一、經典證明方法細講
方法一：
作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P.
∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°?90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.
同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
∴ BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2
方法二
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a) ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直線上，
所以a^2+b^2=c^2
二、勾股數的.相關介紹
①觀察3，4，5;5，12，13;7，24，25;…發現這些勾股數都是奇數，且從3起就沒有間斷過。計算0.5(9-1)，0.5(9+1)與0.5(25-1)，0.5(25+1)，並根據你發現的規律寫出分別能表示7，24，25的股和絃的算式。
②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關係，並對其中一種猜想加以說明。
③繼續觀察4，3，5;6，8，10;8，15，17;…可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用上述類似的探索方法，之間用m的代數式來表示它們的股合弦。 ]在一個三角形中，兩條邊的平方和等於另一條邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。
三、勾股定理的命題方向
命題1：以已知線段為邊，求作一等邊三角形。
命題2：求以已知點為端點，作一線段與已知線段相等。
命題3：已知大小兩線段，求在大線段上擷取一線段與小線段相等。
命題4：兩三角形的兩邊及其夾角對應相等，則這兩個三角形全等。
命題5：等腰三角形兩底角相等。
