文章摘要：國小數學難題解法大全之特殊解題方法:窮舉法。
【窮舉法】
解答某些數學題，可以把問題所涉及到的數量或結論的有限種情況，不重複不遺漏地全部列舉出來，以達到解決問題的目的。這種解題方法就是窮舉法。
例1 從甲地到乙地有A、B、C三條路線，從乙地到丙地有D、E、F、G四條路線。問從甲地經過乙地到達丙地共有多少條路線？（如圖3.28）
分析：從甲地到乙地有3條路線，從乙地到丙地有4條路線。從甲地經過乙地到達丙地共有下列不同的路線。
解：3×4=12
答：共有12條路線。
例2 如果一整數，與1、2、3這三個數，通過加減乘除運算（可以新增括號）組成算式，能使結果等於24，那麼這個整數就稱為可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12這九個數中，可用的有_______個。（1992年國小數學奧林匹克初賽試題）
分析：根據題意，用列式計算的方法，把各算式都列舉出來。
4×（1+2+3）=24 （5+1+2）×3=24
6×（3+2-l）=24
8×3×（2-1）=24 9×3—1—2—24
10×2+l+3=24 11×2+3-l=24
12×（3+1-2）=24
通過計算可知，題中所給的9個數與1、2、3都能夠組成結果是24的算式。
答：可用的數有9個。
例3 從0、3、5、7中選出三個數字能排成_______個三位數，其中能被5整除的三位數有____個。（1993年全國國小數學競賽預賽試題）
分析：根據題中所給的數字可知：
三位數的百位數只能有三種選擇：
十位數在餘下的三個數字中取一個數字，也有3種選擇；
個位數在餘下的兩個數字中取一個數字，有2種選擇。
解：把能排成的三位數窮舉如下，數下標有橫線的是能被5整除的。
305， 307， 350， 357， 370， 375；
503， 507， 530， 537， 570， 573；
703， 705， 730， 735， 750， 753
答：能排成18個三位數，其中能被5整除的有10個數。
例4 數一數圖3.30中有多少個大小不同的三角形？
分析：為了不重複不遺漏地數出圖中有多少個大小不同的三角形，可以把三角形分成A、B、C、D四類。
A類：是基本的小三角形，在圖中有這樣的三角形16個；
B類：是由四個小三角形組成的三角形，在圖中有這樣的三角形7個。6個尖朝上，一個尖朝下。
C類：是由九個小三角形組成的三角形，在圖中有這樣的三角形3個，尖都朝上。
D類：是最大的三角形，圖中只有1個。
解：16+7+3+1=27（個）
答：圖中有大小不同的三角形共27個。
一年級下冊奧數輔導13 火柴棍遊戲（二）
文章摘要：在火柴棍算式中，數字和運算子號都是由火柴棍組成的。增、減或移動算式中的火柴棍，可使算式發生令人難以予料的奇妙變化。大膽嘗試和思維敏捷在解火柴棍算式中尤為重要。
在火柴棍算式中，數字和運算子號都是由火柴棍組成的。增、減或移動算式中的火柴棍，可使算式發生令人難以予料的奇妙變化。大膽嘗試和思維敏捷在解火柴棍算式中尤為重要。
在這裡，我們規定了下面的一套數字擺法：
另外，在這裡的運算子號如“+”號、“-”號也是由火柴棍組成的
這樣一來，用增減或移動火柴棍的辦法也可以使“+”號變“-”號或使“-”號變“+”。
需要事先著重說明的是，這裡“移動”火柴棍的意思是指把火柴棍從一個數字或運算子號上拿開，然後添到另一個數字或運算子號上去，因此算式中火柴棍的總數是不變的。
例1 只移動一根火柴棍，使下面的等式成立。
解：可以這樣想：要使等式成立，可以減小被減數。在上面的等式中，7是由兩根火柴棍構成的，去掉一根橫棍，“7”就要變成了“1”.但是1-1=0，要使等式成立只要把那根火柴棍添到減號上，使減號變成加號就可以成為1+1=2的等式了。
例2 只移動一根火柴棍，使下面的等式成立。
解：因為14+7-4=17，要使等式右邊等於11可以採用多減、少加的辦法。通過改變運算子號就可以達到多減少加的目的。
例3 只許移動一根火柴棍，使下式成立。
解：不難看出，等號左邊數太大，要使大數變小。經嘗試可得出辦法如下：只移動了一根火柴棍，使算式發生了驚人的奇妙變化!
國小數學難題解法大全之特殊解題方法（二）[1]
文章摘要：國小數學難題解法大全之特殊解題方法：設數法。
【設數法】
有些數學題涉及的概念易被混淆，解題時把握不定，還有些數學題是要求兩個（或幾個）數量間的等量關係或者倍數關係，但已知條件卻十分抽象，數量關係又很複雜，憑空思索，則不易捉摸。為了使數量關係變得簡單明白，可以給題中的某一個未知量適當地設一個具體數值，以利於探索解答問題的規律，正確求得問題的答案。這種方法就是設數法。設數法是假設法的一種特例。
給哪一個未知量設數，要便於快速解題。為了使計算簡便，數字儘可能小一點。在分數應用題中，所設的數以能被分母整除為好。若單位“ 1”未知，就給單位“1”設具體數值。
例1 判斷下列各題。（對的打√，錯的打×）
（1）除1以外，所有自然數的倒數都小於1.（ ）
（2）正方體的稜長和它的體積成正比例。（ ）
以上各數的倒數都小於1，就能猜測此題的說法是正確的。
第（2）小題，給正方體的稜長設數，分析稜長的變化與其體積變化的規律。
由上表看出，正方體的稜長擴大2倍，體積擴大8倍；稜長擴大4倍，體積擴大64倍……這不符合正比例的含義，就能斷定此題的說法是錯誤的。
幾分之幾?
分析：先把女生人數看作單位“1”，假定女生人數為60人。男生人數則為
女生人數比男生人數少幾分之幾，則為
解：通過設數分析，理清了數量關係，找到了解題線索，便能順利地列出綜合算式。
分析：這道題似乎條件不夠，不知從何下手。不妨根據路程、時間、速度的關係，給從A地去B地的速度設一個具體數值試一試。
假設去時每小時走20千米，那麼A、B兩地的路程就是：
沿原路回家的速度則為：
回家時所需的時間則為：
解：把全路程看作單位“1”。
例4 已知甲校學生數是乙校學生數的40%，甲校女生數是甲校學生數的30%，乙校男生數是乙校學生數的42%，那麼，兩校女生總數佔兩校學生總數的百分比是____。
（1993年國小數學奧林匹克競賽試題初賽B卷）
分析：題中沒有給出具體數量，且數量關係錯綜複雜，不易理清頭緒。我們不妨把乙校人數看作單位“ 1”，給乙校學生人數假定一個具體數值，這樣就化難為易了。若假定乙校學生為500人，則甲校學生為：
500×40%= 200（人）
由甲校女生數是甲校學生數的30%，則甲校女生數為：
200×30%=60（人）
由乙校男生數是乙校學生數的42%，則乙校女生數為：
500×（1-42%）=290（人）
文章摘要：國小數學難題解法大全之特殊解題方法：設數法。
兩校學生總數為：
500+200=700（人）
兩校女生總數為：
60+290=350（人）
則兩校女生總數佔兩校學生總數的百分比為：
350÷700=50%
解：[500×40%×30%+500×（1-42%）]÷（500+200）
=[60+290] ÷700
=350÷700
=50%
或[40%×30%+（1-42%）]÷（1+40%）=50%
答：兩校女生總數是兩校學生總數的50%.
例7 如圖3.32，正方形面積為20平方釐米，求陰影部分的面積。
分析：一般的解法是先求正方形的邊長和圓的半徑，再求圓面積，然後用正方形的面積減去圓面積，即得陰影部分的面積。這樣算就要用到開平方的知識。如果假設正方形的邊長為1，運用國小的知識便能解決這個問題。我們可以先求陰影部分的面積佔正方形面積的百分之幾，再計算陰影部分的面積。
設正方形的邊長為1，正方形的面積則為：
12=1
圓的半徑則為：
圓面積佔正方形面積的百分比為：
陰影部分的面積佔正方形面積的百分比為
1-78.5%=21.5%
由此可知陰影部分的面積為
20×21.5%=4.3（平方釐米）
解：設正方形的邊長為1，則陰影部分的面積為
=20×21.5%
=4.3（平方釐米）
答：陰影部分的面積為4.3平方釐米。
注意：如果把正方形的邊長設為其它數，計算的結果都是相同的。
一年級下冊奧數輔導14 火柴棍遊戲（三）
文章摘要：用火柴棍不但可以在桌面上擺出三角形、四邊形等平面圖形，而且還可以搭出立體圖形，如正方體、長方體。還可以擺出稜臺和稜錐等立體圖形，只是要你更耐心些，更細心些。
用火柴棍不但可以在桌面上擺出三角形、四邊形等平面圖形，而且還可以搭出立體圖形，如正方體、長方體。還可以擺出稜臺和稜錐等立體圖形，只是要你更耐心些，更細心些。其實這些都不難，只要用橡皮泥把火柴棍按要求粘起來，一個個立體模型骨架就會在你的桌面上“站”起來了。這種活動大有好處，既能鍛鍊動手能力，又能增強空間想像力。
立體模型做好之後，你再仔細進行觀察，數一數每個立體的頂點、稜和麵的數目，然後再經過簡單的計算就可能重新發現250多年前大數學家尤拉提出的一個著名公式；如果你在驚奇之餘，不滿足於對尤拉的敬佩和對公式的讚美，那就請你模仿尤拉、學習尤拉，也來搞點創造性的思維活動-用火柴棍當工具，做一次親身發現數學公式的嘗試吧。
例1 以下各小題做立體模型要用橡皮泥粘接。
(1)用六根火柴棍搭成一個四面體。
(2)用八根火柴棍搭成一個四稜錐。
(3)用十二根火柴棍搭成一個正方體。
(4)用九根火柴棍搭成一個三稜柱。
解：
數數、想想、算算
數一數你做出的各個立方體的頂點的個數、稜的'條數（即火柴棍的根數）、面數（需要想像出來）是多少?
算一算，每個立方體的頂點數-稜數+面數=?再把資料列成表。
解：
進一步想，任何一個立體圖形的頂點數、稜數、面數之間都有這種關係嗎?這是多麼奇妙的事情呀!
立體又叫多面體。任何一個多面體都有
這叫尤拉公式，最早是法國大數學家笛卡兒發現的，後來大數學家尤拉在1732年正式提出並給予了證明。
同學們，我們利用火柴棍這種簡單的東西，做做、想想、數數、算算又發現了大數學家們在250多年前曾經發現的簡單而又準確的事實，這對我們不是很富有啟發的嗎?我們能不能也發現一個公式呢?
例2 讓我們也來發現一個公式吧!見下圖。
模仿尤拉，數一數自己做的等邊三角形、正方形、菱形的頂點數、邊數和麵數（由邊圍住的面數）
填入下表(一)
進一步，我們再研究下列那些更復雜的圖形。見下圖。不過這時，我們需要把頂點數改為“交點數”（注意頂點也是交點）。把由幾條邊圍起來的平面部分的個數叫“小區域數”，為簡單起見，我們不再用火柴棍擺，而是畫出來就行了。
同樣把交點數，邊數和由邊圍成的面數填入下表(二)
解：表一
表二
得出公式：對於任何一個複雜的平面圖形
同學們看，我們不是也能發現公式嗎?希望大家在學習的過程經常想著：我能接著發現點什麼?
國小數學難題解法大全之速算公式（二）[1]
文章摘要：國小數學難題解法大全之速算公式：首同末合十的兩位數相乘公式、末同首合十的兩位數相乘公式、兩個末位是1的兩位數相乘公式、兩個首位是1的兩位數相乘公式、接近100的兩個數相乘公式。
【首同末合十的兩位數相乘公式】若兩個兩位數的十位數字都是a，個位上的數分別為b和c，且b+c=10，則這樣的兩個數便是“首同末合十”的兩個兩位數，它們的積為
（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc
=102a2+10a（b+c）+bc
=100a2+100a+bc
=a（a+1）×100+bc。
根據這一公式，兩個“首同末合十”的兩位數相乘，可以先把首位數乘以比它大1的數的積的100倍，然後在所得的結果後面，添上兩個末位數的積。
例如，72×78=（7×8）×100+2×8
=5616
45×45=（4×5）×100+5×5
=2025
首同末合十的計算公式，也可以推廣到兩個三位數、兩個四位數相乘的速算中去。例如
256×254
可取a=25，b=6，c=4，再運用公式計算，得
256×254=[25×（25+1）]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如，155×155=（15×16）×100+5×5
=24025
【末同首合十的兩位數相乘公式】若兩個兩位數十位上的數字分別是a和b，且a+b=10，個位上的數字都是c，則這樣的兩個數便是“末同首合十”的兩個兩位數，它們的積為
（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c（a+b）+c2
=100ab+100c+c2
=（ab+c）×100+c2.
根據這一公式，兩個“末同首合十”的兩位數相乘，可以先把兩個首位數字的乘積加上一個末位數，再乘100然後再在所得的結果後面，添上末位數自乘的積（末位數的平方）。
例如，34×74=（3×7+4）×100+42
=25×100+16
=2516
【兩個末位是1的兩位數相乘公式】設兩個末位都是1的兩位數，十位上的數字分別是a和b，則它們的積是
（10a+1）（10b+1）=100ab+10a+10b+12
=10a×10b+（a+b）×10+1
由這一公式可知，兩個末位是1的兩位數相乘，可以先把兩個首位數值相乘，然後在所得的結果後面添上兩個首位數的和（和滿十時要進位）的10倍，最後在後面添上1。
例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1
=3500+12091
=3621.
這樣的題目，口算的方法可以是：
【兩個首位是1的兩位數相乘公式】設兩個首位為1的兩位數，個位上的數字分別是a和b，則它們的積是：
（10+a）（10+b）=100+10a+10b+ab
=（10+a+b）×10+ab。
由這一公式可知，兩個首位是1的兩位數相乘，可以把一個數加上另一個數的末位數，所得的結果乘以10以後，再加上兩個末位數的乘積。
例如，17×16=（17+6）×10+7×6
=230+42
=272.
【接近100的兩個數相乘公式】接近100的兩個數相乘，可以分三種情況來尋找它的速算方法。
（1）兩個超過100的數相乘。
設兩個超過100的數分別為a和b，它們與100的差分別為h和k，則a=100+h，b=100+k。它們的積是
a·b=（100+h）（100+k）
=（100+h）×100+100k-hk
=（100+h+k）×100+hk
=（a+k）×100+hk。
由這一公式可知，兩個超過100的數相乘，可以先把一個數加上另一個數與100的差，然後將所得的結果乘以100以後，再加上兩個因數分別與100的差（補充數）的乘積。
例如，108×112=（108+12）×100+8×12
=12000+96
=12096.
文章摘要：國小數學難題解法大全之速算公式：首同末合十的兩位數相乘公式、末同首合十的兩位數相乘公式、兩個末位是1的兩位數相乘公式、兩個首位是1的兩位數相乘公式、接近100的兩個數相乘公式。
快速口算的思考方法可以是：
又如，103×102=（103+2）×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是
（2）兩個不足100的數相乘。
設兩個不足100的數一個為a=100-h，另一個為b=100-k，則它們的積是
a· b=（100-h）（100-k）
=（100-h）×100-100k+hk
=（100-h-k）×100+hk
=（a-k）×100+hk。
由這個公式可知，兩個不足100的兩位數相乘，可以先從一個因數中減去另一個因數與100的差，然後將所得結果乘以100以後，再加上兩個因數分別與100的差（兩個補充數）的乘積。
例如，89×97=（89-3）×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是
又如，89×88=（89-12）×100+11×12
=7700+132
=7832.
快速口算的思考方法可以是
（3）一個超過100，一個不足100的兩個數相乘。
設一個因數a比100大h，即a=100+h；另一個因數b比100小k，即b=100-k，則它們的積是
a·b=（100+h）（100-k）
=（100+h）×100-100k+hk
=（100+h-k）×100+hk
=（a-k）×100-hk。
由這個公式可知，一個超過100、一個不足100的兩個數相乘，可以先從大於100的因數中，減去另一個因數與100的差，然後將所得的結果乘上100以後，再減去兩個因數分別與100之差（兩個補充數）的乘積。
例如，104×97=（104-3）×100-4×3
=10100-12
=10088
快速口算思考方法可以是
一年級下冊奧數輔導15 點、線、角
直線
拉直的繩子，它的形狀就是直線。
用筆沿著尺子的邊畫，能畫出直線。直線有兩個方向。
點
筆的尖端處，它的形狀是點。地圖上，北京的位置用點表示。點用大寫的英文字母A、B、C…表示。如點A、點B…
用筆畫線，可以看作筆尖的點，在紙上運動。點可運動成線。線有直線、曲線和折線。
想一想：過一個點能畫幾條直線?過兩點又能畫幾條直線?
過一點能畫很多條直線；過兩點只能畫一條直線。
線段
直線上任取兩點，這兩點間的部分叫做線段。
線段有兩個端點。在圖中的線段，左端點是A，右端點是B，這條線段叫做線段AB.
把一張紙折一下，紙的摺痕就是一條線段。
尺子的邊，書本的邊都是線段。
在點A和點B之間，能畫幾條線段?能畫幾條曲線或折線?哪條最短?
在兩點之間，只能畫一條線段，但可以畫很多條曲線，也能畫很多條折線。
通過兩點所畫的線中，以線段為最短。
射線
直線上一個點A，把直線分成兩部分，每部分都叫做射線。A叫做射線的端點。
射線只有一個方向。上圖中左側的射線方向向左;右側的射線方向向右。
射線也用兩個大寫的英文字母表示。例如，射線的端點用A表示，在射線上再任取一點用B表示。這條射線就叫做射線AB。
想一想：直線、射線、線段的區別?
直線沒有端點。
射線有一個端點。
線段有兩個端點。
角
把兩根木條的端點釘在一起，繞端點轉木條，可以得到各種形狀。
把每根木條看作射線。有公共端點的兩條射線所形成的圖形叫做角。公共端點叫做角的頂點，兩條射線叫做角的邊。
用一張紙，對摺兩次，折出四個形狀一樣的角叫做直角。
三角板有三個角，其中一個角是直角。用三角板的直角去比一比，的確和折出的直角一樣大。
例1 下面各圖是什麼圖形?
〔解〕圖(1)是直線；圖(2)是曲線；圖(3)是線段；圖(4)是射線；圖(5)是角；圖(6)是三個點。
例2 你能用A、B、C三個點，作出直線AB、射線AC、線段BC嗎?
〔作圖〕
例3 上圖中有幾條直線，幾條線段，幾條射線?
〔解〕上圖中有一條直線，三條線段，六條射線。這六條射線中，以A為頂點的射線有三條;以B為頂點的射線有兩條;以C為頂點的射線有一條。
例4 數一數，下面每個圖形中，點、線段和角的個數。
〔解〕上面圖(1)、圖(2)中各有三個點，三條線段，三個角；圖(3)、(4)中各有四個點，四條線段，四個角；圖(5)中有五個點，五條線段，五個角；圖(6)中有六個點，六條線段，六個角。
例5 數一數，下圖有幾條直線?幾個點?幾條線段?幾條射線?
〔解〕上圖有一條直線，三個點，三條線段，六條射線。在六條射線中，以A點為頂點的射線有兩條;以B點為頂點的射線有兩條;以C點為頂點的射線有兩條。
例6 數一數，下圖有幾條射線?幾個角?
〔解〕上圖有四條射線。有三個小號的角，有兩個中號的角，一個大號的角，一共有六個角。
一年級下冊奧數輔導16 長方形、正方形、三角形和圓
數學書的面、課桌的面、黑板的面都是長方形，形狀如下圖。
長方形是由四條線段連線起來的。這四條線段就是長方形的四條邊。用摺紙的辦法就會發現，長方形相對的邊一樣長。
長方形長邊的長度叫做長方形的“長”，短邊的長度叫做長方形的“寬”。
長方形有四個角，用三角板的直角去量，就會知道，長方形的四個角都是直角。
長方形有四條邊，對邊相等；長方形有四個角，都是直角。
四條邊都相等的長方形叫做正方形。
正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。
動一動手，用摺紙的辦法，把長方形剪成正方形。
三角板的面是三角形。如下圖。
三角形是由三條線段連線成的，這三條線段就是三角形的三條邊。在一個三角形中，若有兩條邊相等，這個三角形就叫做等腰三角形。上面圖中圖(2)就是等腰三角形。
三角形有三個角。在一個三角形中，若有一個角是直角，這個三角形就叫做直角三角形。圖中兩個三角形都是直角三角形。
上面圖中圖(2)不但是等腰三角形，而且是直角三角形，因此這個三角形就叫做等腰直角三角形。
看一看，下面實物中圓的圖形。
請你把硬幣放在紙上，用左手按住不動，右手拿筆，沿硬幣的邊畫一週，就畫出一個圓。你還可以用圓糖盒等有圓圖形的物體，照樣描畫出圓。畫圓有專門的工具-圓規。
圖中，點O叫做圓心，線段OA的長叫做半徑。圓心O不動，半徑越長畫出的圓就越大。圖中(2)畫出以O為圓心的三個同心圓。
例1 說出下圖中每個圖的名稱。
〔解〕在圖中，(1)、(2)是長方形；(3)、(6)是正方形；(4)、(8)是直角三角形；(5)、(10)是折線；(7)、(8)是等腰三角形；(8)還是等腰直角三角形；(9)是圓；(11)是三角形；(12)是線段。
例2 數一數，下圖中圖(1)有幾個正方形?圖(2)有幾個長方形?
〔解〕圖(1)有4個小正方形，一個大正方形。共有五個正方形。圖(2)有4個小的長方形，4箇中的長方形，一個大的長方形。共有9個長方形。
例3 仔細數一數，右圖中有幾個正方形?有幾個等腰直角三角形?
〔解〕圖中有兩個正方形。有七個等腰直角三角形，其中五個容易在圖中看到，另外兩個見下圖。
例4 數一數，下圖是用幾個圓畫成的圖案?
〔解〕它是用八個圓畫成的圖案。其中有七個圓是半徑一樣大的圓（稱等圓）。
