試題型別：A
2015年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學 注意事項：
1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。
2.答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在本試題相應的位置。
3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。
4. 考試結束後，將本試題和答題卡一併交回。
第Ⅰ卷
一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
(1) 設複數z滿足 =i，則|z|=
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)sin20°cos10°-con160°sin10°=
(A) (B) (C) (D) (3)設命題P： n N， > ，則 P為
(A) n N, > (B) n N, ≤ (C) n N, ≤ (D) n N, =
(4)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x0，y0)是雙曲線C： 上的一點，F1、F2是C上的兩個焦點，若 <0，則y0的取值範圍是
(A)(- ， ) (B)(- ， )
(C)( ， ) (D)( ， )
(6)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下週八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內牆角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的'米約有
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
(7)設D為 ABC所在平面內一點 =3 ，則
(A) = + (B) = (C) = + (D) =
(8)函式f(x)= 的部分影象如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為
(A)( ),k (b)( ),k (C)( ),k (D)( ),k (9)執行右面的程式框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(10) 的展開式中， y²的係數為
(A)10 (B)20 (C)30(D)60
(11)圓柱被一個平面截去一部分後與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三檢視中的正檢視和俯檢視如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20 ，則r=
(A)1(B)2(C)4(D)8
12.設函式f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a 1，若存在唯一的整數x0，使得f(x0) 0，則a的取值範圍是( )
A.[- ，1) B. [- ， ) C. [ ， ) D. [ ，1)
第II卷
本捲包括必考題和選考題兩部分。第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答。第(22)題~第(24)題未選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本大題共3小題，每小題5分
(13)若函式f(x)=xln(x+ )為偶函式，則a=
(14)一個圓經過橢圓 的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標準方程為 。
(15)若x,y滿足約束條件 則 的最大值為 .
(16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值範圍是
三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
(17)(本小題滿分12分)
Sn為數列{an}的前n項和.已知an>0， (Ⅰ)求{an}的通項公式：
(Ⅱ)設 ,求數列 }的前n項和
(18)如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。
(1)證明：平面AEC⊥平面AFC
(2)求直線AE與直線CF所成角的餘弦值
(19)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需瞭解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1(i=1,2，···，8)資料作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值。
| （x1- ）2 | （w1- ）2 | （x1- ）(y- ) | （w1- ）(y- ) | |||
| 46.6 | 56.3 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
(Ⅱ)根據(Ⅰ)的判斷結果及表中資料，建立y關於x的迴歸方程;
(Ⅲ)以知這種產品的年利率z與x、y的關係為z=0.2y-x。根據(Ⅱ)的結果回答下列問題：
(i) 年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?
(ii) 年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大?
附：對於一組資料(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其迴歸線v= u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
(20)(本小題滿分12分)
在直角座標系xoy中，曲線C：y= 與直線y=ks+a(a>0)交與M,N兩點，
(Ⅰ)當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程;
(Ⅱ)y軸上是否存在點P，使得當K變動時，總有∠OPM=∠OPN?說明理由。
(21)(本小題滿分12分)
已知函式f(x)=
(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線 的切線;
(Ⅱ)用 表示m,n中的最小值，設函式 ，討論h(x)零點的個數
請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號後的方框塗黑。
(22)(本題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是☉O的直徑，AC是☉C的Q切線，BC交☉O於E
(I) 若D為AC的中點，證明：DE是O的切線;
(II) 若OA= CE，求∠ACB的大小.
(23)(本小題滿分10分)選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系 中。直線 : = 2，圓 ： ,以座標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極座標系。
(I) 求 ， 的極座標方程;
(II) 若直線 的極座標方程為 ，設 與 的交點為 , ,求 的面積
(24)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函式 =|x+1|-2|x-a|，a>0.
(Ⅰ)當a=1時，求不等式 f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的影象與x軸圍成的三角形面積大於6，求a的取值範圍
