學案10 函式的圖象
解 原方程變形為|x2－4x＋3|＝x＋a，於是，設＝|x2－4x＋3|，＝x＋a，在同一座標系下分別作出它們的圖象．如圖．則當直線＝x＋a過點(1,0)時a＝－1；當直線＝x＋a與拋物線＝－x2＋4x－3相切時，由＝x＋a＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，
f(x)的圖象如右圖所示．
(3)由圖可知，f(x)的減區間是[2,4]．……………………………………………………(8分)
(4)由圖象可知f(x)>0的解集為
{x|0<x<4或x>4}．………………………………………………………………………(10分)
(5)∵f(5)＝5>4，
由圖象知，函式在[1,5)上的值域為[0,5)．……………………………………………(12分)
10.
解 設f1(x)＝(x－1)2，
f2(x)＝lgax，
要使當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2<lgax恆成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝lgax的下方即可．
當0<a<1時，由圖象知顯然不成立．……………………………………………………(4分)
當a>1時，如圖，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝lgax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤lga2，lga2≥1，……………………………………………………………(10分)
∴1<a≤2.………………………………………………………………………………(12分)
11．解 (1)方法一 ∵x>0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，
等號成立的條件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需≥2e，則g(x)＝就有根．…………………………………………………(6分)
方法二 作出g(x)＝x＋e2x的'圖象如圖：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)＝有根，則只需≥2e.………………………………………………(6分)
方法三 解方程由g(x)＝，得x2－x＋e2＝0.
此方程有大於零的根，故2>0Δ＝2－4e2≥0……………………………………………(4分)
等價於>0≥2e或≤－2e，故≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根，即g(x)＝f(x)中函式g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，
作出g(x)＝x＋e2x (x>0)的圖象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋－1＝－(x－e)2＋－1＋e2.
其對稱軸為x＝e，開口向下，
最大值為－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)
故當－1＋e2>2e，即>－e2＋2e＋1時，
g(x)與f(x)有兩個交點，
即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．
∴的取值範圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)
