做任何事情都要講究方法。方法對頭，事半功倍；方法不當，事倍功半。解答數學問題，關鍵也在於掌握思考問題的方法，少走彎路，以儘快獲得滿意的答案。下面是小編整理的數學思維與解題方法，歡迎閱讀！
一、分析法與綜合法
分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最後達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最後達到待證結論或需求問題。對於解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。為便於讀者熟練地掌握這兩種方法，從而獲得希望成功的解題思路，現舉例說明如下。
例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．
證明：(用分析法思路書寫)
要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需證a2-2ab+b2＞0成立，
即需證(a-b)2＞0成立。
而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。
(以下用綜合法思路書寫)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證。
從例1容易看出，分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找它的充分條件。綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找它的必要條件。
從例1也不難發現，分析法和綜合法各有其優缺點：從尋求解題思路來看，分析法執果索因，常常根底漸近，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易奏效。從表達過程而論，分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰。也就是說，分析法利於思考，綜合法宜於表達。因此，在實際解題時，常常把這兩種方法結合起來使用：先以分析法為主尋求解題思路；再用綜合法有條理地表達解題過程。請再看下面的例子。
思考方法：先從待證結論出發(用分析法)，結論左邊是兩個算術根之和，稍作觀察便可發現，根號內的代數式都是完全平方式，所以要證明結論成立，只要證明│a-2│+│a-b│=4就可以了。於是，解題的關鍵在於確定a的取值範圍，以去掉絕對值符號。再從已知條件來想(用綜合法)，已知a為實數，關於x的二次方程沒有實數根，則其根的判別式△＜0，由此便可探明a的取值範圍，這樣，和上面的分析聯絡起來，原題便可解出。簡證如下：
證明：∵已知的關於x的二次方程無實根，
∴判別式△=(-2a)2-4·4·(2a-3)＜0
整理，得a2-8a+12＜0
於是，解得2＜a＜6
∴欲證的恆等式左邊=│a-2│+│a-6│
=(a-2)+(6-a)=4=右邊
∴命題得證
下面請讀者試著練習：
2、已知二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩根分別在0～1和1～2內(不包括0，1，2這三個數)，求k的範圍。
(提示：聯絡二次函式圖象的特徵，可有：當然x=0或2時，方程左邊大於0；當x=1時，方程左邊小於0)
二、變更問題法
解答數學題，實質上就是通過由因導果或執果索因，確立題中條件與問題或條件與結論邏輯上的必然聯絡，實現由已知向未知的轉化。一般說來，對於結構比較簡單的問題，通過適當地分析與綜合就能找到合理的解題途徑。但對於結構複雜、抽象多變的數學題，常常要從變更問題的角度，去探討解題的思考方法。
所謂變更問題，就是在直接求解原問題難以入手時，把原問題作適當的變更，造成一個或幾個比原問題來得簡單、難度較低、易於解答的新問題，以通過對新問題的考察，發現原問題的解題思路，最終達到解決原問題的目的。從某種意義上說，解答數學題的關鍵，就在於對原問題作一系列恰當的變更。
變更問題，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論，還可以同時變更問題的條件和結論。但是，變更問題必須注意數學題的特點，使變更後得到的`新問題越熟悉越好（曾是解答過的問題)，越簡單越好(便於解答)，越特殊越好(變成特殊情形的問題)，越直觀越好(抽象的問題直觀化)等等。
例1．不存在整數a，b，c滿足a2+b2-8c=6
思考方法：本題不大容易入手，如把式子a2+b2-8c=6變形為a2+b2=8c+6，則原題變更為：證明不存在整數a和b，使它們的平方和被8除餘6，顯然，變更後的問題便是我們利用整數性質易於證明的熟悉問題了，可對整數的四種形式：4n、4n+1，4n+2，4n+3(n為整數)逐一進行驗證，以說明這四種形式中的任意兩種形式的平方和都不能滿足“被8除餘6”。具體解題過程留給讀者，請用綜合法寫出來。
例2．m為何值時，關於x的二次方程2(m+1)x2-4mx+3(m-1)=0(1)至少有一正根?
思考方法：至少有一個正根的情況比較複雜，可以分解為三個簡單問題：一是有兩個正根；二是有一正根、一負根；三是有一正根和一根為0，故原題由此易解。此題亦可這樣來分析：方程(1)至少有一正根的反面，是有兩負根，這樣可先確定兩負根時m的取值範圍，而後解出原題。按後一種思路簡解如下，前一種方法請讀者完成。
解：∵方程(1)有實根且為二次方程，
∴△=(-4m)2-4×2×3(m2-1)≥0且m+1≠0，
假設方程(1)有兩個負根，則有
經解，上述不等式組無解，所以方程(1)不可能有兩負根(假設不成立)
