2015年普通高等學校招生全國統一考試
數學（理科）
本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共5頁，選擇題部分1至3頁，非選擇題部分4至5頁。滿分150分，考試時間120分鐘。
請考生按規定用筆將所有試題的答案塗、寫在答題紙上。
選擇題部分（共50分）
注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試卷和答題紙規定的位置上。
2.每小題選出答案後，用2B鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號。不能答在試題捲上。
參考公式
如果事件A,B互斥 ，那麼
P(A+B)=P(A)+P(B
如果事件A,B相互獨立，那麼
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的概率為P ,那麼n次獨立重複試驗中事件A 恰好發生k次的概率
Pn(k)=
臺體的體積公式
V=
其中S1，S2分別表示臺體的上、下面積，h表示臺體的高
柱體體積公式V=Sh
其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高
錐體的體積公式V= Sh 其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高
球體的面積公式
S=4πR2
球的體積公式
V= πR3
其中R表示球的半徑
一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 設集合A={x|1＜x＜4}，集合B ={x| -2x-3≤0}, 則A∩（CRB）=
A (1,4) B (3,4) C (1,3) D (1,2)∪（3,4）
2. 已知i是虛數單位，則 =
A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i
3. 設a∈R ，則“a＝1”是“直線l1：ax+2y=0與直線l2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
4.把函式y=cos2x+1的圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍（縱座標不變），然後向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的'影象是
5.設a，b是兩個非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥b
B.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數λ，使得b=λa
D.若存在實數λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|
6.若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有
A.60種 B.63種 C.65種 D.66種
7.設S。是公差為d（d≠0）的無窮等差數列﹛an﹜的前n項和，則下列命題錯誤的是
A.若d＜0，則列數﹛Sn﹜有最大項
B.若數列﹛Sn﹜有最大項，則d＜0
C.若數列﹛Sn﹜
D.是遞增數列，則對任意n∈Nn，均有Sn＞0
8.如圖，F1,F2分別是雙曲線C： （a,b＞0）的在左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別教育P,Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點M，若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是
A. B C.. D.
9.設a大於0，b大於0.
A.若2a+2a=2b+3b，則a＞b B.若2a+2a=2b+3b，則a＞b
C.若2a-2a=2b-3b，則a＞b D.若2a-2a=ab-3b，則a＜b
10. 已知矩形ABCD，AB=1，BC= 。將△沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中。
A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直.
B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直.
C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.
D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直
2015年普通高等學校招生全國統一考試
數 學（理科）
非選擇題部分（共100分）
注意事項：
1.用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題捲上。
2.在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定後必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑。
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。
11.已知某三稜錐的三檢視（單位：cm）如圖所示，則該三稜錐的體積等於________cm3.
12.若某程式框圖如圖所示，則該程式執行後輸出的值是__________。
13.設公比為q（q＞0）的等比數列{an}的前n項和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=______________。
14.若將函式f（x）=x5表示為f（x）=a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋……＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…a5為實數，則a3=______________。
15.在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則 =________.
16．定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等於曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實數a=_______。
17．設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=__________。
三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
18.（本題滿分14分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知cosA= ，sinB= C。
（1）求tanC的值；
（2）若a= ，求△ABC的面積。
19.（本題滿分14分）已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分。現從該箱中任取（無放回，且每球取到的機會均等）3個球，記隨機變數X為取出此3球所得分數之和。
（1）求X的分佈列；
（2）求X的數學期望E（X）。
20.（本題滿分14分）如圖，在四稜錐P-ABCD中，底面是邊長為 的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA= ,M，N分別為PB,PD的中點。
（1）證明：MN∥平民啊ABCD；
（2）過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的餘弦值。
21.（本題滿分15分）如圖，橢圓 的離心率為 ，其左焦點到點Ｐ（２,１）的距離為 ，不過原點Ｏ的直線ｌ與Ｃ相交於Ａ，Ｂ兩點，且線段ＡＢ被直線ＯＰ平分。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△APB面積取最大值時直線l的方程。
22.（本題滿分14分）已知a>0,b∈R，函式f(x)=4ax2-2bx-a+b。
（Ⅰ）證明：當0 x 1時。
（1）函式f(x)的最大值為
（2）f(x)+ +a 0;
（Ⅱ）若-1 f(x) 1對x∈ 恆成立，求a+b的取值範圍。
