[摘要]數學思維和數學思維方法,是數學學習過程中必須接觸的內容,人們在學習數學的過程中,能力的提高主要在於對數學思維(思想)方法的掌握。
[關鍵詞]抽象性，嚴密性，確定性，綜合法，分析法，符號，概念
關於思維,心理學給出的定義是:思維是人腦藉助於語言對客觀事物的本質及其規律的間接與概括的反應,數學思維既符合人類一般思維的規律,又有它自己的規律。一般來說,數學思維特徵主要表現在:高度的抽象性、嚴謹性、嚴密的邏輯性以及思維結果的確定性。
數學思維的抽象性表現在在數學思維的過程中,把思維物件某些非本質的(對數學本身來説)東西捨棄,把思維物件抽象化為一定的數量關係、空間形式或邏輯關係,然後再把這些特定的數量關係表示成為一般的符號形式。數學思維的抽象性還表現在它不僅僅停留在一次抽象的基礎上,通常的數學符號形式可能經過了多次的抽象。與人類的所有思維形式相比,這種完全人為創造的數學語言,是數學思維高度抽象化的基礎。
數學思維的嚴謹性,是指數學思維在發生、發展和表述的過程中,完全依據一種形式化的嚴密過程,這種過程中不容許出現一絲差錯,也不允許有對與錯之間的狀況。正是數學思維的這種形式化的嚴謹性,使數學成為人類所有科學形式的最終表達手段。
數學思維具有嚴密的邏輯性,我們知道,排中律、同一律、矛盾律和充足理由律,是邏輯思維的基本規律,它們是客觀事物和現象之間相對穩定性在思維中的反應,它是保證人們正確認識客觀世界和正確表達思維的必要條件。正確的'思維應該是確定的、無矛盾的、前後一貫的、論據充足的。不然的話,思維就將陷入混亂。在數學思維的過程中,如果違背了這些基本規律,就會產生邏輯錯誤,論證就得不到正確的結論。因此,數學思維中必須遵守邏輯思維的基本規律。
數學思維結果的確定性,是指在數學思維的過程中,其結果是唯一的。我們知道在數學領域中,每一個命題的結果都是唯一的,不可能有兩種不同的結果,也就是說任何一個數學命題的結果在對與錯之間二者必據其一。
數學思維的方法是數學的符號、概念、語言按照數學特定的規律、法則,運用數學思維在數學領域中形成的一種方法。數學思維方法具有一般科學的方法論特徵,又有自身的特殊形式。
按照數學思維方法運用的領域、表現形式不同可以把數學思維方法分為巨集觀思維方法和微觀思維方法,按照數學思維的邏輯形式不同,可分為邏輯思維方法和非邏輯思維方法,按照數學思維解決問題的不同方式,可以分為程式化思維和發現性思維,按照數學教育的階段或領域的不同,可以分為不同的帶有專業特徵的思維方法。
巨集觀數學思維方法,也稱基本或重大的數學思維方法,是指對整個數學領域產生重大影響的數學思維方法,如公理化思維方法、變數分析思維方法等。這些思維方法曾極大地推動了整個數學的發展。
微觀數學思維方法,是指對某個數學分支發揮作用或由某些數學家群體使用的數學思維方法,如代數學的一些思維方法、幾何學的一些思維方法等。微觀數學思維方法還包括數學問題解決和數學問題發現的思維方法。主要包括最基本、最常用的數學思維方法:分析法、綜合法、歸納法、演繹。分析法是從問題的結論開始,逐步推出已知條件或已確認成立的事實,從而斷定命題成立的方法。綜合法是從問題的條件開始逐步推出命題的結論的方法。演繹推理是按照嚴密的邏輯法則,採用由普遍到個別,由一般到特殊的推理、論證方法,歸納推理是從個別到一般的推理方法,歸納推理試圖從個別的例子中得出一般的規律,採用由個別到普遍、由特殊到一般的方法進行推理論證。在歸納推理中,需要注意的是如果前提為真,結論不一定為真。通常情況下,由歸納推理得到的結論還需要用科學的數學方法進行論證。
邏輯思維方法,主要是指按照形式邏輯的方式展開數學思維方法。數學的定理、證明及理論構造都是嚴格按照形式邏輯的思維方式展開和構造的,可以說數學的結果都是按照形式邏輯來表現的。數學思維的非邏輯方法,是指在數學思維中應用的猜想、直覺、靈感、現象等思維方式。這些思維形式經常地、大量地出現在解決數學問題過程中。隨著數學的發展,人們越來越認識到非邏輯思維方法在數學學習和數學教育中有著及其重要的作用。
數學思維的程式化方法,是指按照數學習慣的、原有的方式來解決問題。在數學學習和解決問題的過程中這種方式表現為規範的邏輯演繹方式。數學的發現性思維,又稱之為創新性思維。這種思維方式的特點是它不遵守程式化的邏輯演繹的思維方式,而選擇帶有個人特性、主觀色彩、獨立特性的思維方式。現代數學教育理論十分重視這種與傳統的數學思維相區別的思維方式。
如果按照數學教育的階段和領域不同還可將其分為不同的帶有專業特徵的思維方法,如按數學分支的差異,可將其分為幾何思維方法、代數思維方法、微積分思維方法、概率統計思維方法等。儘管現代數學的發展使某些數學分支之間的界線變得模糊,但對於初等數學或一般高等數學階段的學習而言,不同數學分支的數學思維方法都有其自身的明顯特徵。對於初等數學的學習而言,集合對應的思維方法、公理化結構的方法、空間形式的思維方法變數思維方法等都是具有初等數學特徵的一些思維方法。
在學習某個數學分支的數學思維中,還可以把數學思維分成不同的思維方法,主要包括:解決數學問題的思維方法;論證表述數學命題的思維方法;構建數學理論體系的思維方法。
