一、綜合法與分析法
綜合法與分析法是數學證明題中經常用到的兩種方法.由已知條件入手，根據已知的定義、定理、公理、公式逐步推匯出需要求證的結論來，這種思維方法叫綜合法.綜合法是由原因匯出結果即“由因導果”的思維方法.
這個題的證明方法，用的就是綜合法，從已知條件入手，結合相關定理得出最後的結論.
例2.已知a是不小於4的數，求證：
.
故只須不等式成立，
即>2+成立，
只須：（）2>（2+）2，即2a-7>2成立，
只須（2a-7）2>（2）2即1>0即可，
而1>0，顯然成立，注意到以上各步驟均可逆（每一步都是前一步的充分條件），因此原不等式成立.
這個題的證明方法就是分析法.在假定結論成立的條件下，逐步推匯出1>0這樣一個真命題，而且以上推導過程可逆.正是因為過程可逆，才保證了在1>0及a是不小於4的數的條件下可以推證出不等式成立的結果.如果我們在用分析法推導的過程中，過程不可逆那麼，分析法是失效的.比如，由a>b，c>d可以推得a+c>b+d，反之則不然，這個過程就不是可逆的。
二、反證法與同一法：
反證法是一種間接證明命題的方法，它是通過證明反命題為假（即先否定結論，通過結論的否定，推出與已知條件或定理、公理、公式相矛盾的結果），從而間接證明了原命題的正確性.
例3. 如圖1所示，已知平面 、 交於直線a，直線b在 內與直線a相交於A點，直線c在 內與直線a平行. 求證：b、c為異面直線.
證明：假設b、c不是異面直線，則或者b∥c，或者b、c 相交於一點.
如果b∥c，則因為a∥c，所以b∥a，這與已知條件“直線b在 內與直線a相交於A點”相矛盾；
如果bIc=P（b、c 相交於一點），則因為c ，b ，所以P∈ ，且P∈ ，從而P∈a= I ，故直線a、c相交於P點，這又與已知條件“直線c在 內與直線a平行” 相矛盾.
以上矛盾說明b、c必為異面直線.
這個題的證明方法就是反證法.反證法的關鍵是通過否定結論，推出矛盾，從而達到間接證明命題為真的效果的。
例4. 試證明三角形的三條中線相交於一點.
已知：在△ABC中，AD，BE，CF是它的.三條中線（如圖 2所示），
求證：AD，BE，CF三線共點
證明：設△ABC中，BC、AC邊的中線AD，BE相交於一點G，連結CG並延長與AB相交於F1點，
因為DE是△ABC的中位線，從而DE∥AB，設DE與CF1相交於M點，於是有
==，即= ；………（1）
==，即=；………（2）
該題的證明方法就是同一法。
三、歸納法與合情推理
歸納法是從特殊到一般的一種推理方法，它有別於演繹法（一種由一般到特殊的推理方法），是合情推理的一種方法.它又分為不完全歸納法，和完全歸納法，其中數學歸納法是一種最常用的方法.
例5. 試寫出數列：，，，，，∧∧的一個通項公式.
解：觀察這個數列的前5項，發現分母逐漸增大，且是連續的自然數，而分子始終圍繞在分母的前後進行變化，嘗試著將各項拆分發現有以下規律：
a1==1-=1+（-1）1
a3==1-=1+（-1）3，
a4==1+=1+（-1）4，
a5==1-=1+（-1）5∧∧，
故猜想這個數列的第n項an=1+（-1）n，顯然經過驗證，前5項均滿足這個公式.
由於這個數列只給出了前5項，且經過驗證，都符合這個通項公式.即便沒有對數列的每一項都做出分解分析（也不可能全部進行分析），只是分析了前5項反映出來的規律，我們仍然認為這個結論是合理的.這個結論就是運用不完全歸納法得出來的.
解：因為an=pan-1，p≠0，所以=p，{an}是個等比數列，an=pn又因為b1=q，bn=qan-1+rbn-1得：
b2=qa1+rb1=qp+rq=q（p+r），
b3=qa3+rb2=q?p2+r?q2（p+r）=q（p2+pr+r2），
b4=qa4+rb3=q?p3+rq（p2+pr+r2）=q（p3+p2r+r3）， ，
………………
可以推斷：
=
現在用數學歸納法證明如下：
當n=1時，b1==q，推斷成立；
假設當n=k時，推斷成立，即bk=，那麼，當n=k+1時，bk+1=qak+rbk=q?pk+r?=，即n=k+1時推斷也成立，所以對一切自然數，都有bn=.
四、解析法與向量法
平面解析幾何是數形結合的典範，它以座標為紐帶，將數與形緊密地聯絡在一起，並通過他們的相互轉換達到解決問題的目的.因此人們又把這種通過建立座標系，將幾何的問題化為代數的問題來解決的方法叫解析法.
例7. 已知在△ABC中，D為BC邊上任意一點（異於B、C ），且|AB|2=|AD|2+|BD|?|DC|，
求證：△ABC是等腰三角形.
證明：如圖3所示，建立平面直角座標系，B、C兩點在x軸上，A點在y軸上，設A、B、C、D點的座標分別為A（0，a），B（-b，0），C（c，0），D（d，0），於是|AB|=，|AD|=，|BD|=d+b，|DC|=c-d，因為|AB|2=|AD|2+|BD|?|DC|，所以a2+b2=a2+d2+（d+b）（c-d），得b2-d2=（d+b）（c-d），又因為D為BC邊上任意一點（異於B、C ），b≠-d，從而b-d=c-d，即b=c，|OB|=|OC|，△ABC是等腰三角形.
向量是數學中的重要概念之一 。由於向量具有幾何形式和代數形式“雙重身份” ，使它成為中學數學知識的一個交匯點 ，成為聯絡多項內容的媒介。特別是在處理度量、角度、平行、垂直等問題時 ，向量工具有其獨到之處。
參考文獻：
[2]王學賢.淺析同一法[J].數學教學通訊，1984（3）.
[3]顧越嶺.高中數學精講[M].江蘇教育出版社.
