銳角三角函式是九年級學生在學習了函式概念以及反比例函式、一次函式、二次函式之後學習的又一種形式的函式,本文是小編整理銳角三角函式知識點的資料,僅供參考。
銳角三角函式的定義銳角角A的正弦(sin),餘弦(cos)和正切(tan),餘切(cot)以及正割(sec),(餘割csc)都叫做角A的銳角三角函式。
正弦等於對邊比斜邊
餘弦等於鄰邊比斜邊
正切等於對邊比鄰邊
餘切等於鄰邊比對邊
正割等於斜邊比鄰邊
餘割等於斜邊比對邊
正切與餘切互為倒數
它的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的對映。通常的三角函式是在平面直角座標系中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴充套件到複數系。
由於三角函式的週期性,它並不具有單值函式意義上的反函式。
它有六種基本函式(初等基本表示):
函式名 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割
在平面直角座標系xOy中,從點O引出一條射線OP,設旋轉角為θ,設OP=r,P點的座標為(x,y)有
正弦函式 sinθ=y/r
餘弦函式 cosθ=x/r
正切函式 tanθ=y/x
餘切函式 cotθ=x/y
正割函式 secθ=r/x
餘割函式 cscθ=r/y
(斜邊為r,對邊為y,鄰邊為x。)
以及兩個不常用,已趨於被淘汰的函式:
正矢函式 versinθ =1-cosθ
餘矢函式 coversθ =1-sinθ
銳角三角函式的性質1、銳角三角函式定義
銳角角A的正弦,餘弦和正切都叫做角A的銳角三角函式
2、互餘角的三角函式間的關係。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函式間的關係
平方關係:sin2α+cos2α=1
倒數關係:cotα=(或tanα·cotα=1)
商的關係:tanα= , cotα=.
(這三個關係的證明均可由定義得出)
4、三角函式值
(1)特殊角三角函式值
(2)0°~90°的任意角的三角函式值,查三角函式表。
(3)銳角三角函式值的變化情況
(i)銳角三角函式值都是正值
(ii)當角度在0°~90°間變化時,
正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
餘弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
餘切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
(iii)當角度在0°≤α≤90°間變化時,
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
當角度在0°<α<90°間變化時,
tanα>0, cotα>0.
銳角三角函式單元試測試題一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)
1.一段公路的坡度為1︰3,某人沿這段公路路面前進100米,那麼他上升的.最大高度是
( D )
A.30米 B.10米 C. 米 D. 米
2.如圖,坡角為 的斜坡上兩樹間的水平距離AC為 ,則兩樹間的坡面距離AB為
( C )
A. B. C. D.
3.如圖,小雅家(圖中點O處)門前有一條東西走向的公路,經測得有一水塔(圖中點A處)
在她家北偏東60度500m處,那麼水塔所在的位置到公路的距離AB是( A )
A.250m B. m C. m D. m
4.如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,已知CD=2,AC=3,則sinB的值是( C )
A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3
( 第2題 ) ( 第3題) ( 第4題)
5.如果∠A是銳角,且 ,那麼∠A=( B )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 等腰三角形的一腰長為 ,底邊長為 ,則其底角為( A )
A. B. C. D.
7.若平行四邊形相鄰兩邊的長分別為10和15,它們的夾角為60°,則平行四邊形的面積
是( B )
A.150 B. C. 9 D. 7
8.在△ABC中,∠C=90°,BC=2, ,則邊AC的長是( A )
A. B.3 C. D.
9.如圖,兩條寬度均為40 m的公路相交成α角,那麼這兩條公路在相交處的公共部分(圖
中陰影部分)的路面面積是( A )
A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)
10.如圖,延長Rt△ABC斜邊AB到D點,使BD=AB,連結CD,若 tan∠BCD= ,則tanA=( C )
A.1 B. C. D.
( 第9題 ) ( 第10題)
二、填空題(本大題共4小題,每小題3分,共12分)
11.已知 為銳角, sin( )=0.625, 則cos =___ 0.625 。
12.如圖,一架梯子斜靠在牆上,若梯子底端到牆的距離AC=3米,cos∠BAC= ,則梯子長AB = 4 米。
13.一棵樹因雪災於A處折斷,如圖所示,測得樹梢觸地點B到樹根C處的距離為4米,
∠ABC約45°,樹幹AC垂直於地面,那麼此樹在未折斷之前的高度約為 米
(答案可保留根號)。
14.如圖,張華同學在學校某建築物的C點處測得旗杆頂部A點的仰角為 ,旗杆底部
點的俯角為 .若旗杆底部 點到建築物的水平距離BE=9 米,旗杆臺階高1米,
則旗杆頂點 離地面的高度為 米(結果保留根號)。
(第12題) (第13題) (第14題)
三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)
15.如圖所示,某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯,天花板與地面平行,請你根據圖中數
據計算回答:小敏身高1.78米,她乘電梯會有碰頭危險嗎?
(可能用到的參考數值:sin27°=0.45,cos27°=0.89,tan27°=0.51)
15.作CD⊥AC交AB於D,則∠CAB=27°,在Rt ACD中,
CD=AC•tan∠CAB=4×0.51=2.04(米)
所以小敏不會有碰頭危險。
16.已知:如圖,在 ABC中,∠B = 45°,∠C = 60°,AB = 6。求BC的長(結果保留根號)。
16.解:過點A作AD⊥BC於點D。
在Rt△ABD中,∠B =45°,
∴AD = BD=AB sinB= 。
在Rt ACD中,∠ACD = 60°,
∴tan60°= ,即 ,解得CD = 。
∴BC = BD + DC = + 。
四、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)
17.如圖,在某建築物AC上,掛著“美麗家園”的宣傳條幅BC,小明站在點F處,看條幅
頂端B,測的仰角為 ,再往條幅方向前行20米到達點E處,看到條幅頂端B,測的
仰角為 ,求宣傳條幅BC的長,(小明的身高不計,結果精確到0.1米)
17.解: ∵∠BFC = ,∠BEC = ,∠BCF =
∴∠EBF =∠EBC = , ∴BE = EF = 20
在Rt⊿BCE中,
答:宣傳條幅BC的長是17.3米。
18.如圖,甲船在港口 的北偏西 方向,距港口 海里的 處,沿AP方向以12
海里/時的速度駛向港口P.乙船從港口P出發,沿北偏東45°方向勻速駛離港口P,
現兩船同時出發,2小時後乙船在甲船的正東方向。求乙船的航行速度。(精確到0.1
海里/時,參考資料 , )
18.依題意,設乙船速度為 海里/時,2小時後甲船在點B處,乙船在點C
處,作 於 ,則 海里, 海里。
在 中, ,
。
在 中, ,∴ ,
∴ ,∴ 。
答:乙船的航行速度約為19.7海里/時。
五、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分)
19.陽光明媚的一天,數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度(這棵樹底部可以到達,
頂部不易到達),他們帶了以下測量工具:皮尺、標杆、一副三角尺、小平面鏡。請你
在他們提供的測量工具中選出所需工具,設計一種測量方案。
(1)所需的測量工具是: ;
(2)請在下圖中畫出測量示意圖;
(3)設樹高AB的長度為x,請用所測資料(用小寫字母表示)求出x。
19.解:(1)皮尺、標杆。
(2)測量示意圖如圖所示。
(3)如圖,測得標杆DE=a,樹和標杆的影長分別為AC=b,EF=c
∵△DEF∽△BAC,∴ ,
∴ ,∴ 。
20.梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖,(圖中 是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE
的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求攔水壩的橫斷面ABCD的面積。(結果保留三位有效
數字,參考資料: , )
20.52.0
六、(本大題滿分8分)
21.某地震救援隊探測出某建築物廢墟下方點 C 處有生命跡象,已知廢墟一側地面上兩探
測點A、B 相距 3 米,探測線與地面的夾角分別是30°和 60°(如圖),試確定生命
所在點 C 的深度.(結果精確到0.1米,參考資料: )
21.
七、(本大題滿分8分)
22.如圖,AC是某市環城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其與環城路AC的交
叉路口分別是A,B,C.經測量花卉世界D位於點A的北偏東45°方向、點B的北偏東
30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°。
(1)求B、D之間的距離;
(2)求C、D之間的距離。
22.解:(1)如圖,由題意得,∠EAD=45°,∠FBD=30°。
∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。
∵ AE∥BF∥CD,
∴ ∠FBC=∠EAC=60°.
∴ ∠DBC=30°。
又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB,
∴ ∠ADB=15°。
∴ ∠DAB=∠ADB. ∴ BD=AB=2。
即B,D之間的距離為2km。
(2)過B作BO⊥DC,交其延長線於點O,
在Rt△DBO中,BD=2,∠DBO=60°。
∴ DO=2×sin60°= ,BO=2×cos60°=1。
在Rt△CBO中,∠CBO=30°,CO=BOtan30°= ,
∴ CD=DO-CO= (km)。
即C,D之間的距離為 km。
八、(本大題滿分10分)
23.如圖,某邊防巡邏隊在一個海濱浴場岸邊的A點處發現海中的B點有人求救,便立即派
三名救生員前去營救.1號救生員從A點直接跳入海中;2號救生員沿岸邊(岸邊看成是
直線)向前跑到C點,再跳入海中;3號救生員沿岸邊向前跑300米到離B點最近的D
點,再跳入海中。救生員在岸上跑的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒。
若∠BAD=45°,∠BCD=60°,三名救生員同時從A點出發,請說明誰先到達營救地點B。
(參考資料 , )
23.解:在 中, 。
。 。
在 中, ,
。 。
1號救生員到達B點所用的時間為: (秒),
2號救生員到達B點所用的時間為: (秒),
3號救生員到達B點所用的時間為 (秒),
, 號救生員先到達營救地點B。