試卷是我們學習成果的直接體現，那麼總結試卷就是對我們缺點的直接呈現，如何提高數學成績？請讓小編帶你學數學。
文章摘要：我在高一高二的時候，數學成績並不突出，總是120多分，很少上130分。我也一度為此十分苦惱，因為自己題沒少做，成績卻始終難以提高。我想會有很多人和我有相似的經歷。到了高三，我開始總結試卷。我把專題複習的卷子和綜合複習的卷子分門別類，每一份試卷都進行認真細緻的總結，挑出其中含金量最高的題，同時，“…
侯豔麗（北京大學外國語學院）道：數學這一學科是重頭戲，也是令很多學生最頭痛的。數學成績突出，無疑會佔據絕對優勢。?
我在高一高二的時候，數學成績並不突出，總是120多分，很少上130分。我也一度為此十分苦惱，因為自己題沒少做，成績卻始終難以提高。我想會有很多人和我有相似的經歷。到了高三，我開始總結試卷。我把專題複習的卷子和綜合複習的卷子分門別類，每一份試卷都進行認真細緻的總結，挑出其中含金量最高的題，同時，“旁徵博引”，把曾經遇到過的相關的題目總結到一起，一道也不放過。長期下來，感覺自己對各類題型都能夠了如指掌，對出題者的出題角度也有了準確的把握。同時也得出一個結論，好多題其實大同小異，所考查的知識點是一樣的，只不過是換了一種形式。通過對上百份試卷的細緻歸納總結，使我在接下來的數學綜合考試中有一種“輕車熟路”的感覺，而且每次考試我都十分自信，也不再像以前考數學那樣緊張慌亂了。我的數學成績也由原來的120多分上到了140多分，有幾次還是滿分。
希望大家能從我這個方法中有所借鑑。另外需要強調的是在總結試卷的過程中一定要深入下去，千萬不能走形式，只有深入方能有所收穫。在深入的過程中不要在乎時間，有時候，你在總結一道大題時，會把相關的題型總結到一起，這項工作其實是相當繁雜的，絕不等同於弄懂一道題。而你做這項工作的收益也將是巨大的。所以，即使用一個晚上來做這件事也非常值得。千萬不要心情急躁，看見別人一道接一道的做題而不安。
以上是我在數學學習過程中最有心得的一個方法，大學聯考數學隨著改革的深入，已經突破了偏、難、怪的誤區，更加註重考查對基礎知識的全面掌握和靈活運用。對此，我覺得平時的學習要注意以下幾點：
1.按部就班。數學是環環相扣的一門學科，哪一個環節脫節都會影響整個學習的程序。所以，平時學習不應貪快，要一章一章過關，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。?
2.強調理解。概念、定理、公式要在理解的基礎上記憶。我的經驗是，每新學一個定理，便嘗試先不看答案，做一次例題，看是否能正確運用新定理；若不行，則對照答案，加深對定理的理解。?
3.基本訓練。學習數學是不能缺少訓練的，平時多做一些難度適中的練習，當然莫要陷入死鑽難題的誤區，要熟悉大學聯考的題型，訓練要做到有的放矢。
4.重視平時考試出現的錯誤。訂一個錯題本，專門蒐集自己的錯題，這些往往就是自己的薄弱之處。複習時，這個錯題本也就成了寶貴的複習資料。?
最後想談談數學這一科目的應試技巧。概括說來，就是“先易後難”。我們常常有這樣的體會，頭腦清醒的時候，本來一些較難的題也會輕易做出來；相反，頭腦混沌的時候，一些簡單的題也會浪費很多時間。考試時，遇到攔路虎是不可避免的，停下來有兩種可能，一是費了九牛二虎之力終於做出來，但由於耗費了大量時間，接下來或者不夠時間做完題目，或者擔心時間不夠，內心焦急，一時連簡單的題也做不出來了；二是還是沒有做出來，結果不僅浪費了時間，而且連後面的題也沒做完。而先易後難，則是愈做愈有信心，頭腦始終保持清醒的狀態，或者最後把難題做出，或者至少保證了會做的題不丟分。
源自生活的有趣數學定理
文章摘要：定理是經過受邏輯限制的證明為真的敘述，在數學中，證明定理是數學的中心活動。相信為真但未被證明的數學敘述為猜想，當它經過證明後便是定理，它是定理的來源，但並非唯一來源。
【編者按】定理是經過受邏輯限制的證明為真的敘述，在數學中，證明定理是數學的中心活動。相信為真但未被證明的數學敘述為猜想，當它經過證明後便是定理，它是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。下面就讓我們看看三個歡樂且有趣的數學定理。
你在這裡
定理陳述：把一張地圖平鋪在地上，總能在地圖上找到一點，這個點下面的地方正好就是它在地圖上所表示的位置。
1912年，荷蘭數學家布勞威爾證明了這樣一個定理：假設D是某個圓盤中的點集，f是一個從D到它自身的連續函式，則一定有一個點x，使f（x）=x。換句話說，讓一個圓盤裡的所有點做連續的運動，則總有一個點可以正好回到運動之前的位置。這個定理叫做布勞威爾不動點定理。
在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學裡一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間並構成了一般不動點定理的基石。這個定理也可以擴充套件到三維空間中去：當你攪拌完咖啡後，一定能在咖啡中找到一個點，它在攪拌前後的位置相同，雖然這個點在攪拌過程中可能到過別的地方。
建立布勞威爾不動點定理是布勞威爾的突出貢獻。這個定理表明：在二維球面上，任意映到自身的連續對映，必定至少有一個點是不變的。布勞威爾把這一定理推廣到高維球面，尤其是在n維球內映到自身的任意連續對映至少有一個不動點。在定理證明的過程中，布勞威爾引進了從一個復形到另一個復形的對映類，以及一個對映的對映度等概念。有了這些概念，布勞威爾就能第一次處理一個流形上的向量場的奇點。
酒鬼總能找到家
定理陳述：喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥卻可能永遠也回不了家。
如果一個酒鬼在街道上隨機遊走，假設整個城市的街道呈網格狀分佈，酒鬼每走到一個十字路口，都會概率均等地選擇一條路（包括自己來時的那條路）繼續走下去。那麼他最終能夠回到出發點的概率是100%。
醉酒的小鳥就沒這麼幸運了。假如小鳥飛行時，每次都從上、下、左、右、前、後概率均等地選擇一個方向，那麼它很有可能永遠也回不到出發點。也就是說，在三維網格中隨機遊走，最終能回到出發點的概率只有大約34%。
這個定理是著名數學家波利亞在1921年證明的。隨著維度的增加，回到出發點的概率將變得越來越低。在四維網格中隨機遊走，最終能回到出發點的概率是19.3%，而在八維空間中，這個概率只有7.3%。
不能撫平的毛球
定理陳述：你永遠不能理順椰子上的毛。
想象一個表面長滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭髮一樣的旋嗎?拓撲學告訴你，這是辦不到的。
這就是毛球定理，也是由布勞威爾首先證明的。用數學語言來說就是，在一個球體表面，不可能存在連續的.單位向量場。這個定理可以推廣到更高維的空間：對於任意一個偶數維的球面，連續的單位向量場都是不存在的。
毛球定理在氣象學上有一個有趣的應用：由於地球表面的風速和風向都是連續的，因此地球上總會有一個風速為0的地方，也就是說氣旋和風眼是不可避免的。
【人教版】國中數學八年級知識點總結：18勾股定理
文章摘要：勾股定理是直角三角形具備的重要性質，同時也是國中數學考試的常考點和重點。本章要求學生在理解勾股定理的前提下，學會利用這個定理解決實際問題。可以通過自主學習的方式體驗獲取數學知識的愉快感受。…
【編者按】勾股定理是直角三角形具備的重要性質，同時也是國中數學考試的常考點和重點。本章要求學生在理解勾股定理的前提下，學會利用這個定理解決實際問題。可以通過自主學習的方式體驗獲取數學知識的愉快感受。
一、目標與要求
1.瞭解勾股定理的發現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理。
2.培養在實際生活中發現問題總結規律的意識和能力。
3.會用勾股定理進行簡單的計算。
4.樹立數形結合的思想、分類討論思想。
5.體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。
6.探究勾股定理的逆定理的證明方法。
7.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關係。
8.應用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。
9.靈活應用勾股定理及逆定理解綜合題。
10.進一步加深性質定理與判定定理之間關係的認識。
二、知識框架
國小數學知識總結——定義定理
文章摘要：鑑於學生處在國小階段時各方面總結、歸納、分析能力不強的特點，我們數學頻道編輯部特別把國小數學一年級到六年級所有知識點的概念、定義定理和計算公式統統的予以了整理和總結，為的就是讓國小生讀者把更多的時間用在問題的思考上，取得更好的學習成績。…
【編者按】鑑於學生處在國小階段時各方面總結、歸納、分析能力不強的特點，我們數學頻道編輯部特別把國小數學一年級到六年級所有知識點的概念、定義定理和計算公式統統的予以了整理和總結，為的就是讓國小生讀者把更多的時間用在問題的思考上，取得更好的學習成績。
1.加法交換律：兩數相加交換加數的位置，和不變。
2.加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或先把後兩個數相加，再同第三個數相加，和不變。
3.乘法交換律：兩數相乘，交換因數的位置，積不變。
4.乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或先把後兩個數相乘，再和第三個數相乘，它們的積不變。
5.乘法分配律：兩個數的和同一個數相乘，可以把兩個加數分別同這個數相乘，再把兩個積相加，結果不變。如：（2+4）×5=2×5+4×5.
6.除法的性質：在除法裡，被除數和除數同時擴大（或縮小）相同的倍數，商不變。0除以任何不是0的數都得0.
7.等式：等號左邊的數值與等號右邊的數值相等的式子叫做等式。
等式的基本性質：等式兩邊同時乘以（或除以）一個相同的數，等式仍然成立。
8.方程式：含有未知數的等式叫方程式。
9.一元一次方程式：含有一個未知數，並且未知數的次 數是一次的等式叫做一元一次方程式。
學會一元一次方程式的例法及計算。即例出代有χ的算式並計算。
10.分數：把單位"1"平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數，叫做分數。
11.分數的加減法則：同分母的分數相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數相加減，先通分，然後再加減。
12.分數大小的比較：同分母的分數相比較，分子大的大，分子小的小。
異分母的分數相比較，先通分然後再比較；若分子相同，分母大的反而小。
13.分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變。
14.分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。
15.分數除以整數（0除外），等於分數乘以這個整數的倒數。
16.真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。
17.假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大於或等於1.
18.帶分數：把假分數寫成整數和真分數的形式，叫做帶分數。
19.分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以同一個數（0除外），分數的大小不變。
20.一個數除以分數，等於這個數乘以分數的倒數。
21.甲數除以乙數（0除外），等於甲數乘以乙數的倒數。
國小數學難題解法大全之幾何公理、定理或性質[1]
文章摘要：國小數學難題解法大全之幾何公理、定理或性質，只有真正的理解和掌握了這些幾何公理、定理和性質才能更高效的解決幾何問題。
【直線公理】經過兩點有一條直線，並且只有一條直線。
【直線性質】根據直線的公理，可以推出下面的性質：
兩條直線相交，只有一個交點。
【線段公理】在所有連結兩點的線中，線段最短。（或者說：兩點之間線段最短。）
【垂線性質】
（1）經過一點，有一條而且只有一條直線垂直於已知直線。
（2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。（也可以簡單地說成：垂線段最短。）
【平行公理】經過直線外一點，有一條而且只有一條直線和這條直線平行。
【平行公理推論】如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼，這兩條直線也相互平行。
【有關平行線的定理】
（1）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那麼這兩條直線平行。
（2）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那麼，這條直線也和另一條垂直。
【三角形的特性】三角形有不變形的特性，一般稱其為三角形的穩定性。由於三角形有這一特性，所以在實踐中它有廣泛的應用。
【三角形的性質】三角形的性質（或定理及定理的推論），一般有：
（1）三角形任意兩邊的和大於第三邊;三角形任意兩邊的差小於第三邊。
（2）三角形三內角之和等於180°。
由三角形上述第（2）條性質，還可以推出下面的兩條性質：
①三角形的一個外角，等於它不相鄰的兩個內角之和。如圖1.1，∠4=∠1+∠2.
②三角形的一個外角，大於任何一個同它不相鄰的內角。如圖1.1，
∠4>∠1，∠4>∠2.
【勾股定理】在直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等於斜邊的平方。
用字母表達就是a2+b2=c2。（a、b表直角邊長，c表斜邊長。）
我國古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一條直角邊叫做“股”，另一條直角邊叫做“勾”，斜邊叫做“弦”。所以我國將這一定理稱為“勾股定理”。
勾股定理是我國最先發現的一條數學定理。而古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）較早地證明了這個定理。因此，國外常稱它為“畢達哥拉斯定理”。
【平行四邊形的性質】
（1）平行四邊形的對邊相等。
（2）平行四邊形的對角相等。
（3）平行四邊形鄰角的和是180°.如圖1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°.
（4）平行四邊形的對角線互相平分。如圖1.2，AO=CO，BO=DO。
平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是對稱中心。
【長方形的性質】
長方形除具有平行四邊形的性質以外，還具有下列性質：
（1）長方形四個角都是直角。
（2）長方形對角線相等。
長方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。它每一組對邊中點的連線，都是它的對稱軸。
【菱形的性質】菱形除具有平行四邊形的性質以外，還具有下列性質：
（1）菱形的四條邊都相等。
（2）菱形的對角線互相垂直平分，並且每一條對角線平分一組對角。例如圖1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。
菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，它每一條對角線都是它的對稱軸。
【正方形的性質】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。
文章摘要：國小數學難題解法大全之幾何公理、定理或性質，只有真正的理解和掌握了這些幾何公理、定理和性質才能更高效的解決幾何問題。
【多邊形內角和定理】n邊形的內角的和，等於（n-2）·180°.（又稱“求多邊形內角和”的公式。）
例如三角形（三邊形）的內角和是
（3-2）×180°=180°；
四邊形的內角和是
（4-2）×180°=360°.
【多邊形內角和定理的推論】
（1）任意多邊形的外角和等於360°.
這是因為多邊形每一個內角與它的一個鄰補角（多邊形外角）的和為180°，所以，n邊形n個外角的和等於n·180°-（n-2）·180°=360°.
（2）如果一個角的兩邊分別垂直於另一個角的兩邊，那麼這兩個角相等或互補。
例如圖1.4，∠1的兩邊分別垂直於∠A的兩邊，則∠1+∠A=180°，即∠1與∠A互補。
又∠2、∠3、∠4的兩邊也分別垂直於∠A的兩邊，則∠3和∠A也互補，而∠2=∠A，∠4=∠A。
【圓的一些性質或定理】
（1）半徑相等的兩個圓是等圓;同圓或等圓的半徑相等。
（2）不在同一直線上的三個點確定一個圓。
（3）垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的弧。
（4）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。
（5）一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。
【軸對稱圖形的性質】軸對稱圖形具有下面的性質：
（1）如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對應點的連結線段被對稱軸垂直平分。
例如圖1.5，圖中的AA′對稱點連結線段，被對稱軸L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。
（2）兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或其延長線相交，那麼，交點在對稱軸上。
例如圖1.5中，BA與B′A′的延長線相交，交點M在對稱軸L上。
（3）兩個關於某直線對稱的圖形，一定是全等形。
例如，圖1.5中△ABC與△A′B′C′全等。
【中心對稱圖形的性質】如果把一個圖形繞著一個點旋轉180°後，它和另一個圖形重合，那麼，這兩個圖形就是關於這個點的“中心對稱圖形”。
中心對稱圖形具有以下性質：
（1）關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分。
例如，圖1.6中對稱點A與A′，B與B′，C與C′，它們的連線都經過O（對稱中心），並且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。
（2）關於中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。
已被證明成立的數學猜想：四色猜想[1]
文章摘要：四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數學難題之一。“四色問題”的被證明不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且成為數學史上一系列新思維的起點。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。…
四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數學難題之一。
四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”用數學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”這裡所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇於一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。
四色猜想的誕生
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯·格思裡來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢?他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密頓爵士請教。漢密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
解決難題的歷程
四色問題的提出：1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普（Alfred Kempe）和泰勒（Peter Guthrie Tait）兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。
肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個國家包圍其他國家，或沒有三個以上的國家相遇於一點，這種地圖就說是“正規的”。如為正規地圖，否則為非正規地圖。一張地圖往往是由正規地圖和非正規地圖聯絡在一起，但非正規地圖所需顏色種數一般不超過正規地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規五色地圖就足夠了。
肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規的五色地圖，就會存在一張國數最少的“極小正規五色地圖”，如果極小正規五色地圖中有一個國家的鄰國數少於六個，就會存在一張國數較少的正規地圖仍為五色的，這樣一來就不會有極小五色地圖的國數，也就不存在正規五色地圖了。這樣肯普就認為他已經證明了“四色問題”，但是後來人們發現他錯了。
不過肯普的證明闡明瞭兩個重要的概念，對以後問題的解決提供了途徑。第一個概念是“構形”。他證明了在每一張正規地圖中至少有一國具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多個鄰國的正規地圖，也就是說，由兩個鄰國，三個鄰國、四個或五個鄰國組成的一組“構形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構形中的一個。
證明Np=[（7+√1+48p）/2].數學家用了78年。
肯普提出的另一個概念是“可約”性。“可約”這個詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國具有四個鄰國，就會有國數減少的五色地圖。自從引入“構形”，“可約”概念後，逐步發展了檢查構形以決定是否可約的一些標準方法，能夠尋求可約構形的不可避免組，是證明“四色問題”的重要依據。但要證明大的構形可約，需要檢查大量的細節，這是相當複雜的。
11年後，即1890年，在牛津大學就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說沒有極小五色地圖能有一國具有五個鄰國的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發現他們實際上證明了一個較弱的命題——五色定理。就是說對地圖著色，用五種顏色就夠了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
文章摘要：四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數學難題之一。“四色問題”的被證明不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且成為數學史上一系列新思維的起點。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。…
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，美國著名數學家、哈佛大學的伯克霍夫利用肯普的想法，結合自己新的設想;證明了某些大的構形可約。後來美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。
計算機證明四色問題
高速數字計算機的發明，促使更多數學家對“四色問題”的研究。從1936年就開始研究四色猜想的海克，公開宣稱四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來證明。他的學生丟雷寫了一個計算程式，海克不僅能用這程式產生的資料來證明構形可約，而且描繪可約構形的方法是從改造地圖成為數學上稱為“對偶”形著手。
他把每個國家的首都標出來，然後把相鄰國家的首都用一條越過邊界的鐵路連線起來，除首都（稱為頂點）及鐵路（稱為弧或邊）外，擦掉其他所有的線，剩下的稱為原圖的對偶圖。到了六十年代後期，海克引進一個類似於在電網路中移動電荷的方法來求構形的不可避免組。在海克的研究中第一次以頗不成熟的形式出現的“放電法”，這對以後關於不可避免組的研究是個關鍵，也是證明四色定理的中心要素。
電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。美國伊利諾大學哈肯在1970年著手改進“放電過程”，後與阿佩爾合作編制一個很好的程式。就在1976年6月，他們在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明，轟動了世界。
這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特製郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。
“四色問題”的被證明僅解決了一個歷時100多年的難題，而且成為數學史上一系列新思維的起點。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。如將地圖的著色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內容。不僅如此，“四色問題”在有效地設計航空班機日程表，設計計算機的編碼程式上都起到了推動作用。
不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。直到現在，仍有不少數學家和數學愛好者在尋找更簡潔的證明方法。
垂徑定理
【垂徑定理】
垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧，如圖：
圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.
【垂徑定理的推論】
推論1：
(1)平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
(2)弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧．推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等．
