設f(x)在[0，1]上連續，且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1(兩個積分都是在0-1上的積分)，求證存在一點X∈[0,1]使∣f(x)∣>4
反證法
證明：
∵∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1
∴∫[x-(1/2)]f(x)dx=∫xf(x)dx-(1/2)∫f(x)dx=1
設在[0,1]上處處有|f(x)|<4
則∫[x-(1/2)]f(x)dx<=∫|[x-(1/2)]f(x)|dx
<4∫|x-(1/2)|dx (積分割槽間[0,1])
=4*{∫[(1/2)-x]dx+∫[x-(1/2)]dx} (積分割槽間分別為[0,1/2]和[1/2,1])
=4*{-(1/2)[0-(1/2)^2]+(1/2)[(1/2)^2-0]
=4*(1/2)(1/4+1/4)
=1
即∫[x-(1/2)]f(x)dx<1，與∫[x-(1/2)]f(x)dx=1矛盾
設在[0,1]上處處有|f(x)|=4
∵f(x)在[0，1]上連續
∴f(x)在[0，1]上恆等於4
或f(x)在[0，1]上恆等於-4
顯然與∫f(x)dx=0矛盾
故以上兩個假設均不成立。
∴必存在一點X∈[0,1]使∣f(x)∣>4
原不等式等價於
ln(b/a)>2(b/a-1)/(b/a+1)
由於b>a>0，令b/a=x，x>1
不等式化為lnx>2(x-1)/(x+1)
即lnx>2-4/(x+1)
建立輔助函式f(x)=lnx+4/(x+1)，x>1
f'=1/x-4/(x+1)^2=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]
=(x-1)^2/[x(x+1)^2]>0
所以f(x)在[1,+∞)上單調遞增，所以，當x>1時
f(x)>f(1),而f(1)=2
所以lnx+4/(x+1)>2
原不等式成立!
令f(x)=ln(x/a)-2(x-a)/(x+a)，a>0，x>0，
則f'(x)=1/x-4a/(x+a)^2=[(x-a)^2]/[x(x+a)^2]，
當x>a時，總有f'(x)>0，所以f(x)在[a,+∞)上單調增加，
當b>a時，總有f(b)>f(a)=0，即ln(b/a)>2(b-a)/(b+a).
你那個符號我打不出來，就用c代替了埃設F(x)的導數是f(x)。
情況1：f(x)恆大於0。要證的是：∫(上c下a)f(x)dx=3∫(上b下c)f(x)dx。→F(c)-F(a)=3F(b)-F(c)。→F(c)=[3F(b)+F(a)]/4。因為f(x)單調遞增，易知F(x)也是單調遞增的。則容易得到F(a)<[3F(b)+F(a)]/4
f(x)在[0,1]上單調遞減，證明當x屬於(0,1)時，x*[F(1)-F(0)]<=F(x)-F(0)
這個題目有問題，你所說的這種情況還要保證f(x)的2階導數小於0!你可以把X移過去這樣兩邊就是斜率的表示式， 可以作圖觀察，在圖是凹的情況下不成立，在凸的情況下成立!在凸的情況下，你可以令G(X)=(F(X)-F(0))/X 然後對GX求導通過GX的單調性證明。
【擴充套件閱讀篇】
用文字記載一個星期來的自己的思想、學習、生活情況的文字記錄。
它有別於“流水賬”，日記，在於流水賬是有什麼就記錄什麼，不需要作任何修飾和認識的昇華，而且內容不限，一週之內可以記錄您每一天的任何事情。而週記就是：每週一次，並且對自己的生活學習思想認識有一定的昇華。 週記是對個人和某個團體一週的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一週裡讓你有所感觸的事。
編輯本段作用
從學生角度來說，週記用來了解學生的思想動態，學習情況，答疑解惑，並通過週記的形式而置一些跟教育主題有關的主題作文，提高學生的認識，從而在全班範圍內形成正確、積極、健康的輿論環境，併為主題班會準備材料，提高同學們參與的積極性。
從老師的角度來說，週記用來回顧一週的得失，提出經驗教訓，讓班主任對班上情況有一個更加詳細和全面的瞭解，提高工作的針對性和準確性。老師除了用來了解同學一週發生的事情外，還用來鍛鍊同學的文章水平，使同學文章水平得以提高。
編輯本段格式
週記的題目(寫作範圍：讀後感;見聞;趣事;數學週記......)
1.記事
2.自評(優，缺)
3.解決措施
4.下週計劃
5.自己的所見所聞所感
其實週記並沒有一種標準的格式，只需要同學們每週把自己的所看到的、聽到的、想到的、經歷的東西記下來，形成的文字片斷或一篇文章，一週寫一則就可以了。
編輯本段怎麼寫週記
不少同學又開始問了，週記怎麼寫?國小國中週記開頭怎麼寫?
如果是一個片斷，將事情寫清、將要表達的意思表達完整就行了，當然，時間充裕，你可以將前因後果，你的想法補充完整，形成一篇文章。不論無論，週記沒有什麼特殊規定的格式，跟我們平時說話寫文章一樣，要求就是條理清楚地說清一件事、一個想法。
週記的關鍵是要真，真事、真情、真想，不要虛構。用力表達你正經歷的、正思考的事，對提高你的寫作能力是有幫助的'，不要當作負擔，也不要覺得有任何壓力，因為真的，只要排列一下就行了。
同時，週記交給老師後，也可讓老師來了解你的生活、你的想法，或許對你有幫助。
去年也談過週記怎麼寫，轉到下面，大家再看看。
老師佈置了週記作業，怎麼寫呢?許多同學發了愁。
其實週記也好，日記也好，都是要寫一段時間內印象最深的事。週記就是本星期內的事。
回想一下這個星期發生了什麼，在學習上有什麼問題，班級裡有什麼新鮮事，和朋友老師間關係如何，這些都可以寫，和日記相比周記可以寫的內容更多了，需要突出一兩個重點。
如果大腦裡立刻就想起一二件事情，記憶深刻，那麼恭喜，你就有材料了，將它們的前因後果，事情經過，個人感想寫清楚吧。
有人會問：不好意思，一想到過去的幾天，我印象裡只記得吃了一次大餐，或者只記得被老師罵了一頓，或者跟同學鬧彆扭心裡不爽，這些都沒有重要意義，怎麼能寫呢?告訴你，既然你想到了，就說明是值得寫的。有意義的事情，不一定非得是意義重大，思想崇高，自己的生活瑣事，也是值得一寫的，只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子，串起了我們的歡笑，串起了我們的憂愁，串起了我們的無聊，引領著我們一天天，不知不覺地在長大。
更有一些同學說，這個周最無味，什麼也沒有發生，沒什麼可寫的。再想想，再想想，多個心眼，仔細觀察，你會找到的。
