大學聯考數學選擇題主要考察考生基礎知識的理解與掌握、基本解題技能的熟練與運用,所以我們應該通過多做數學大學聯考模擬試卷來提升自己的熟練度，以下是本站小編為你整理的2017湖南省郴州市大學聯考數學模擬試卷，希望能幫到你。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x>0}，則A∩B=( )
A.(2，4] B.[2，4] C.{0，3，4} D.{3，4}
2.設z=1﹣i(i是虛數單位)，若複數 在複平面內對應的向量為 ，則向量 的模是( )
A.1 B. C. D.2
3.《演算法統宗》是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14 B.12 C.8 D.10
4.執行如圖所示的程式，若輸入x的值為256，則輸出的y值是( )
A. B.﹣3 C.3 D.
5.某地市高三理科學生有15000名，在一次調研測試中，數學成績ξ服從正態分佈N(100，σ2)，已知p(80<ξ≤100)=0.35，若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從120分以上的試卷中抽取( )
A.5份 B.10份 C.15份 D.20份
6.已知函式f(x)= sinx+3cosx，當x∈[0，π]時，f(x)≥ 的概率為( )
A. B. C. D.
7.如圖，在稜長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，Q為A1B1上任意一點，E，F為CD上任意兩點，且EF的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是( )
A.點Q到平面PEF的距離 B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三稜錐P﹣QEF的體積 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
8.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 ，同時橢圓C上存在一點與右焦點關於直線x+y﹣1=0對稱，則橢圓C的方程為( )
A. B.
C. D.
9.已知函式f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)，f'(x)是f(x)的導函式，若f(α)=0，f'(α)>0，且f(x)在區間[α， +α)上沒有最小值，則ω取值範圍是( )
A.(0，2) B.(0，3] C.(2，3] D.(2，+∞)
10.如圖，在邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q線上段BC(含端點)上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量 =m +n (m，n為實數)，則m+n的取值範圍是( )
A. B. C. D.
11.一個幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B. C.4π D.
12.已知函式 ，若存在k使得函式f(x)的值域為[0，2]，則實數a的取值範圍是( )
A. B.(0，1] C.[0，1] D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交於A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 .
14.已知 的展開式中各項係數的和為2，則該展開式中含x的係數為 .
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對平面內的任意一點M，平面內有一點D使得 ，則 = .
16.已知數列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N+，Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3且(t﹣an+1)(t﹣an)<0恆成立，則實數t的取值範圍是 .
三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(12分)如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC= ，D是邊AB上一點.
(1)求△ABC面積的最大值;
(2)若CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，求BC的長.
18.(12分)2017年郴州市兩會召開前夕，某網站推出兩會熱點大型調查，調查資料表明，民生問題時百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約佔80%，現從參與者中隨機選出200人，並將這200人按年齡分組：第1組[15，25)，第2組[25，35)，第3組[35，45)，第4組[45，55)，第5組[55，65)，得到的頻率分佈直方圖如圖所示.
(1)求出頻率分佈直方圖中的a值，並求出這200的平均年齡;
(2)現在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機抽取3人贈送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率;
(3)若要從所有參與調查的人(人數很多)中隨機選出3人，記關注民生問題的人數為X，求X的分佈列和數學期望.
19.(12分)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異於A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.
(Ⅰ)求證：直線l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互餘?若存在，求出|AQ|的值;若不存在，請說明理由.
20.(12分)已知拋物線E：y2=8x，圓M：(x﹣2)2+y2=4，點N為拋物線E上的動點，O為座標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交於A，B兩點，求△QAB面積的最小值.
21.(12分)已知函式f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx.
(1)當a>0時，求函式f(x)的單調遞增區間;
(2)當a<0時，求函式f(x)在 上的最小值;
(3)記函式y=f(x)的圖象為曲線C，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C上的不同兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂直交曲線C於點N，判斷曲線C在點N處的切線是否平行於直線AB，並說明理由.
[選修4-4：引數方程與極座標系]
22.(10分)在平面直角座標系xoy中，曲線C的引數方程為 (θ為引數)，直線l的引數方程為 (t為引數)以座標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極座標方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|•|PN|的值.
[選修4-5：不等式選講]
23.在平面直角座標系中，定義點P(x1，y1)、Q(x2，y2)之間的“直角距離”為L(P，Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知點A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三點.
(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值範圍;
(2)當x∈R時，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恆成立，求t的最小值.
2017湖南省郴州市大學聯考數學模擬試卷答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x>0}，則A∩B=( )
A.(2，4] B.[2，4] C.{0，3，4} D.{3，4}
【考點】交集及其運算.
【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集即可.
【解答】解：由B中不等式變形得：x(x﹣2)>0，
解得：x<0或x>2，即B=(﹣∞，0)∪(2，+∞)，
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={3，4}，
故選：D.
【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.
2.設z=1﹣i(i是虛數單位)，若複數 在複平面內對應的向量為 ，則向量 的模是( )
A.1 B. C. D.2
【考點】複數求模.
【分析】利用複數的除法的運演算法則化簡複數 ，然後求解向量 的模.
【解答】解：z=1﹣i(i是虛數單位)，
複數 = = =1﹣i.
向量 的模： = .
故選：B.
【點評】本題考查複數的代數形式混合運算，複數的模的求法，考查計算能力.
3.《演算法統宗》是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14 B.12 C.8 D.10
【考點】等比數列的前n項和.
【分析】設第一層有a盞燈，則由題意知第一層至第七層的燈的盞數構成一個以a1為首項，以 為公比的等比數列，由此能求出結果.
【解答】解：設第一層有a盞燈，
則由題意知第一層至第七層的燈的盞數構成一個以a1為首項，以 為公比的等比數列，
∴ =381，
解得a1=192，
∴a5=a1×( )4=192× =12，
故選：B.
【點評】本題考查頂層有幾盞燈的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用.
4.執行如圖所示的程式，若輸入x的值為256，則輸出的y值是( )
A. B.﹣3 C.3 D.
【考點】程式框圖.
【分析】由程式框圖依次計算程式執行的結果，直到滿足條件x≤2時，計算y的值.
【解答】解：輸入x=256>2，x=log2256=8，
x=8>2，x=log28=3，
x=3>2，x=log23<2，
此時y= = ，
故選：A.
【點評】本題是迴圈結構的程式框圖，解答的關鍵是讀懂框圖的流程.
5.某地市高三理科學生有15000名，在一次調研測試中，數學成績ξ服從正態分佈N(100，σ2)，已知p(80<ξ≤100)=0.35，若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從120分以上的試卷中抽取( )
A.5份 B.10份 C.15份 D.20份
【考點】正態分佈曲線的特點及曲線所表示的意義.
【分析】由題意結合正態分佈曲線可得120分以上的概率，乘以100可得.
【解答】解：∵數學成績ξ服從正態分佈N(100，σ2)，P(80<ξ≤100)=0.35，
∴P(80<ξ≤120)=2×0.35=0.70，
∴P(ξ>120)= (1﹣0.70)=0.15，
∴100×0.15=15，
故選：C.
【點評】本題考查正態分佈曲線，數形結合是解決問題的關鍵，屬基礎題.
6.已知函式f(x)= sinx+3cosx，當x∈[0，π]時，f(x)≥ 的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】幾何概型.
【分析】利用三角函式的輔助角公式求出當x∈[0，π]時，f(x)≥ 的等價條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結論.
【解答】解：∵ sinx+3cosx=2 sin(x+ )≥ ，
∴sin(x+ )≥ ，
∵x∈[0，π]，x+ ∈[ ， ]，
∴ ≤x+ ≤ ，
∴0≤x≤ ，
∴發生的概率為P= ，
故選：B.
【點評】本題主要考查幾何概型的概率的計算，利用輔助角公式求出不等式的等價條件是解決本題的關鍵.
7.如圖，在稜長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，Q為A1B1上任意一點，E，F為CD上任意兩點，且EF的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是( )
A.點Q到平面PEF的距離 B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三稜錐P﹣QEF的體積 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
【考點】直線與平面所成的角.
【分析】根據線面平行的性質可以判斷A答案的對錯;根據線面角的定義，可以判斷C的對錯;根據等底同高的三角形面積相等及A的結論結合稜錐的體積公式，可判斷B的對錯;根據二面角的定義可以判斷D的對錯，進而得到答案.
【解答】解：A中，取B1C1的中點M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF為定值;
B中，∵P是動點，EF也是動點，推不出定值的結論，∴就不是定值.∴直線PE與平面QEF所成的角不是定值;
C中，∵△QEF的面積是定值.(∵EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值)，
再根據A的結論P到QEF平面的距離也是定值，∴三稜錐的高也是定值，於是體積固定.∴三稜錐P﹣QEF的體積是定值;
D中，∵A1B1∥CD，Q為A1B1上任意一點，E、F為CD上任意兩點，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小為定值.
故選：B.
【點評】本題考查的知識點是直線與平面所成的角，二面角，稜錐的體積及點到平面的距離，其中兩線平行時，一條線的上的點到另一條直線的距離相等，線面平行時直線上到點到平面的距離相等，平面平行時一個平面上的點到另一個平面的距離相等是解答本題的關鍵.
8.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 ，同時橢圓C上存在一點與右焦點關於直線x+y﹣1=0對稱，則橢圓C的方程為( )
A. B.
C. D.
【考點】橢圓的簡單性質.
【分析】由橢圓的離心率，求得b=c，則橢圓的標準方程轉化成x2+2y2=2b2，求得右焦點關於直線x+y﹣1=0對稱的點，代入橢圓方程，即可求得b和a的值，求得橢圓方程.
【解答】解：由橢圓的離心率e= = ，則a= c，
由b2=a2﹣c2=c2，則b=c，
則設橢圓方程為x2+2y2=2b2，
∴右焦點(b，0)關於l：y=﹣x+1的對稱點設為(x′，y′)，則 ，解得 ，
由點(1，1﹣b)在橢圓上，得1+2(1﹣b)2=2b2，b2= ，a2= ，
∴橢圓的標準方程為： ，
故選：A.
【點評】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查點關於直線對稱的求法，考查計算能力，屬於中檔題.
9.已知函式f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)，f'(x)是f(x)的導函式，若f(α)=0，f'(α)>0，且f(x)在區間[α， +α)上沒有最小值，則ω取值範圍是( )
A.(0，2) B.(0，3] C.(2，3] D.(2，+∞)
【考點】利用導數求閉區間上函式的最值.
【分析】由題意， < ≤ T，即可得出結論.
【解答】解：由題意，f(α)=0，f'(α)>0，
且f(x)在區間[α， +α)上沒有最小值，
∴ < ≤ T，
∴ < ≤ • ，
∴2<ω≤3，
故選C.
【點評】本題考查導數知識的運用，考查函式的週期性，考查學生分析解決問題的能力，屬於中檔題.
10.如圖，在邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q線上段BC(含端點)上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量 =m +n (m，n為實數)，則m+n的取值範圍是( )
A. B. C. D.
【考點】向量在幾何中的應用.
【分析】如圖所示， =( 4，0)， =(0，4).可得 =m +n =( 4m，4n).當圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P( 4﹣ ，﹣ ).
此時m+n取得最小值;當圓心為點C時，AP經過圓心時，P( ， ).此時m+n取得最大值.
【解答】解：如圖所示，邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q線上段BC(含端點)上運動，P是圓Q上及內部的動點，向量 =m +n (m，n為實數); =( 4，0)， =(0，4).可得 =m +n =( 4m，4n).
當動圓Q的圓心經過點C時，如圖：P( ， ).
此時m+n取得最大值：4m+4n=8+ ，可得m+n=2+ .
當動圓Q的圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P( 4﹣ ，﹣ ).
此時，4m+4n=4﹣ ，m+n取得最小值為：1﹣ ;
∴則m+n的取值範圍為 .
故選：A.
【點評】本題考查了向量的座標運算、點與圓的位置關係，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.
11.一個幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B. C.4π D.
【考點】由三檢視求面積、體積.
【分析】由三檢視知該幾何體為四稜錐側面為左檢視，PE⊥平面ABC，E、F分別是對應邊的中點，底面ABCD是邊長是2的正方形，設外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2+2=1+(2﹣h)2，求出h，並求出球的半徑，利用球的表面積公式求解.
【解答】解：由三檢視知該幾何體為四稜錐側面為左檢視，
PE⊥平面ABC，E、F分別是對應邊的中點，
底面ABCD是邊長是2的正方形，
設外接球的球心到平面ABCD的距離為h，
則h2+2=1+(2﹣h)2，
∴h= ，R2= ，
∴幾何體的外接球的表面積S=4πR2= π，
故選B.
【點評】本題考查三檢視求幾何體外接球的表面積，由三檢視正確復原幾何體以及正確確定外接球球心的位置是解題的關鍵，考查空間想象能力.
12.已知函式 ，若存在k使得函式f(x)的值域為[0，2]，則實數a的取值範圍是( )
A. B.(0，1] C.[0，1] D.
【考點】分段函式的應用.
【分析】畫出函式f(x)中兩個函式解析式對稱的圖象，然後求出能使函式值為2的關鍵點，進而可得實數a的取值範圍.
【解答】解：∵函式 ，∴函式f(x)的圖象如下圖所示：
∴函式f(x)在[﹣1，k)上為減函式，在[k，a]先減後增函式，
當﹣1
由於當x=1時，﹣x3﹣3x+2=0，
當x=a(a≥1)時，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a
故若存在k使得函式f(x)的值域為[0，2]，
則a∈[1， ]，
故選：D.
【點評】本題考查的知識點是分段函式的應用，函式的值域，數形結合思想，難度中檔.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交於A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 .
【考點】雙曲線的簡單性質.
【分析】設雙曲線方程，由題意可得丨AB丨= =2×2a，求得b2=2a2，根據雙曲線的離心率公式e= = ，即可求得C的離心率.
【解答】解：設雙曲線方程： (a>0，b>0)，
由題意可知，將x=c代入，解得：y=± ，
則丨AB丨= ，
由丨AB丨=2×2a，
則b2=2a2，
∴雙曲線離心率e= = = ，
故答案為： .
【點評】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查雙曲線通徑的求法，考查計算能力，屬於基礎題.
14.已知 的展開式中各項係數的和為2，則該展開式中含x的係數為 ﹣41 .
【考點】二項式定理的應用.
【分析】根據展開式中各項係數的和2求得m的值，再把二項式展開，求得該展開式中含x的係數.
【解答】解：∵已知 的展開式中各項係數的和為m+1=2，∴m=1，
∴ =(x+ )•( •(2x)5﹣ •(2x)4+ •(2x)3﹣ •(2x)2+ •2x﹣ )，
則該展開式中含x的係數為﹣ ﹣ •4=﹣41，
故答案為：﹣41.
【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式係數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的係數，屬於基礎題.
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對平面內的任意一點M，平面內有一點D使得 ，則 = 6 .
【考點】向量在幾何中的應用.
【分析】據題意，可分別以邊CB，CA所在直線為x軸，y軸，建立一平面直角座標系，得到A(0，3)，並設M(x，y)，D(x′，y′)，B(b，0)，這樣根據條件 即可得到 ，即得到 ，進行數量積的座標運算即可求出 的值.
【解答】解：根據題意，分別以CB，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角座標系，則：
A(0，3)，設M(x，y)，B(b，0)，D(x′，y′);
∴由 得：
3(x′﹣x，y′﹣y)=(b﹣x，﹣y)+2(﹣x，3﹣y);
∴ ;
∴ ;
∴ .
故答案為：6.
【點評】考查通過建立平面直角座標系解決向量問題的方法，根據點的座標求向量的座標，向量座標的數乘和數量積運算.
16.已知數列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N+，Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3且(t﹣an+1)(t﹣an)<0恆成立，則實數t的取值範圍是 (﹣ ， ) .
【考點】數列遞推式.
【分析】由數列遞推式求出首項，寫出n≥2時的遞推式，作差後對n分偶數和奇數討論，求出數列通項公式，可得函式an= ﹣1(n為正奇數)為減函式，最大值為a1=﹣ ，函式an=3﹣ (n為正偶數)為增函式，最小值為a2= ，再由(t﹣an+1)(t﹣an)<0恆成立求得實數t的取值範圍.
【解答】解：由Sn=(﹣1)nan+ +n﹣3，得a1=﹣ ;
當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=(﹣1)nan+ +n﹣3﹣(﹣1)n﹣1an﹣1﹣ ﹣(n﹣1)+3
=(﹣1)nan+(﹣1)nan﹣1﹣ +1，
若n為偶數，則an﹣1= ﹣1，∴an= ﹣1(n為正奇數);
若n為奇數，則an﹣1=﹣2an﹣ +1=2( ﹣1)﹣ +1=3﹣ ，
∴an=3﹣ (n為正偶數).
函式an= ﹣1(n為正奇數)為減函式，最大值為a1=﹣ ，
函式an=3﹣ (n為正偶數)為增函式，最小值為a2= ，
若(t﹣an+1)(t﹣an)<0恆成立，
則a1
故答案為：(﹣ ， ).
【點評】本題考查數列遞推式，考查了數列通項公式的求法，體現了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題.
三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(12分)(2017•郴州三模)如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC= ，D是邊AB上一點.
(1)求△ABC面積的最大值;
(2)若CD=2，△ACD的面積為2，∠ACD為銳角，求BC的長.
【考點】餘弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由已知及餘弦定理，基本不等式可得 ，利用三角形面積公式即可得解△ABC的面積的最大值.
(2)設∠ACD=θ，利用三角形面積公式可解得 ，可求 ，由余弦定理得即可解得AD的值，利用正弦定理可求sinA，進而利用正弦定理可求BC的值.
【解答】(本題滿分為12分)
解：(1)∵ ，
∴由余弦定理可得： …(2分)
∴ ，…(4分)
∴ ，
所以△ABC的面積的最大值為 …(6分)
(2)設∠ACD=θ，在△ACD中， ，
∴ ，解得： ，∴ …(7分)
由余弦定理得： ，
∴ ，…(9分)
∵ ，∴ ，
∴ ，此時 ，
∴ .…(12分)
【點評】本題主要考查了正弦定理，餘弦定理，三角形面積公式，基本不等式，同角三角函式基本關係式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬於中檔題.
18.(12分)(2017•郴州三模)2017年郴州市兩會召開前夕，某網站推出兩會熱點大型調查，調查資料表明，民生問題時百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約佔80%，現從參與者中隨機選出200人，並將這200人按年齡分組：第1組[15，25)，第2組[25，35)，第3組[35，45)，第4組[45，55)，第5組[55，65)，得到的頻率分佈直方圖如圖所示.
(1)求出頻率分佈直方圖中的a值，並求出這200的平均年齡;
(2)現在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機抽取3人贈送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率;
(3)若要從所有參與調查的人(人數很多)中隨機選出3人，記關注民生問題的人數為X，求X的分佈列和數學期望.
【考點】離散型隨機變數的期望與方差;頻率分佈直方圖;離散型隨機變數及其分佈列.
【分析】(1)由頻率分佈直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a.
(2)分層抽樣的方法在第3組中應抽取7人，設事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率.
(3)X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B(3， )，由此能求出X的分佈列和數學期望.
【解答】解：(1)由頻率分佈直方圖得：
(0.01+0.015+0.03+a+0.01)×10=1，
解得a=0.035.
(2)分層抽樣的方法在第3組中應抽取 =7人，
設事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，
則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，
則抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率：
P(A)=1﹣P( )=1﹣ = .
(3)X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B(3， )，
且P(X=k)= ，k=0，1，2，3，
∴X的分佈列為：
X 0 1 2 3
P
EX=np=3× = .
【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變數的分佈列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分佈直方圖、對立事件概率乘法公式、二項分佈的合理運用.
19.(12分)(2017•郴州三模)如圖，C是以AB為直徑的.圓O上異於A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.
(Ⅰ)求證：直線l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互餘?若存在，求出|AQ|的值;若不存在，請說明理由.
【考點】平面與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)利用三角形中位線定理推匯出BC∥面EFA，從而得到BC∥l，再由已知條件推匯出BC⊥面PAC，由此證明l⊥面PAC.
(2)以C為座標原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直於面ABC的直線為z軸，建立空間直角座標系，利用向量法求出直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互餘，|AQ|=1.
【解答】(Ⅰ)證明：∵E，F分別是PB，PC的中點，∴BC∥EF，
又EF⊂平面EFA，BC不包含於平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l⊥面PAC.
(2)解：以C為座標原點，CA為x軸，CB為y軸，
過C垂直於面ABC的直線為z軸，建立空間直角座標系，
A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0， )，
E( )，F( )，
， ，
設Q(2，y，0)，面AEF的法向量為 ，
則 ，
取z= ，得 ， ，
|cos< >|= = ，
|cos< >|= = ，
依題意，得|cos< >|=|cos< >|，
∴y=±1.
∴直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互餘，|AQ|=1.
【點評】本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.
20.(12分)(2017•郴州三模)已知拋物線E：y2=8x，圓M：(x﹣2)2+y2=4，點N為拋物線E上的動點，O為座標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交於A，B兩點，求△QAB面積的最小值.
【考點】圓錐曲線的綜合;軌跡方程.
【分析】(1)利用代入法，求曲線C的方程;
(2)設切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0)，圓心(2，0)到切線的距離d= =2，整理可得 ，表示出面積，利用函式的單調性球心最小值.
【解答】解：(1)設P(x，y)，則點N(2x，2y)在拋物線E：y2=8x上，
∴4y2=16x，
∴曲線C的方程為y2=4x;
(2)設切線方程為y﹣y0=k(x﹣x0).
令y=0，可得x= ，
圓心(2，0)到切線的距離d= =2，
整理可得 .
設兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1+k2= ，k1k2= ，
∴△QAB面積S= |(x0﹣ )﹣(x0﹣ )|y0=2•
設t=x0﹣1∈[4，+∞)，則f(t)=2(t+ +2)在[4，+∞)上單調遞增，
∴f(t)≥ ，即△QAB面積的最小值為 .
【點評】本題考查直線與拋物線的綜合運用，具體涉及到拋物線的基本性質及應用，直線與拋物線的位置關係、圓的簡單性質等基礎知識，軌跡方程的求法和點到直線的距離公式的運用.
21.(12分)(2017•郴州三模)已知函式f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx.
(1)當a>0時，求函式f(x)的單調遞增區間;
(2)當a<0時，求函式f(x)在 上的最小值;
(3)記函式y=f(x)的圖象為曲線C，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C上的不同兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂直交曲線C於點N，判斷曲線C在點N處的切線是否平行於直線AB，並說明理由.
【考點】利用導數研究函式的單調性;利用導數求閉區間上函式的最值.
【分析】(1)求出函式f(x)的導函式，由a>0，定義域為(0，+∞)，再由f′(x)>0求得函式f(x)的單調增區間;
(2)當a<0時，求出導函式的零點﹣ ，1，分﹣ >1， ≤﹣ ≤1，﹣ < ，討論函式f(x)在區間[ ，1]上的單調性，求出函式的最小值，最後表示為關於a的分段函式;
(3)設出線段AB的中點M的座標，得到N的座標，由兩點式求出AB的斜率，再由導數得到曲線C過N點的切線的斜率，由斜率相等得到ln = ，令 =t後建構函式g(t)=lnt﹣ (t>1)，根據函式的單調性判斷不成立.
【解答】解：(1)∵f(x)=ax2+(1﹣2a)x﹣lnx，
∴f′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = ，
∵a>0，x>0，
∴2ax+1>0，解f′(x)>0，得x>1，
∴f(x)的單調增區間為(1，+∞);
(2)當a<0時，由f′(x)=0，得x1=﹣ ，x2=1，
①當﹣ >1，即﹣
∴f(x)在[ ，1]上的最小值為f(1)=1﹣a.
②當 ≤﹣ ≤1，即﹣1≤a≤﹣ 時，
f(x)在[ ，﹣ ]上是減函式，在[﹣ ，1]上是增函式，
∴f(x)的最小值為f(﹣ )=1﹣ +ln(﹣2a).
③當﹣ < ，即a<﹣1時，f(x)在[ ，1]上是增函式，
∴f(x)的最小值為f( )= ﹣ a+ln2.
綜上，函式f(x)在區間[ ，1]上的最小值為：
f(x)min= ;
(3)設M(x0，y0)，則點N的橫座標為x0= ，
直線AB的斜率k1= = [a(x12﹣x22)+(1﹣2a)(x1﹣x2)+lnx2﹣lnx1]
=a(x1+x2)+(1﹣2a)+ ，
曲線C在點N處的切線斜率k2=f′(x0)=2ax0+(1﹣2a)﹣ =a(x1+x2)+(1﹣2a)﹣ ，
假設曲線C在點N處的切線平行於直線AB，則k1=k2，
即 =﹣ ，
∴ln = = ，
不妨設x11，則lnt= ，
令g(t)=lnt﹣ (t>1)，則g′(t)= ﹣ = >0，
∴g(t)在(1，+∞)上是增函式，又g(1)=0，
∴g(t)>0，即lnt= 不成立，
∴曲線C在點N處的切線不平行於直線AB.
【點評】本題考查利用導數求函式的單調區間，考查了利用導數求函式的最值，體現了分類討論的數學思想方法，訓練了利用建構函式法證明等式恆成立問題，特別是對於(3)的證明，要求學生較強的應變能力，是壓軸題.
[選修4-4：引數方程與極座標系]
22.(10分)(2017•郴州三模)在平面直角座標系xoy中，曲線C的引數方程為 (θ為引數)，直線l的引數方程為 (t為引數)以座標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極座標方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|•|PN|的值.
【考點】簡單曲線的極座標方程;引數方程化成普通方程.
【分析】(1)直線l的引數方程為 (t為引數)，消去引數t可得普通方程.曲線C的引數方程為 (θ為引數)，利用平方關係可得直角座標方程.把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的極座標方程.
(II)P(1，0).把直線l的引數方程代入圓C的方程為： +1=0，|PM|•|PN|=|t1•t2|.
【解答】解：(1)直線l的引數方程為 (t為引數)，消去引數t可得：x+y﹣1=0.
曲線C的引數方程為 (θ為引數)，利用平方關係可得：x2+(y﹣2)2=4.
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的極座標方程為：ρ=4sinθ.
(II)P(1，0).把直線l的引數方程代入圓C的方程為： +1=0，
t1+t2=3 ，t1•t2=1，
∴|PM|•|PN|=|t1•t2|=1.
【點評】本題考查了極座標方程的應用、引數方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2017•郴州三模)在平面直角座標系中，定義點P(x1，y1)、Q(x2，y2)之間的“直角距離”為L(P，Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知點A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三點.
(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值範圍;
(2)當x∈R時，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恆成立，求t的最小值.
【考點】兩點間距離公式的應用;函式恆成立問題.
【分析】(1)根據定義寫出L(A，B)，L(A，C)的表示式，最後通過解不等式求出x的取值範圍;
(2)當x∈R時，不等式L(A，B)≤t+L(A，C)恆成立即當x∈R時，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恆成立，運用分離變數，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恆成立，可用絕對值不等式的性質，求得右邊的最大值為4，令t不小於4即可.
【解答】解：(1)由定義得|x﹣1|+1>|x﹣5|+1，
即|x﹣1|>|x﹣5|，兩邊平方得8x>24，
解得x>3;
(2)當x∈R時，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恆成立，
也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恆成立，
因為|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|(x﹣1)﹣(x﹣5)|=4，所以t≥4，tmin=4.
故t的最小值為：4.
【點評】本題考查新定義：直角距離的理解和運用，考查絕對值不等式的解法，以及不等式恆成立問題，轉化為求函式的最值，屬於中檔題.
