必考Ⅱ部分(50分)
一、填空題
1．10【解析】設P(xP，yP)，∵|PM|＝|PF|＝yP＋1＝5，yP＝4，
則|xP|＝4，S△MPF＝2(1)|MP||xP|＝10.
二、選擇題
2．B【解析】由選擇支分析可考查函式y＝x(f（x）)的單調性，而f(x)0且f(x)0，則當x0時x(f（x）)＝x2(xf（x）－f（x）)0，
即函式x(f（x）)在(－，0)上單調遞減，故選B.
三、解答題
3．【解析】(1)f(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)
列表如下：
x | (－，－1) | －1 | (－1，1) | 1 | (1，＋) |
f(x) | － | 0 | ＋ | 0 | － |
f(x) | 遞減 | 極小值 | 遞增 | 極大值 | 遞減 |
所以：f(x)的遞減區間有：(－，－1)，(1，＋)，遞增區間是(－1，1)；
f極小值(x)＝f(－1)＝－2，f極大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m
(2)由(1)知，當0
此時fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)
當a1時，f(x)在(0，1)上遞增，在(1，a)上遞減，
即當x[0，a]時fmax(x)＝f(1)＝2(12分)
綜上有h(a)＝2，a（1，＋）.(－a3＋3a，a（0，1]，)(13分)
4．【解析】 (1)設函式(x)＝xln x－x＋1，則(x)＝ln x(1分)
則(x)在(0，1)上遞減，在(1，＋)上遞增，(3分)
(x)有極小值(1)，也是函式(x)的最小值，則(1)＝1ln 1－1＋1＝0
故xln xx－1.(5分)
(2)f(x)＝ex－a(6分)
①a0時，f(x)0，f(x)是單調遞增函式，又f(0)＝0，
所以此時函式有且僅有一個零點x＝0；(7分)
②當a0時，函式f(x)在(－，ln a)上遞減，在(ln a，＋)上遞增，
函式f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)
ⅰ.當a＝1時，函式的'極小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0
則函式f(x)僅有一個零點x＝0；(10分)
ⅱ.當01或A1時，由(1)知極小值f(ln a)＝a－aln a－10，又f(0)＝0
當01時，LN p a0，易知x－時，ex0，－ax－1＋，
故此時f(x)＋，則f(x)還必恰有一個小於ln a的負根；
當a1時，2ln a0，計算f(2ln a)＝a2－2aln a－1
考查函式g(x)＝x2－2xln x－1(x1) ，則g(x)＝2(x－1－ln x)，
再設h(x)＝x－1－ln x(x1)，h(x)＝1－x(1)＝x(x－1)0
故h(x)在(1，＋)遞增，則h(x)h(1)＝1－1－ln 1＝0，
所以g(x)0，即g(x)在(1，＋)上遞增，則g(x)g(1)＝12－21ln 1－1＝0
即f(2ln a)＝a2－2aln a－10，
則f(x)還必恰有一個屬於(ln a，2 ln a)的正根．
故01或A1時函式f(x)都是恰有兩個零點．
綜上：當a(－，0]{1}時，函式f(x)恰有一個零點x＝0，
當a(0，1)(1，＋)時函式f(x)恰有兩個不同零點. (13分)
5．【解析】(1)當MNx軸時，MN的方程是x＝3(8)，
設M，y1(8)，N，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m
由(OM)(ON)知|y1|＝3(8)，
即點3(8)在橢圓上，代入橢圓方程得b＝2.(3分)
(2)當lx軸時，由(1)知(OA)(OB)；
當l不與x軸垂直時，設l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0
則1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)
＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,
＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)
則1＋2k2(2m2－8)，(7分)
x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
1＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋
＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即(OA)(OB).
即橢圓的內含圓x2＋y2＝3(8)的任意切線l交橢圓於點A、B時總有(OA)(OB).(9分)
(2)當lx軸時，易知|AB|＝23(8)＝3(6)(10分)
當l不與x軸垂直時，|AB|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）)
＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）（4k2＋1）)(12分)
設t＝1＋2k2[1，＋)，t(1)(0，1]
則|AB|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)
所以當t(1)＝2(1)即k＝2(2)時|AB|取最大值2，
當t(1)＝1即k＝0時|AB|取最小值3(6)，
(或用導數求函式f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t[1，＋)的最大值與最小值)
綜上|AB|3(6).(14分)
