象為 ( )
5.已知對映f:A
B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在對映f下的象,且對任意的
,在B中和它對應的元素是
,則集合B中元素的個數是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.函式
在區間[0, 1]上的最大值g(t)是 .
7. 已知函式f(x)在區間
上是減函式,則
與
的大小關係是 .
8.已知f(x)是定義域為R的偶函式,當x<0時, f(x)是增函式,若x1<0,x2>0,且
,則
和
的大小關係是 .
9.如果函式y=f(x+1)是偶函式，那麼函式y=f(x)的圖象關於_________對稱.
10.點(x,y)在對映f作用下的對應點是
,若點A在f作用下的對應點是B(2,0),則點A座標是 .
13. 已知函式
,其中
，(1)試判斷它的單調性;(2)試求它的最小值.
14.已知函式
，常數
。
(1)設
，證明：函式
在
上單調遞增;
(2)設
且
的定義域和值域都是
，求
的最大值.
13.(1)設f(x)的定義域為R的函式,求證:
是偶函式;
是奇函式.
(2)利用上述結論，你能把函式
表示成一個偶函式與一個奇函式之和的形式.
14. 在集合R上的對映:
,
.
(1)試求對映
的解析式;
(2)分別求函式f1(x)和f2(z)的單調區間;
(3) 求函式f(x)的單調區間.
參考答案：
經典例題：
解析：本題可採用三種解法.
方法一：直接根據奇、偶函式的定義.
由f(x)是奇函式得f(-a)=-f(a)，f(-b)=-f(b)，g(a)=f(a)，g(b)=f(b)，g(-a)=g(a)，g(-b)=g(b).
∴以上四個不等式分別可簡化為①f(b)>0;②f(b)<0;③f(a)>0;④f(a)<0.
又∵f(x)是奇函式又是增函式，且a>b>0，故f(a)>f(b)>f(0)=0，從而以上不等式中①、③成立.故選C.
方法二：結合函式圖象.
由下圖，分析得f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a)，f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b).
從而根據所給結論，得到①與③是正確的.故選C.
方法三：利用間接法，即構造滿足題意的兩個函式模型f(x)=x，g(x)=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可驗證正確的是①與③，故選C.
答案：C
當堂練習：
B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6.
;7.
;
8.
>
;9. x=-1; 10. (
);
11. 解: (1)函式
，設
時，
，所以
在區間
上單調遞增;
(2)從而當x=1時，
有最小值
.
12. 解:(1)任取
，
，且
，
， 因為
，
，
，所以
，即
，故
在
上單調遞增.
(2)因為
在
上單調遞增，
的定義域、值域都是
，
即
是方程
的兩個不等的正根
有兩個不等的正根.
所以
，
∴
，
∴
時，
取最大值
.
13.解: (1)利用定義易證之; (2)由(1)得
=
.
14. 解: (1)
; (2)當
時， f1(x)單調遞減， 當
時， f1(x)單調遞增; 當
時， f2(z) 單調遞減， 當
時， f1(x)單調遞增.
(3) 當
和
時， f(x)分別單調遞減;
當
和
分別單調遞增.
