一、點關於已知點或已知直線對稱點問題
1、設點P（x，y）關於點（a，b）對稱點為P（x，y），x=2a—x。
由中點座標公式可得：y=2b—y。
2、點P（x，y）關於直線L：Ax+By+C=O的對稱點為：
x=x—（Ax+By+C）
P（x，y）則
y=y—（AX+BY+C）
事實上：∵PPL及PP的中點在直線L上，可得：Ax+By=—Ax—By—2C。
解此方程組可得結論。
（—）=—1（B0）。
特別地，點P（x，y）關於：
1、x軸和y軸的對稱點分別為（x，—y）和（—x，y）。
2、直線x=a和y=a的對標點分別為（2a—x，y）和（x，2a—y）。
3、直線y=x和y=—x的對稱點分別為（y，x）和（—y，—x）。
例1光線從A（3，4）發出後經過直線x—2y=0反射，再經過y軸反射，反射光線經過點B（1，5），求射入y軸後的反射線所在的直線方程。
解：如圖，由公式可求得A關於直線x—2y=0的對稱點。
A（5，0），B關於y軸對稱點B為（—1，5），直線AB的方程為5x+6y—25=0。
`C（0，）。
`直線BC的方程為：5x—6y+25=0。
二、曲線關於已知點或已知直線的對稱曲線問題
求已知曲線F（x，y）=0關於已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F（x，y）=O上任意一點（x，y）關於已知點或已知直線的對稱點的座標替換方程F（x，y）=0中相應的作稱即得，由此我們得出以下結論。
1、曲線F（x，y）=0關於點（a，b）的對稱曲線的方程是F（2a—x，2b—y）=0。
2、曲線F（x，y）=0關於直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F（x—（Ax+By+C），y—（Ax+By+C））=0。
特別地，曲線F（x，y）=0關於。
（1）x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F（x，—y）和F（—x，y）=0。
（2）關於直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F（2a—x，y）=0和F（x，2a—y）=0。
（3）關於直線y=x和y=—x對稱的曲線方程分別是F（y，x）=0和F（—y，—x）=0。
除此以外還有以下兩個結論：對函式y=f（x）的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，並作關於y軸的對稱圖象得到y=f（|x|）的`圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y=|f（x）|的圖象。
例2（全國大學聯考試題）設曲線C的方程是y=x3—x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度後得曲線C1：
1）寫出曲線C1的方程。
2）證明曲線C與C1關於點A（，）對稱。
（1）解知C1的方程為y=（x—t）3—（x—t）+s。
（2）證明在曲線C上任取一點B（a，b），設B1（a1，b1）是B關於A的對稱點，由a=t—a1，b=s—b1，代入C的方程得：
s—b1=（t—a1）3—（t—a1）。
b1=（a1—t）3—（a1—t）+s。
B1（a1，b1）滿足C1的方程。
B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點關於點A的對稱點在曲線C上。
曲線C和C1關於a對稱。
我們用前面的結論來證：點P（x，y）關於A的對稱點為P1（t—x，s—y），為了求得C關於A的對稱曲線我們將其座標代入C的方程，得：s—y=（t—x）3—（t—x）。
y=（x—t）3—（x—t）+s。
此即為C1的方程，`C關於A的對稱曲線即為C1。
三、曲線本身的對稱問題
曲線F（x，y）=0為（中心或軸）對稱曲線的充要條件是曲線F（x，y）=0上任意一點P（x，y）（關於對稱中心或對稱軸）的對稱點的座標替換曲線方程中相應的座標後方程不變。
例如拋物線y2=—8x上任一點p（x，y）與x軸即y=0的對稱點p（x，—y），其座標也滿足方程y2=—8x，`y2=—8x關於x軸對稱。
例3方程xy2—x2y=2x所表示的曲線：
A、關於y軸對稱B、關於直線x+y=0對稱。
C、關於原點對稱D、關於直線x—y=0對稱。
解：在方程中以—x換x，同時以—y換y得。
（—x）（—y）2—（—x）2（—y）=—2x，即xy2—x2y=2x方程不變。
曲線關於原點對稱。
函式圖象本身關於直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結論：
1、函式f（x）定義線為R，a為常數，若對任意xR，均有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關於x=a對稱。
這是因為a+x和a—x這兩點分別列於a的左右兩邊並關於a對稱，且其函式值相等，說明這兩點關於直線x=a對稱，由x的任意性可得結論。
例如對於f（x）若tR均有f（2+t）=f（2—t）則f（x）圖象關於x=2對稱。若將條件改為f（1+t）=f（3—t）或f（t）=f（4—t）結論又如何呢？第一式中令t=1+m則得f（2+m）=f（2—m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2—m），所以仍有同樣結論即關於x=2對稱，由此我們得出以下的更一般的結論：
2、函式f（x）定義域為R，a、b為常數，若對任意xR均有f（a+x）=f（b—x），則其圖象關於直線x=對稱。
我們再來探討以下問題：若將條件改為f（2+t）=—f（2—t）結論又如何呢？試想如果2改成0的話得f（t）=—f（t）這是奇函式，圖象關於（0，0）成中心對稱，現在是f（2+t）=—f（2—t）造成了平移，由此我們猜想，圖象關於M（2，0）成中心對稱。如圖，取點A（2+t，f（2+t））其關於M（2，0）的對稱點為A（2—x，—f（2+x））。
∵—f（2+X）=f（2—x）`A的座標為（2—x，f（2—x））顯然在圖象上。
圖象關於M（2，0）成中心對稱。
若將條件改為f（x）=—f（4—x）結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：
3、f（X）定義域為R，a、b為常數，若對任意xR均有f（a+x）=—f（b—x），則其圖象關於點M（，0）成中心對稱。
