比較法證明不等式的過程

比較法是數學中一個常見的方法，那這個方法會怎麼證明不等式呢?下面就是本站小編給大家整理的比較法證明不等式內容，希望大家喜歡。

　　比較法證明不等式方法一

.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關係為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/2

因a^a*b^b=(ab)^ab,

又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬於(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.

用極限法取2或-2，結果大於等於-4，因屬於(-2，2)不包含2和-2就不等於-4，結果就只能大於-4

下面這個方法算不算“比較法”啊?

作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4

建構函式 M = f(c) = (a+b)c + ab+4

這是關於 c 的一次函式(或常函式)，

在 cOM 座標系內，其圖象是直線，

而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因為 a<2, b<2)

f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因為 a>-2, b>-2)

所以 函式 f(c) 在 c∈(-2, 2) 上總有 f(c) > 0

即 M > 0

即 ab+bc+ca+4 > 0

所以 ab+bc+ca > -4

　　比較法證明不等式方法二

設x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函式的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為R，

y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨於無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<1

原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據a-b>0 a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

當b>0時，a>b >1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據題設可轉化為等價問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數量與已知數量的關係入手，逐步分析已知數量與未知數量的關係，一直到求出未知數量的解題方法。

　　數學歸納法證明不等式的基本知識

數學歸納法的基本原理、步驟和使用範圍

(1)在數學裡，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結論，那麼結論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法(通常也叫列舉法)如果考察的只是某件事的部分情況，就得出一般結論，這種歸納法叫完全歸納法.這時得出的.結論不一定可靠。數學問題中，有一類問題是與自然數有關的命題，因為自然數有無限多個，我們不可能就所有的自然數一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就部分自然數進行驗證所得到的結論，是不一定可靠的

例如一個數列的通項公式是an(n25n5)2

容易驗證a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出結論——對於任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是錯誤的.

事實上，a5=25≠1.

因此，就需要尋求證明這一類命題的一種切實可行、比較簡便而又滿足邏輯嚴謹性要求的新的方法——數學歸納法.

(2)數學歸納法是一種重要的數學證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地說，多米諾骨牌遊戲是遞推思想的一個模型，數學歸納法的基本原理相當於有無限多張牌的多米諾骨牌遊戲，其核心是歸納遞推.

一般地，當要證明一個命題對於不小於某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用一下兩個步驟：(1)證明當n=n0(例如n0=1或2等)時命題成立;

(2)假設當n=k(kN，且k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟以後，就可以斷定命題對於不小於n0所有自然數都成立.這種證明方法稱為數學歸納法.

自然數公理(皮亞諾公理)中的“歸納公理”是數學歸納法的理論根據，數學歸納法的兩步證明恰是驗證這條公理所說的兩個性質.數學歸納法的適用範圍僅限於與自然數n有關的命題.這裡的n是任意的正整數，它可取無限多個值.

附錄：下面是自然數的皮亞諾公理，供有興趣的同學閱讀.

任何一個象下面所說的非空集合N的元素叫做自然數，在這個集合中的某些元素a與b之間存在著一種基本關係：數b是數a後面的一個“直接後續”數，並且滿足下列公理：

①1是一個自然數;

②在自然數集合中，每個自然數a有一個確定“直接後續”數a’;

③a’≠1,即1不是任何自然數的“直接後續”數;

④由a’ =b’推出a=b,這就是說，每個自然數只能是另一個自然數的“直接後續”數;

⑤設M是自然數的一個集合，如果它具有下列性質：(Ⅰ)自然數1屬於M,(Ⅱ)如果自然數a屬於M，那麼它的一個“直接後續”數a’也屬於M，則集合M包含一切自然數.

其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數學歸納法的依據.

(3)數學歸納法可以證明與自然數有關的命題，但是，並不能簡單地說所有涉及正整數n的命題都可以用數學歸納法證明.

例如用數學歸納法證明(1+1)n(n N)的單調性就難以實現.一般來說，n

從k=n到k=n+1時，如果問題中存在可利用的遞推關係，則數學歸納法有用武之地，否則使用數學歸納法就有困難.

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