篇一：九年級數學二次函式知識點總結
一、二次函式概念：
a0）b，c是常數，1．二次函式的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函式，叫做二次函式。 這
c可以為零．二次函式的定義域是全體實裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數a0，而b，
數．
2. 二次函式yax2bxc的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數x的二次式，x的最高次數是2．
b，c是常數，a是二次項係數，b是一次項係數，c是常數項． ⑵ a，
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：yax2的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2. yax2c的性質： 上加下減。
3. yaxh的性質：
左加右減。
2
4. yaxhk的性質：
2
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點座標h，k； ⑵ 保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|個單位
【或左(h<0)】
2. 平移規律
在原有函式的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方法二：
⑴yax2bxc沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，yax2bxc變成
yax2bxcm（或yax2bxcm）
⑵yax2bxc沿軸平移：向左（右）平移m個單位，yax2bxc變成
ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）
四、二次函式yaxhk與yax2bxc的比較
從解析式上看，yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前b4acb2b4acb2
者，即yax，其中h，． k
2a4a2a4a
2
2
2
五、二次函式yax2bxc圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式yax2bxc化為頂點式ya(xh)2k，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0，c、以及0，c關於對稱軸對稱的點2h，c、與x軸的交點x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.
六、二次函式yax2bxc的性質
b4acb2b
1. 當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點座標為．
2a4a2a
當x
bbb
時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a
4acb2
值．
4a
b4acb2bb
2. 當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點座標為時，y隨．當x
2a4a2a2a
4acb2bb
． x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值
2a2a4a
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：yax2bxc（a，b，c為常數，a0）；
2. 頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數，a0）；
3. 兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只
有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數a
二次函式yax2bxc中，a作為二次項係數，顯然a0．
⑴ 當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；⑵ 當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．
總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小． 2. 一次項係數b
在二次項係數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在a0的前提下，
當b0時，當b0時，
b
0，即拋物線的對稱軸在y軸左側； 2a
b
0，即拋物線的對稱軸就是y軸； 2a
b
0，即拋物線對稱軸在y軸的右側． 2a
⑵ 在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即 當b0時，當b0時，當b0時，當b0時，
b
0，即拋物線的對稱軸在y軸右側； 2a
b
0，即拋物線的對稱軸就是y軸； 2a
b
0，即拋物線對稱軸在y軸的左側． 2a
總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．
ab的符號的判定：對稱軸x
b
在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是2a
“左同右異” 總結：
3. 常數項c
⑴ 當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱座標為正；⑵ 當c0時，拋物線與y軸的交點為座標原點，即拋物線與y軸交點的縱座標為0；⑶ 當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱座標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．
b，c都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的． 總之，只要a，
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關於x軸對稱
ya2xbx關於cx軸對稱後，得到的解析式是yax2bxc；
yaxhk關於x軸對稱後，得到的解析式是yaxhk；2. 關於y軸對稱
ya2xbx關於cy軸對稱後，得到的解析式是yax2bxc；
22
yaxhk關於y軸對稱後，得到的解析式是yaxhk；3. 關於原點對稱
ya2xbx關於原點對稱後，得到的解析式是cyax2bxc； yaxh關於原點對稱後，得到的解析式是kyaxhk；
2
2
22
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
b2
yaxbx關於頂點對稱後，得到的解析式是cyaxbxc；
2a
2
2
yaxhk關於頂點對稱後，得到的解析式是yaxhk．5. 關於點m，n對稱
n對稱後，得到的解析式是yaxh2m2nk yaxhk關於點m，
2
2
22
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
十、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與x軸交點情況）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函式yax2bxc當函式值y0時的特殊情況. 圖象與x軸的交點個數：
① 當b24ac0時，圖象與x軸交於兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次
方程axbxc0a
0的兩根．這兩點間的距離ABx2x1.
2
② 當0時，圖象與x軸只有一個交點； ③ 當0時，圖象與x軸沒有交點.
1' 當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；
2'當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0． 2. 拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與x軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函式中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與x軸的一個交點座標，可由對稱性求出另一個交點座標. ⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函式；下面以a0時為例，揭示二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡：
篇二：九年級數學二次函式知識點總結
一、二次函式概念：
1．二次函式的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函式，叫做二次函式。 這b，c是常數，a0）裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數a0，而b，c可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2. 二次函式yax2bxc的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數x的二次式，x的最高次數是2． ⑵ a，b，c是常數，a是二次項係數，b是一次項係數，c是常數項．
二、二次函式的基本形式
二次函式的基本形式yaxhk的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
k； 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點座標h，k處，具體平移方法如下：
⑵ 保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|個單位
【或左(h<0)】
2. 平移規律
在原有函式的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方法二：
⑴yaxbxc沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，yaxbxc變成
2
2
yax2bxcm（或yax2bxcm）
⑵yaxbxc沿軸平移：向左（右）平移m個單位，yaxbxc變成
2
2
ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）
四、二次函式yaxhk與yax2bxc的比較
從解析式上看，yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前b4acb2b4acb2
者，即yax，其中h，． k
2a4a2a4a
2
2
2
五、二次函式yax2bxc圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式yax2bxc化為頂點式ya(xh)2k，確定其開口方向、
對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸c、以及0，c關於對稱軸對稱的點2h，c、與x軸的交點x1，0，x2，0（若與x軸的交點0，
沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.
六、二次函式yax2bxc的性質
b4acb2b
1. 當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點座標為．
2a4a2a
當x
bbb
時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a
4acb2
值．
4a
b4acb2bb
2. 當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點座標為時，y隨．當x
2a4a2a2a
4acb2bb
． x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值
4a2a2a
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：yax2bxc（a，b，c為常數，a0）； 2. 頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數，a0）；
3. 兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只
有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數a
二次函式yax2bxc中，a作為二次項係數，顯然a0．a決定了拋物線開口的大小和方向，a
的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數b
在二次項係數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．
ab的符號的判定：對稱軸x
b
在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是2a
“左同右異”
3. 常數項cc決定了拋物線與y軸交點的位置． 總之，只要a，b，c都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與x軸交點情況）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函式yax2bxc當函式值y0時的特殊情況. 圖象與x軸的交點個數：
① 當b24ac0時，圖象與x軸交於兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程axbxc0a0的兩根．
這兩點間的距離ABx2x1② 當0時，圖象與x軸只有
2
一個交點； ③ 當0時，圖象與x軸沒有交點.1' 當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任
何實數，都有y0；2' 當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．
2. 拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)； 3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與x軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函式中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與x軸的一個交點座標，可由對稱性求出另一個交點座標.
二次函式考查重點與常見題型
1． 考查二次函式的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：
已知以x為自變數的二次函式y(m2)xmm2的影象經過原點， 則m的值是2． 綜合考查正比例、反比例、一次函式、二次函式的影象，習題的特點是在同一直角座標系內考查
兩個函式的影象，試題型別為選擇題，如： 如圖，如果函式ykxb的影象在第一、二、三象限內，那麼函式ykxbx1的影象大致是（ ）
2
2
2
3． 考查用待定係數法求二次函式的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題型別有中檔解答題和選
拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x
5
，求這條拋物線的解析式。 3
4． 考查用配方法求拋物線的頂點座標、對稱軸、二次函式的極值，有關試題為解答題，如： 3
已知拋物線yax2bxc（a≠0）與x軸的兩個交點的橫座標是－1、3，與y軸交點的縱座標是－
2（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標. 5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。 由拋物線的位置確定係數的符號
例1 （1）二次函式yax2bxc的影象如圖1，則點M(b,)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函式值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
ca
(1) (2)
【點評】弄清拋物線的位置與係數a，b，c之間的關係，是解決問題的關鍵．
2
例2.已知二次函式y=ax+bx+c的圖象與x軸交於點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方．下列結論：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+cO，其中正確結論的個數為( )A 1個 B. 2個 C. 3個 D．4個 答案：D
會用待定係數法求二次函式解析式
例3.已知：關於x的一元二次方程ax+bx+c=3的一個根為x=2，且二次函式y=ax+bx+c的對稱軸是直線
2
2
x=2，則拋物線的頂點座標為( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C
例4、已知拋物線y=
125x+x-． 22
（1）用配方法求它的頂點座標和對稱軸．
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長．
【點評】本題（1）是對二次函式的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函式與一元二次方程的關係．
函式主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）瞭解函式的具體特徵；藉助多種現實背景理解函式；將函式視為“變化過程中變數之間關係”的數學模型；滲透函式的思想；關注函式與相關知識的聯絡。
二次函式對應練習試題
一、選擇題
1. 二次函式yx4x7的頂點座標是()
2
2
2
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把拋物線y2x向上平移1個單位，得到的拋物線是（）
A. y2(x1) B. y2(x1)C. y2x1D. y2x1 3.函式ykxk和y
2
2
2
2
k
(k0)在同一直角座標系中圖象可能是圖中的() x
4.已知二次函式yaxbxc(a0)的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當x1和x3時,函式值相等;③4ab0④當y2時, x的值只能取0.其中正確的個數是( )
A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個
5.已知二次函式yaxbxc(a0)的頂點座標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),
2
由圖象可知關於x的一元二次方程axbxc0的兩個根分別是x11.3和x2
2
2
（）
Ａ．－１.３ B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6. 已知二次函式yaxbxc的圖象如圖所示，則點(ac,bc)在（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.方程2xx
2
2
2
的正根的個數為（） x
A.0個 B.1個C.2個. 3 個
8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與y軸交於點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為
A. yxx2 B. yxx2
C. yxx2或yxx2D. yxx2或yxx2
2
2
2
2
2
2
篇三：2015九年級數學二次函式知識點總結完整版
一、二次函式概念：
b，c是常數，a0）的函式，叫做二次函式。1．二次函式的概念：一般地，形如yax2bxc（a， c可以為零．二次函式的 這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數a0，而b，
定義域是全體實數．
2. 二次函式yax2bxc的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數x的二次式，x的最高次數是2．
b，c是常數，a是二次項係數，b是一次項係數，c是常數項． ⑵ a，
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：yax2的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2. yax2c的性質： 上加下減。
3. yaxh的性質：
左加右減。
2
4. yaxhk的性質：
2
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點座標h，k； ⑵ 保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|個單位
【或左(h<0)】
2. 平移規律
在原有函式的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 四、二次函式yaxh與 xbx的比較ckya2
從解析式上看，yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得b4acb2b4acb2
到前者，即yax，其中h，． k
2a4a2a4a
2
2
2
六、二次函式yax2bxc的性質
b4acb2b
1. 當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點座標為．
2a4a2a
當x當x
b
時，y隨x的增大而減小； 2a
b
時，y隨x的增大而增大； 2a
b4acb2
當x時，y有最小值．
2a4a
b4acb2bb
2. 當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點座標為時，
．當x
2a4a2a2a
4acb2bb
． y隨x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值
2a2a4a
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：yax2bxc（a，b，c為常數，a0）； 2. 頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數，a0）；
3. 兩根式（交點式）：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫座標）. 注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，
只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數a
⑴ 當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；⑵ 當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大． 2. 一次項係數b
在二次項係數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．（同左異右 b為0對稱軸為y軸）3. 常數項c
⑴ 當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱座標為正；⑵ 當c0時，拋物線與y軸的交點為座標原點，即拋物線與y軸交點的縱座標為0；⑶ 當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱座標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．
十、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與x軸交點情況）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函式yax2bxc當函式值y0時的特殊情況. 圖象與x軸的交點個數：
0，Bx2，0(x1x2)，① 當b24ac0時，圖象與x軸交於兩點Ax1，其中的x1，x2是一元二
次方程ax2bxc0a0的兩根．. ② 當0時，圖象與x軸只有一個交點；
③ 當0時，圖象與x軸沒有交點.
1' 當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0； 2' 當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0． 2. 拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
二次函式對應練習試題
一、選擇題
1. 二次函式yx4x7的頂點座標是()
2
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把拋物線y2x向上平移1個單位，得到的拋物線是（）
2
A. y2(x1)2 B. y2(x1)2C. y2x21D. 3.函式和在同一直角座標系中圖象可能是圖中的()
4.已知二次
函式的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當和時,函式值相等;③④當時, 的值只能取0.其中正確的個數是( )
A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個
5.已知二次函式的頂點座標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關於的一元二次方程的兩個根分別是（）
Ａ．－１.３ B.-2.3C.-0.3D.-3.3
6. 已知二次函式的圖象如圖所示，則點在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限 7.方程的正根的個數為（）
A.0個 B.1個C.2個. 3 個
8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交於點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為
A. B.C. 或D. 或
二、填空題
9．二次函式的對稱軸是，則_______。
10．已知拋物線y=-2（x+3）2+5，如果y隨x的增大而減小，那麼x的取值範圍是_______.
11．一個函式具有下列性質：①圖象過點（－1，2），②當＜0時，函式值隨自變數的增大而增大；滿足上述兩條性質的函式的解析式是（只寫一個即可）。
12．拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩座標軸所圍成的三角形面積為。 13. 二次函式的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b= ,c=。
14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，線上段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).
三、解答題：
15.已知二次函式圖象的對稱軸是,圖象經過(1,-6),且與軸的交點為(0,). (1)求這個二次函式的解析式;
(2)當x為何值時,這個函式的函式值為0
(3)當x在什麼範圍內變化時,這個函式的函式值隨x的增大而增大
16.某種爆竹點燃後，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關係式 （0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒計算．這種爆竹點燃後以v0=20米/秒的初速度上升，
（1）這種爆竹在地面上點燃後，經過多少時間離地15米？
（2）在爆竹點燃後的1.5秒至1.8秒這段時間內，判斷爆竹是上升，或是下降，並說明理由.
17.如圖，拋物線經過直線與座標軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D. （1）求此拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5 ：4的點P的座標。
18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建築材料（這裡的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出後再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸．該建材店為提高經營利潤，準備採取降價的方式進行促銷．經市場調查發現：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7. 5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建築材料共需支付廠家及其它費用100元．設每噸材料售價為x（元），該經銷店的月利潤為y（元）． （1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量； （2）求出y與x的函式關係式（不要求寫出x的取值範圍）； （3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？
（4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由．
2
第15題圖
篇五：史上最全九年級數學二次函式知識點歸納總結
二次函式知識點歸納及相關典型題
第一部分 基礎知識
1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數，a0)，那麼y叫做x的二次函式. 2.二次函式yax2的性質
（1）拋物線yax2的頂點是座標原點，對稱軸是y軸. （2）函式yax2的影象與a的符號關係.
①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.
（3）頂點是座標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2（a0）. 3.二次函式 yax2bxc的影象是對稱軸平行於（包括重合）y軸的拋物線.
b2a
4acb4a
2
2
4.二次函式yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h
2
2
，k.
2
5.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
①a的符號決定拋物線的開口方向：當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；
a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數a相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：yax
2
b4acb
bxcax
2a4a
2
2
b4acb
（），對稱軸是直線x，∴頂點是.
2a2a4a
2
b
2
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線
xh.
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對
稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失. 9.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用
（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.
（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線yax2bxc的對稱軸是直線
x
b2a
，故：①b0時，對稱軸為y軸；②
ba
0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側；③
ba
0（即a、
b異號）時，對稱軸在y軸右側.
（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置.
當x0時，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點（0，c）： ①c0，拋物線經過原點; ②c0,與y軸交於正半軸；③c0,與y軸交於負半軸. 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則 10.幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
ba
0.
11.用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：yaxbxc.已知影象上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：yaxhk.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
2
2
（3）交點式：已知影象與x軸的交點座標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2. 12.直線與拋物線的交點
（1）y軸與拋物線yaxbxc得交點為(0, c).
2
（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah （3）拋物線與x軸的交點
2
bhc).
二次函式yax2bxc的影象與x軸的兩個交點的橫座標x1、x2，是對應一元二次方程ax2bxc0的兩
個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點0拋物線與x軸相交；
②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切； ③沒有交點0拋物線與x軸相離.（4）平行於x軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為k，則橫
座標是ax2bxck的兩個實數根.
（5）一次函式ykxnk0的影象l與二次函式yax2bxca0的影象G的交點，由方程組
ykxnyax
2
bxc
l與G有兩個交點; ②方程組只有一組解時
l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.
（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由於x1、x2是
方程ax2bxc0的兩個根，故
x1x2
ba
,x1x2
ca
2
ABx1x2
x1x2x1x24x1x2
2
4cb
aa
2
b4aca
2
a
第二部分 典型習題
１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點座標是（ D ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函式yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ C ）
Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0
第２,３題圖 第4題圖
３.二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ Ｄ ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
４.如圖，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D為BC上一點，EF//BC，交AB於點E，交AC於點F（EF不過A、
B），設E到BC的距離為x，則DEF的面積y關於x的函式的圖象大致為（ Ｄ ）
C
2
D
EF8
4x4
EF82x,yx
4x
５.拋物線yx22x3與x軸分別交於A、B兩點，則AB的長為
6.已知二次函式y＝kx2＋(2k－1)x－1與x軸交點的橫座標為x1、x2（x1＜x2），則對於下列結論：①當x＝－2時，y＝1；②當x＞x2時，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x1＝0有兩個不相等的實數根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤
k
x2－x1，其中所有正確的結論是 ①③④ （只需填寫序號）．
7.已知直線y2xbb0與x軸交於點A，與y軸交於點B；一拋物線的解析式為yx2b10xc. （1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y2xb上，試確定這條拋物線的解析式；
（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸交於點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y2xb的解析式. 解：（1）yx10或yx4x6
b102
b16b100
4
2
2
2
將得cb.頂點座標為(（0，b)代入，,)，由題意得2
b102
b
b16b100
4
2
，
解得b110,b26.
（2）y2x2
8.有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為y，且y是x的二次函式，已知輸入值為2,0,1時, 相應的輸出值分別為5,3,4．
（1）求此二次函式的解析式；
（2）在所給的座標系中畫出這個二次函式的圖象,並根據圖象寫出當輸出值y為正數時輸入值x的取值範圍. 解：（1）設所求二次函式的解析式為yax2bxc,
a(2)2b(2)c5c3a1
則a02b0c3,即2ab4 ,解得b2 abc4c3ab1
故所求的解析式為:yx22x3. （2)函式圖象如圖所示.
由圖象可得，當輸出值y為正數時， 輸入值x的取值範圍是x1或x3．
9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發現：駱駝的體溫會隨外部環境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝圖．請根據圖象回答：
⑴第一天中，在什麼時間範圍內這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時間 ⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少⑶興趣小組又在研究中發現，圖中10時到22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．
解：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝的
體溫是上升的
它的體溫從最低上升到最高需要12小時 ⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃ ⑶y
116
x2x2410x22
2
2
夜的體溫變化情況繪製成下
的體溫是上升的它的體溫
第9題
10.已知拋物線yax(
43
3a)x4與x軸交於A、
B兩點，與y軸交於點C．是否存在實數a，使得 △ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不 存在，請說明理由．
解：依題意，得點C的座標為（0，4）．
設點A、B的座標分別為（x1，0），（x2，0），
篇六：國中數學二次函式知識點總結
國中數學二次函式知識點總結 原文閱讀
I.定義與定義表示式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）則稱y為x的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函式的三種表示式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x)(x-x ) [僅限於與x軸有交點A（x，0）和 B（x，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象，可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的'交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，座標為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
V.二次函式與一元二次方程
特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2+bx+c=0
此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1．二次函式y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x-x|
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值．
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是會考的熱點考題，往往以大題形式出現．
篇七：九年級數學二次函式知識點總結
九年級數學 二次函式 知識點總結
一、二次函式概念：
1．二次函式的概念：一般地，形如yaxbxc（a，b，c是常數，a0）的函式，叫做二次函式。 這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數a0，而b，c可以為零．二次函式的定義域是全體實數． 2. 二次函式yaxbxc的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數x的二次式，x的最高次數是2． ⑵ a，b，c是常數，a是二次項係數，b是一次項係數，c是常數項．
2
2
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：yax的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2
2. yaxc的性質： 上加下減。
2
3.
yaxh
2
的性質：
左加右減。
4.
yaxhk
2
的性質：
三、二次函式圖象的平移1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式⑵ 保持拋物線
yax
2
yaxhk
2
，確定其頂點座標
h，k；
的形狀不變，將其頂點平移到
h，k處，具體平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h平移|k|個單位
【或左(h<0)】
2. 平移規律
在原有函式的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方法二： ⑴
yaxbxc沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，yaxbxc變成
2
2
22
yaxbxcm（或yaxbxcm）
yaxbxc沿軸平移：向左（右）平移m個單位，yaxbxc變成ya(xm)b(xm)c⑵
ya(xm)b(xm)c） （或
四、二次函式
yaxhk
2
222
2
與
2
yaxbxc
2
2
的比較
是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即
從解析式上看，
yaxhk
與
yaxbxc
2
b4acbb4acb
yaxh，k
2a4a2a4a，其中．
2
2
五、二次函式
yaxbxc
2
圖象的畫法
yaxbxc
2
五點繪圖法：利用配方法將二次函式
，確定其開口方向、對稱軸及頂
0，c、以及0，cy
點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點關於對稱軸對稱的點點）.
化為頂點式
ya(xh)k
2
2h，c、與x軸的交點x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的
y
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與 六、二次函式
yaxbxc
2
軸的交點.
的性質
b
2
b4acb
x
2a4a． a02a 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為
x
b
2a時，y隨x的增大而減小；當
x
b
2a時，y隨x的增大而增大；當
x
b
2a時，y有最小值
4acb4a
2
當．
2b4acbbxx
4a．當2a，頂點座標為2a2a時，y隨x的增大 2. 當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為
b
x
b
2a時，y隨x的增大而減小；當
x
b
2a時，y有最大值
4acb4a
2
而增大；當．
七、二次函式解析式的表示方法 1. 一般式：2. 頂點式：
yaxbxc
2
2
（a，b，c為常數，a0）； （a，h，k為常數，a0）；
ya(xh)k
ya(xx1)(xx2)xx
3. 兩根式：（a0，1，2是拋物線與x軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有
交點，即b4ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係1. 二次項係數a
二次函式
yaxbxc
2
2
中，a作為二次項係數，顯然a0．
⑴ 當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；⑵ 當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．
總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，2. 一次項係數b
a
的大小決定開口的大小．
在二次項係數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在a0的前提下，
b2ab2ab2a
當b0時，當b0時，當b0時，
，即拋物線的對稱軸在0
y
軸左側；
y
，即拋物線的對稱軸就是0
軸；
，即拋物線對稱軸在
y
軸的右側．
⑵ 在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即
b2ab2ab2a
當b0時，當b0時，當b0時，
，即拋物線的對稱軸在0
y
軸右側；
y
，即拋物線的對稱軸就是0
軸；
，即拋物線對稱軸在
y
軸的左側．
總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．
ab的符號的判定：對稱軸
總結：3. 常數項c
x
b
2a在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是“左同右異”
yy
⑴ 當c0時，拋物線與軸的交點在x軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正； yy
⑵ 當c0時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為0； yy
⑶ 當c0時，拋物線與軸的交點在x軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，c決定了拋物線與 總之，只要
二次函式解析式的確定：
a，b，c
y
軸交點的位置．
都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關於x軸對稱
yaxbxc
2
2
yaxbxc
關於x軸對稱後，得到的解析式是；
2
yaxhk
關於x軸對稱後，得到的解析式是
yaxhk
2
；
2. 關於
y
軸對稱
2
yaxbxc
2
關於
y
軸對稱後，得到的解析式是
y
yaxbxc
2
2
；
yaxhk
關於軸對稱後，得到的解析式是
yaxhk
；
3. 關於原點對稱
yaxbxc
2
2
關於原點對稱後，得到的解析式是
yaxbxc
2
2
；
yaxhk
關於原點對稱後，得到的解析式是
yaxhk
；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
yaxbxc
2
b
2
yaxbxc
2
2
關於頂點對稱後，得到的解析式是
2
2a；
yaxhk
關於頂點對稱後，得到的解析式是
yaxhk
．
5. 關於點
m，n對稱
2
yaxhk
m，n對稱後，得到的解析式是yaxh2m關於點
2
2nk
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此
a
永遠不變．求拋物線的對稱拋
物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
十、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與x軸交點情況）：
2
yaxbxcy0
一元二次方程axbxc0是二次函式當函式值時的特殊情況. 圖象與x軸的交點個數：
2Ax1，0，Bx2，0(x1x2)x，x2
① 當b4ac0時，圖象與x軸交於兩點，其中的1是一元二次方程
2
axbxc0a
2
ABx2x1
的兩根．這兩點間的距離.
② 當0時，圖象與x軸只有一個交點； ③ 當0時，圖象與x軸沒有交點.
1' 當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；
篇八：國中數學二次函式知識點總結
二次函式的圖象與性質
二次函式 開口方向 對稱軸 頂點 增減性 最大（小）值
y = ax2 a>0時，開口向上；a<0拋時，開口向下。
x=0 （0，0） 當a>0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側，y隨x的增大而增大；
當a<0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸右側，y隨x的增大而減小。 a="">0時，當x=0時，=0；
當a<0時，當x=0時，=0；
y = ax2+c x=0 （0，c） 當a>0時，當x=0時，=c；
當a<0時，當x=0時，=c；
y = a（x-h）2 x=h （h，0） 當a>0時，當x=h時，y最小=0；
當a<0時，當x=h時，y最大=0；
y = a（x-h）2 +k x=h （h，k） 當a>0時，當x=h時，y最小=k；
當a<0時，當x=h時，y最大=k；
y = ax2+bx+c x= （，） 當a>0時，當x=h時，y最小=k；
當a<0時，當x=h時，y最大=k；
其中h=，k=
★二次函式y = ax2 、y = ax2+c、y = a（x-h）2 以及y = a（x-h）2 +k的形狀相同，只是位置不同，相互之間可以通過平移得到，一般式y = ax2+bx+c可以通過配方化成y = a（x-h）2 +k的形式。
3.二次函式的解析式
二次函式解析式常見有三種形式：
①一般式：y = ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）
②頂點式：y = a（x-h）2 +k（a、h、k是常數，且a≠0）
③交點式：y=a（x-x1）（ x-x2）（a、x1、x2是常數，且a≠0，x1、x2是拋物線與x軸交點的橫座標）。
★拋物線y = ax2 的開口大小由∣a∣決定：∣a∣越大，開口越小；∣a∣
越小，開口越大。
一般式
y=ax+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點座標為（-b/2a,4ac-b2/4a) ；
頂點式
y=a(x-h)2;+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點座標為（h,k）對稱軸為x=h，頂點的位置特徵和影象的開口方向與函式y=ax2;的影象相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；
交點式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限於與x軸即y=0有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線,即b2-4ac≥0] ；由一般式變為交點式的步驟：∵
X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax2;+bx+c=a（x2;+b/ax+c/a）
=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
1.二次函式影象是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = h 或者x=-b/2a對稱軸與二次函式影象唯一的交點為二次函式影象的頂點P。特別地，當h=0時，
二次函式影象的對稱軸是y軸（即直線x=0）a,b同號，對稱軸在y軸左側 b=0,對稱軸是y軸a,b異號，對稱軸在y軸右側
頂點
2.二次函式影象有一個頂點P，座標為P ( h,k )當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a
開口
3.二次項係數a決定二次函式影象的開口方向和大小。當a>0時，二次函式影象向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則二次函式影象的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- 2a="">0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號可簡單記憶為同左異右，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab< 0 ），對稱軸在y軸右。事實上，b有其自身的幾何意義：二次函式影象與y軸的交點處的該二次函式影象切線的函式解析式（一次函式）的斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
決定二次函式影象與y軸交點的因素
5.常數項c決定二次函式影象與y軸交點。二次函式影象與y軸交於（0,C）注意：頂點座標為（h,k) 與y軸交於（0,C)
二次函式影象與x軸交點個數
6.二次函式影象與x軸交點個數a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函式影象與x軸有2個交點。k=0時，二次函式影象與x軸有1個交點。a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函式影象與X軸無交點_______當a>0時，函式在x=h處取得最小值ymix=k，在xh範圍內是增函式（即y隨x的變大而變小），二次函式影象的開口向上，函式的值域是y>k當a<0時，函式在x=h處取得最大值ymax=k，在x>h範圍內事增函式，在x<h範圍內是減函式（即y隨x的變大而變大），二次函式影象的開口向下，函式的值域是y<k當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式
7.定義域：R值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）奇偶性：當b=0時為偶函式，當b≠0時為非奇非偶函式 。週期性：無解析式：①y=ax2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；⑶極值點：（-b>0，圖象與x軸交於兩點：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ=0，圖象與x軸交於一點：（-b/2a，0）；Δ<0，圖象與x軸無交點；②y=a(x-h)2+k[頂點式]此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b k="(4ac-b2)/4a；③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）對稱軸X=(X1+X2)/2" a="">0 且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0
且X≦（X1+X2）/2時Y隨X的增大而減小此時，x1、x2即為函式與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。交點式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸交點和另一個點座標設交點式。兩交點X值就是相應X1 X2值。
兩影象對稱
①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩影象關於y軸對稱；②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩影象關於x軸對稱；③y=ax2+bx+c與y=-a(x-h﹚2+k關於頂點對稱；④y=ax2+bx+c與y=-a(x+h﹚2-k關於原點對稱。
篇九：中學數學二次函式知識點總結教案
二次函式知識點總結
二次函式知識點：
1．二次函式的概念：一般地，形如yax2bxc（a、b、c是常數，a0）的函式，叫做二次函式這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數a0，而b、c可以為零．二次函式的定義域是全體實數． 2. 二次函式yax2bxc的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數x的二次式，x的最高次數是2． ⑵ a、b、c是常數，a是二次項係數，b是一次項係數，c是常數項．
二次函式的基本形式
ya(xh)2k的性質：
總結：
二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式ya(xh)k，確定其頂點座標(h,k)； ⑵ 保持拋物線yax的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，具體平移方法如下：
2
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|個單位
【或左(h<0)】 2. 平移規律
在原有函式的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”．
概括成“自變數加減左右移，函式加減上下移”．
二次函式yaxbxc的性質 對稱軸為x
2
b2a
，頂點座標為(
b2a
,
4acb4a
b2ab2a
2
)
1.當a0時，拋物線開口向上，． 當x
b2ab2a
時，y隨x的增大而減小；當x
b2ab
時，y隨x的增大而增大；當x
時，ymin
4acb4a
2
．2.
當a0時，拋物線開口向下， 當x
時，y隨x的增大而增大；當x
2a
時，y隨x的增大而減小；當x
y時，
ymax
4acb4a
2
．
六、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：yax2bxc(a,b,c為常數，a0)；
2. 頂點式：ya(xh)k(a,h,k為常數，a0)，其中h
2
b2a
4a
3. 兩根式：ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點的橫座標）.
，k
4acb
2
；
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示． 二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式． 二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與x軸交點情況）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函式yax2bxc當函式值y0時的特殊情況. 圖象與x軸的交點個數：
① 當b24ac0時，圖象與x軸交於兩點A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)，其中的x1,x2是一元二次方程
axbxc0(a
0)的兩根．這兩點間的距離AB|x1x2|
2
|a|
.
② 當0時，圖象與x軸只有一個交點；
③ 當0時，圖象與x軸沒有交點.
1' 當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；
2'
當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．
2
2. 拋物線yaxbxc的圖象與y軸一定相交，交點座標為(0,c)；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與x軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式yaxbxc中a、b、c的符號，或由二次函式中a、b、c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與x軸的一個交點座標，可由對稱性求出另一個交點座標.
2
篇十：2015北京數學九年級二次函式知識點總結
九年級數學 二次函式 知識點總結
一、二次函式概念：
a0）b，c是常數，1．二次函式的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函式，叫做二次函式。 這
c可以為零．二次函式的定義域是全體實裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數a0，而b，
數．
2. 二次函式yax2bxc的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數x的二次式，x的最高次數是2．
b，c是常數，a是二次項係數，b是一次項係數，c是常數項． ⑵ a，
二、二次函式的基本形式
二次函式的基本形式yaxhk的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
k； 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點座標h，
2
⑵ 保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h平移|k|個單位
【或左(h<0)】
2. 平移規律
在原有函式的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方法二：
⑴yaxbxc沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，yaxbxc變成
2
2
yax2bxcm（或yax2bxcm）
⑵yax2bxc沿軸平移：向左（右）平移m個單位，yax2bxc變成
ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c） 四、二次函式yaxhk與yax2bxc的比較
從解析式上看，yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前b4acb2b4acb2
者，即yax，其中h，． k
2a4a2a4a
2
2
2
五、二次函式yax2bxc圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式yax2bxc化為頂點式ya(xh)2k，確定其開口方向、
對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0，c、以及0，c關於對稱軸對稱的點2h，c、與x軸的交點x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.
六、二次函式yax2bxc的性質
b4acb2b
1. 當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點座標為．
2a4a2a
當x
bbb
時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a
4acb2
值．
4a
b4acb2bb
2. 當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點座標為時，y隨．當x
2a4a2a2a
bb4acb2
． x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值
2a2a4a
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：yax2bxc（a，b，c為常數，a0）； 2. 頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數，a0）；
3. 兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只
有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數a
二次函式yax2bxc中，a作為二次項係數，顯然a0．a決定了拋物線開口的大小和方向，a
的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數b
在二次項係數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．
ab的符號的判定：對稱軸x
b
在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是2a
“左同右異”
3. 常數項cc決定了拋物線與y軸交點的位置．
b，c都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的． 總之，只要a，
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與x軸交點情況）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函式yax2bxc當函式值y0時的特殊情況. 圖象與x軸的交點個數：
① 當b24ac0時，圖象與x軸交於兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程axbxc0a0的兩根．
這兩點間的距離ABx2x1. ② 當0時，圖象與x軸只有
2
一個交點； ③ 當0時，圖象與x軸沒有交點.1' 當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任
何實數，都有y0；2' 當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．
2. 拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)； 3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與x軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函式中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與x軸的一個交點座標，可由對稱性求出另一個交點座標.
二次函式考查重點與常見題型
1． 考查二次函式的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：
已知以x為自變數的二次函式y(m2)xmm2的影象經過原點， 則m的值是2． 綜合考查正比例、反比例、一次函式、二次函式的影象，習題的特點是在同一直角座標系內考查
兩個函式的影象，試題型別為選擇題，如：
2
如圖，如果函式ykxb的影象在第一、二、三象限內，那麼函式ykxbx1的影象大致是（ ）
2
2
3． 考查用待定係數法求二次函式的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題型別有中檔解答題和選
拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x
5
，求這條拋物線的解析式。 3
4． 考查用配方法求拋物線的頂點座標、對稱軸、二次函式的極值，有關試題為解答題，如： 3
已知拋物線yax2bxc（a≠0）與x軸的兩個交點的橫座標是－1、3，與y軸交點的縱座標是－
2（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標. 5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。 由拋物線的位置確定係數的符號
例1 （1）二次函式yax2bxc的影象如圖1，則點M(b,)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函式值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
ca
(1) (2)
【點評】弄清拋物線的位置與係數a，b，c之間的關係，是解決問題的關鍵．
2
例2.已知二次函式y=ax+bx+c的圖象與x軸交於點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方．下列結論：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+cO，其中正確結論的個數為( )A 1個 B. 2個 C. 3個 D．4個 答案：D
會用待定係數法求二次函式解析式
例3.已知：關於x的一元二次方程ax+bx+c=3的一個根為x=2，且二次函式y=ax+bx+c的對稱軸是直線
2
2
x=2，則拋物線的頂點座標為( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C
例4、已知拋物線y=
125x+x-． 22
（1）用配方法求它的頂點座標和對稱軸．
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長．
【點評】本題（1）是對二次函式的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函式與一元二次方程的關係．
函式主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）瞭解函式的具體特徵；藉助多種現實背景理解函式；將函式視為“變化過程中變數之間關係”的數學模型；滲透函式的思想；關注函式與相關知識的聯絡。
二次函式對應練習試題
一、選擇題
1. 二次函式yx24x7的頂點座標是()
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把拋物線y2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是（）
A. y2(x1)2 B. y2(x1)2C. y2x21D. y2x21 3.函式ykx2k和y
k
(k0)在同一直角座標系中圖象可能是圖中的() x
4.已知二次函式yax2bxc(a0)的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當x1和x3時,函式值相等;③4ab0④當y2時, x的值只能取0.其中正確的個數是( )
A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個
5.已知二次函式yaxbxc(a0)的頂點座標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關於x的一元二次方程axbxc0的兩個根分別是x11.3和x2（）
Ａ．－１.３ B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6. 已知二次函式yaxbxc的圖象如圖所示，則點(ac,bc)在（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.方程2xx
2
2
2
2
2
的正根的個數為（） x
A.0個 B.1個C.2個. 3 個
8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與y軸交於點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為
A. yxx2 B. yxx2
C. yxx2或yxx2D. yxx2或yxx2
2
2
2
2
2
2
