2015年普通高等學校招生全國統一考試
數學(理)(北京卷)
本試卷共5頁. 150分.考試時長120分鐘.考試生務必將答案答在答題卡上.在試卷上作答無效.考試結束後,將本試卷和答題卡一併交回.
第一部分(選擇題共40分)
一、 選擇題共8小題。每小題5分.共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合勝目要求的一項.
1. 已知集合A={x∈R|3x+2>0﹜·B={x∈ R|(x+1)(x-3)>0﹜則A∩B=( )
A.(﹣∞,﹣1) B.{﹣1,-⅔} C. ﹙﹣⅔,3﹚ D.(3,+∝)
2. 設不等式組 表示的平面區域為D.在區域D內隨機取一個點.則此點到座標原點的距離大於2的概率是( )
A. B. C. D.
3.設a,b∈R.“a=O”是‘複數a+bi是純虛數”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.執行如圖所示的程式框圖,輸出的S值為( )
A. 2
B .4
C.8
D. 16
5.如圖. ∠ACB=90º。CD⊥AB於點D,以BD為直徑的圓與BC交於點E.則( )
A. CE·CB=AD·DB
B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD ²
·EB=CD ²
6.從0,2中選一個數字.從1.3.5中選兩個數字,組成無重複數字的三位數.其中奇數的個數為( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三梭錐的三檢視如圖所示,該三梭錐的表面積是( )
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
8.某棵果樹前n前的總產量S與n之間的關係如圖所示.從目前記錄的結果看,前m年的年平均產量最高。m值為( )
A.5
B.7
C.9
D.11
第二部分(非選擇題共110分)
二.填空題共6小題。每小題5分。共30分.
9.直線 (t為引數)與曲線 (“為多α數)的交點個數為
10.已知﹛ ﹜等差數列 為其前n項和.若 = , = ,則 =
11.在△ABC中,若α=2,b+c=7, =- ,則b=
12.在直角座標系xOy中.直線l過拋物線 =4x的焦點F.且與該撇物線相交於A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60º.則△OAF的面積為
13.己知正方形ABCD的邊長為l,點E是AB邊上的動點.則 . 的值為
14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)= -2,若同時滿足條件:
① x∈R,f(x) <0或g(x) <0
② x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) <0
則m的取值範圍是
三、解答題公6小題,共80分。解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程。
15.(本小題共13分)
已知函式 。
(1) 求f(x)的定義域及最小正週期;
(2) 求f(x)的單調遞增區間。
16. (本小題共14分)
如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的.位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1) 求證:A1C⊥平面BCDE;
(2) 若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小;
(3) 線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?
說明理由
17.(本小題共13分)
近年來,某市為促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚餘垃圾、可回收物和其他垃圾三類,並分別設定了相應的垃圾箱,為調查居民生活垃圾分類投放情況,先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾,資料統計如下(單位:噸);
(1) 試估計廚餘垃圾投放正確的概率;
(2) 試估計生活垃圾投放錯誤的概率;
(3) 假設廚餘垃圾在“廚餘垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a﹥0,a+b+c=600.當資料a,b,c的方差s2最大時,寫出a,b,c的值(結論不要求證明),並求此時s2的值。
(求: ,其中 為資料x1,x2,…,xn的平均數)
18.(本小題共13分)
已知函式f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a、b的值;
(2) 當a2=4b時,求函式f(x)+g(x)的單調區間,並求其在區間(-∞,-1)上的最大值,
19.(本小題共14分)
已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1) 若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓,求m的取值範圍;
(2) 設m=4,曲線c與y軸的交點為A,B(點A位於點B的上方),直線y=kx+4與曲線c交於不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交於點G.求證:A,G,N三點共線。
20.(本小題共13分)
設A是由m×n個實陣列成的m行n列的數表,滿足:每個數的絕對值不大於1,且所有數的和為零,記s(m,n)為所有這樣的數表構成的集合。
對於A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)為A的第j列各數之和(1≤j≤n):
記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
(1) 對如下數表A,求K(A)的值;
1
1
-0.8
0.1
-0.3
-1
(2)設數表A∈S(2,3)形如
1
1
c
a
b
-1
求K(A)的最大值;
(3)給定正整數t,對於所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。
該文章轉載自無憂考網: