學案49 圓的方程
導學目標： 1.掌握確定圓的幾何要素.2.掌握圓的標準方程與一般方程.3.初步瞭解用代數方法處理幾何問題的思想．
變式遷移1 根據下列條件，求圓的方程．
探究點二 圓的幾何性質的應用
一、選擇題(每小題5分，共25分)
二、填空題(每小題4分，共12分)
學案49 圓的方程
自主梳理
1．定點 定長 集合 2.圓心 半徑 3.(a，b) r
4．D2＋E2－4F>0 －D2，－E2 D2＋E2－4F2
5．(1)根據題意，選擇標準方程或一般方程 (2)根據條件列出關於a，b，r或D、E、F的方程組 (3)解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程 6.(1)＝ (2)> (3)<
自我檢測
1．D 2.A 3.A
4．(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)
5．(x－2)2＋(－1)2＝5
課堂活動區
例1 解題導引 (1)一可以利用圓的一般式方程，通過轉化三個獨立條件，得到有關三個待定字母的關係式求解；二可以利用圓的方程的標準形式，由條件確定圓心和半徑．
(2)一般地，求圓的方程時，當條件中給出的是圓上若干點的座標，較適合用一般式，通過解三元方程組求待定係數；當條件中給出的是圓心座標或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式．
解 方法一 設圓心為C，
所求圓的方程為x2＋2＋Dx＋E＋F＝0，
則圓心C－D2，－E2.∴CB＝6＋E28＋D2.
由CBl＝－1，
∴6＋E28＋D2－13＝－1.①
又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②
又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③
解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
∴所求圓的方程為x2＋2－11x＋3－30＝0.
方法二 設圓的圓心為C，則CB⊥l，從而可得CB所在直線的方程為－6＝3(x－8)，即3x－－18＝0.①
由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中點座標為(3,1)．
又AB＝6＋48＋2＝1，
∴AB的垂直平分線的方程為－1＝－(x－3)，
即x＋－4＝0.②
由①②聯立後，解得x＝112，＝－32.即圓心座標為112，－32.
∴所求圓的半徑r＝112－82＋－32－62＝1252.
∴所求圓的方程為x－1122＋＋322＝1252.
變式遷移1 解 (1)設所求圓的圓心Q的座標為(a，b)，圓Q的方程為(x－a)2＋(－b)2＝42，又∵OQ＝6，
∴聯立方程0－a2＋0－b2＝62－1－a2＋3－b2＝16，
解得a＝－3，b＝33，
所以所求圓的方程為(x＋3)2＋(－33)2＝16.
(2)
如圖，因為圓周被直線3x＋4＋15＝0分成1∶2兩部分，所以∠AOB＝120°，而圓心(0,0)到直線3x＋4＋15＝0的距離d＝1532＋42＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.
所以所求圓的方程為x2＋2＝36.
例2 解題導引 (1)在解決與圓有關的問題中，藉助於圓的幾何性質，往往會使得思路簡捷明瞭，簡化思路，簡便運算．
(2)本題利用方程思想求值，即“列出的方程”求值．
解 方法一 將x＝3－2，
代入方程x2＋2＋x－6＋＝0，
得52－20＋12＋＝0.
設P(x1，1)，Q(x2，2)，則1、2滿足條件：
1＋2＝4，12＝12＋5.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋12＝0.
而x1＝3－21，x2＝3－22.
∴x1x2＝9－6(1＋2)＋412.
∴9－6(1＋2)＋512＝0，
∴9－6×4＋5×12＋5＝0，
∴＝3，此時1＋36－3×4>0，圓心座標為－12，3，半徑r＝52.
方法二
如圖所示，
設弦PQ中點為M，
∵O1M⊥PQ，
∴O1M＝2.
又圓心座標為－12，3，
∴O1M的方程為－3＝2x＋12，即＝2x＋4.
由方程組＝2x＋4，x＋2－3＝0，解得M的座標為(－1,2)．
則以PQ為直徑的圓可設為(x＋1)2＋(－2)2＝r2.
∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2.
在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2.
∴－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋－62－44.
∴＝3.∴半徑為52，圓心為－12，3.
變式遷移2 解 (1)∵M的座標為(3，1)，∴M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1，
則圓M的方程為(x－3)2＋(－1)2＝1.
設圓N的半徑為r，
連線MA，NC，OM，
則MA⊥x軸，NC⊥x軸，
由題意知：M，N點都在∠COD的平分線上，
∴O，M，N三點共線．
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，
|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r＝1rr＝3，
則OC＝33，則圓N的方程為(x－33)2＋(－3)2＝9.
(2)由對稱性可知，所求的弦長等於過A點與MN平行的直線被圓N截得的弦的長度，
此弦的方程是＝33(x－3)，即x－3－3＝0，
圓心N到該直線的距離d＝32，
則弦長為2r2－d2＝33.
例3 解題導引 與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種型別：
(1)形如μ＝－bx－a形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋b形式的最值問題，可轉化為動直線截距的.最值問題；(3)形如(x－a)2＋(－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
解 (1)－x可看作是直線＝x＋b在軸上的截距，當直線＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.
所以－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6.
(2)x2＋2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．
又圓心到原點的距離為2－02＋0－02＝2，
所以x2＋2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，
x2＋2的最小值是(2－3)2＝7－43.
變式遷移3 解 設P(x，)，
則P點的軌跡就是已知圓C：(x－3)2＋(－3)2＝6.
而x的幾何意義就是直線OP的斜率，
設x＝，則直線OP的方程為＝x.
當直線OP與圓相切時，斜率取最值．
因為點C到直線＝x的距離d＝|3－3|2＋1，
所以當|3－3|2＋1＝6，
即＝3±22時，直線OP與圓相切．
即x的最大值為3＋22，最小值為3－22.
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1．B [圓的方程化為標準形式為(x－1)2＋(－3)2＝10，由圓的性質可知最長弦|AC|＝210，最短弦BD恰以E(0,1)為中心，設點F為其圓心，座標為(1,3)．
故EF＝5，∴BD＝210－52＝25，
∴S四邊形ABCD＝12ACBD＝102.]
2．D 3.A 4.B 5.A
6．(x＋1)2＋2＝2 7.(x－2)2＋(－1)2＝2 8.0
9．解 (1)∵AB的中垂線方程為3x＋2－15＝0，
由3x＋2－15＝0，3x＋10＋9＝0，解得x＝7，＝－3.(3分)
∴圓心為C(7，－3)．又|CB|＝65，
故所求圓的方程為(x－7)2＋(＋3)2＝65.(6分)
(2)設圓的方程為x2＋2＋Dx＋E＋F＝0，將P、Q點的座標分別代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10. ① ②
(8分)
又令＝0，得x2＋Dx＋F＝0，③
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圓的方程為x2＋2－2x－4－8＝0，或x2＋2－6x－8＝0.(12分)
10．解 (1)設t＝x＋，則＝－x＋t，t可視為直線＝－x＋t的縱截距，所以x＋的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的縱截距．
由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等於半徑，
即|2＋－3－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1，
所以x＋的最大值為2－1，
最小值為－2－1.(4分)
(2)x可視為點(x，)與原點連線的斜率，x的最大值和最小值就是過原點的直線與該圓有公共點時斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率．
設過原點的直線方程為＝x，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等於半徑，即|2－－3|1＋2＝1，
解得＝－2＋233或＝－2－233，
所以x的最大值為－2＋233，
最小值為－2－233.(8分)
(3)x2＋2＋2x－4＋5，
即[x－－1]2＋－22，其最值可視為點(x，)到定點(－1,2)的距離的最值，可轉化為圓心(2，－3)到定點(－1,2)的距離與半徑的和或差．
又因為圓心到定點(－1,2)的距離為34，所以x2＋2＋2x－4＋5的最大值為34＋1，最小值為34－1.(12分)
11．解 建立如圖所示的座標系，設該圓拱所在圓的方程為x2＋2＋Dx＋E＋F＝0，由於圓心在軸上，所以D＝0，那麼方程即為x2＋2＋E＋F＝0.(3分)
下面用待定係數法來確定E、F的值．
因為P、B都在圓上，所以它們的座標(0,4)、(10,0)都是這個圓的方程的解，
於是有方程組42＋4E＋F＝0，102＋F＝0，(7分)
解得F＝－100，E＝21.
∴這個圓的方程是x2＋2＋21－100＝0.(10分)
把點P2的橫座標x＝－2代入這個圓的方程，
得(－2)2＋2＋21－100＝0，2＋21－96＝0.
∵P2的縱座標>0，故應取正值，
∴＝－21＋212＋4×962≈3.86(米)．
所以支柱A2P2的高度約為3.86米．(14分)
5 O
