數 學
三、試卷結構
(一)題型結構
1.填空題:8-10小題,佔分比例約為20%;
2.選擇題:8-10小題,佔分比例約為20%;
3.解答題:8-10個小題,佔分比例約為60%,解答題包括計算題、證明題、應用性問題、實踐操作題、拓展探究題等不同形式。命題時應設計結合現實情境的開放性、探索性問題,杜絕人為編造的繁難計算題和證明題。
(二)內容結構
1.各能力層級試題比例:瞭解約佔10%,理解約佔20%,掌握約佔60%,靈活運用約佔10%.
2. 各知識板塊試題比例:數與代數約佔50%,空間與圖形約佔35%,統計與概率約佔15%,考試內容覆蓋面要求達到《課程標準》規定內容的80%。。
(三)難度結構
試卷整體難度控制在0.70-0.80之間,容易題約佔70%,稍難題約佔15%,較難題約佔15%。
四、題型示例
(一)選擇題
例1 如圖,在□ABCD中,AC平分∠DAB,AB = 3,
則□ABCD的周長為
A.6 B.9
C.12 D.15
【答案】C.
【說明】本題屬於“圖形與幾何”板塊內容,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.80~0.90,為容易題.
例2 函式 的自變數 的取值範圍是( )
A. B. C. 且 D. 且
【答案】C.
【說明】本題屬於“數與代數”板塊內容,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.70~0.80,為稍難題.
例3 將10名同學分成甲、乙兩隊進行籃球比賽,他們的身高(單位:cm)如下表所示:
隊員1 隊員2 隊員3 隊員4 隊員5
甲隊 177 176 175 172 175
乙隊 170 175 173 174 183
設兩隊隊員身高的平均數依次為 , ,身高的方差依次為 , ,則下列關係
中完全正確的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B.
【說明】本題屬於“統計與概率”板塊內容,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.70~0.80,為稍難題.
例4 如圖,點是以線段為公共弦的兩條圓弧的中點,,點分別是線段上的動點,設,則能表示與的函式關係的圖象是( )
【答案】C.
【說明】本題屬於“數與代數”與“圖形與幾何”板塊內容綜合題,能力要求為“靈活運用”層級,預估難度為0.50~0.60,為較難題.
(二)填空題
例5 方程x +1=2的解是 .
【答案】 .
【說明】本題屬於“數與代數”板塊內容,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.80~0.90,為容易題.
例6 某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐,
它的高AO = 8米,母線AB與底面半徑OB的夾角為 , ,則圓錐的底面積是 平方米(結果保留π).
【答案】 .
【說明】本題屬於“圖形與幾何”板塊內容,能力要求
為“掌握”層級,預估難度為0.80~0.90,為容易題.
例7某電視臺在2013年春季舉辦的青年歌手大獎賽活動中,得獎選手由觀眾發簡訊投票產
生,並對發簡訊者進行抽獎活動.一萬條簡訊為一個開獎組,設一等獎1名,二等獎3名,三等獎6名.王小林同學發了一條簡訊,那麼他獲獎的概率是________.
【答案】 .
【說明】本題屬於“統計與概率”板塊內容,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.70~0.80,為稍難題.
(三)解答題
例8 計算: + 30° .
【答案】原式= .
【說明】本題屬於“數與代數”板塊內容,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.80~0.90,為容易題.
例9 如圖,小明欲利用測角儀測量樹的高度.已知他離樹的水平距離BC為10 m,測角儀的
高度CD為1.5 m,測得樹頂A的仰角為33°.求樹的高度AB.
(參考資料:sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)
【答案】過點D作DE⊥AB,垂足為E.
在Rt△ADE中,DE=BC=10,∠ADE=33°,
,
所以 .
AB=AE+BE=AE+CD 6.5+1.5=8(m).
答:樹的高度AB約為8 m.
【說明】本題屬於“數與代數”板塊內容在求解實際問題中的應用,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.70~0.80,為稍難題.
例10 如圖①,在 中,點 、 是對角線 上兩點,且 .
求證: .
【答案】如圖②所示,連線BD交AC於O點.
因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以OA=OC,OB=OD.
又AE=CF,所以OE=OF,四邊形BEDF是平行四邊形
所以∠EBF=∠EDF.
【說明】本題屬於“圖形與幾何”板塊內容,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.70~0.80,為稍難題.
例11 在一個不透明的盒子裡,裝有四個分別標有數字1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小、質地等完全相同.小明先從盒子裡隨機取出一個小球,記下數字為x;放回盒子搖勻後,再由小華隨機取出一個小球,記下數字為y.
(1)用列表法表示出(x,y)的`所有可能出現的結果;
(2)求小明、小華各取一次小球所確定的點(x,y)落在反比例函式 的圖象上的概率;
(3)求小明、小華各取一次小球所確定的數x、y滿足 的概率.
【答案】(1)用列表法表示出(x,y)的所有可能出現的結果如下:
x
y 1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
(2)可能出現的結果共有16個,它們出現的可能性相等.
滿足點(x,y)落在反比例函式 的圖象上(記為事件A)的結果有3個,即(1,4),(2,2),(4,1),所以P(A)= .
(3)能使x,y滿足 (記為事件B) 的結果有5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(B)= .
說明】本題屬於“統計與概率”與“數與代數”板塊內容綜合題,能力要求為“掌握”層級,預估難度為0.60~0.70,為較難題.
例12 如圖①,在平面直角座標系中,點 在直線 上,過B點作 軸的垂線,垂足為A, OA=5.若拋物線 過點 、 .
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若A點關於直線 的對稱點為C,判斷點 是否在該拋物線上,並說明理由;
(3)如圖②,在(2)的條件下,圓 是以 為直徑的圓.過原點 作圓 的切線 , 為切點(點 與點 不重合).拋物線上是否存在一點 ,使得以 為直徑的圓與圓 相切?若存在,求出點 的橫座標,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)把 、 分別代入 ,得
由此解得
故該拋物線的解析式為
(2)點 在該拋物線上.理由如下:
如圖③,過點 作 軸於點 ,連結 ,設 與 相交於點 .
因為點 在直線 上,所以點 的座標為 .
又點 、 關於直線 對稱,
所以 , , , , .
又 軸,由勾股定理得 .
因為 ,
所以 , .
由 , ,
得 .
又 ,
所以 ∽ , .
所以 , , .
所以點 的座標為 .
當 時, .
故點 在拋物線 上.
(3)拋物線上存在點 ,使得以 為直徑的圓與圓 相切.
過點 作 軸於點 ;連結 ;過點 作 軸於點 .
則 ∥ ∥ .
因為 , ,
點 是 的中點,由平行線分線段成比例定理得
.
所以 ,
同理可得 .
故點 的座標為 .
因為 ,所以 為圓 的切線.
又 為圓 的切線,
所以 ,
四邊形 為正方形, , .
又 = ,
所以 ≌ .
所以 , , .
設直線 的解析式為 ,把 、 分別代入 ,得 由此解得,
所以,直線 的解析式為
若以 為直徑的圓與圓 相切,
則點 為直線 與拋物線的交點.
設點 的座標為 ,
則有 , .
所以 .
整理得 ,
解得 .
所以,點 的橫座標為 或 .
【說明】本題屬於“數與代數”和“空間與圖形”兩板塊內容綜合題,能力要求為“靈活運用”層級,預估難度為0.40~0.50,為較難題.