甲內容提要
1.通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。
通過有限的幾個特例,觀察其一般規律,得出結論,它是一種不完全的歸納法,也叫做經驗歸納法。例如
①由(-1)2=1,(-1)3=-1,(-1)4=1,……,
歸納出-1的奇次冪是-1,而-1的偶次冪是1。
②由兩位數從10到99共90個(9×10),
三位數從100到999共900個(9×102),
四位數有9×103=9000個(9×103),
…………
歸納出n位數共有9×10n-1 (個)
③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推斷出從1開始的n個連續奇數的和等於n2等。
可以看出經驗歸納法是獲取新知識的重要手段,是知識攀緣前進的階梯。
2. 經驗歸納法是通過少數特例的試驗,發現規律,猜想結論,要使規律明朗化,必須進行足夠次數的試驗。
由於觀察產生的片面性,所猜想的結論,有可能是錯誤的,所以肯定或否定猜想的結論,都必須進行嚴格地證明。(到高中,大都是用數學歸納法證明)
乙例題
例1平面內n條直線,每兩條直線都相交,問最多有幾個交點?
解:兩條直線只有一個交點,12
第3條直線和前兩條直線都相交,增加了2個交點,得1+23
第4條直線和前3條直線都相交,增加了3個交點,得1+2+3
第5條直線和前4條直線都相交,增加了4個交點,得1+2+3+4
………
第n條直線和前n-1條直線都相交,增加了n-1個交點
由此斷定n條直線兩兩相交,最多有交點1+2+3+……n-1(個),
這裡n≥2,其和可表示為[1+(n+1)]×, 即個交點。
例2.符號n!表示正整數從1到n的連乘積,讀作n的階乘。例如
5!=1×2×3×4×5。試比較3n與(n+1)!的大小(n是正整數)
解:當n=1時,3n=3, (n+1)!=1×2=2
當n=2時,3n=9, (n+1)!=1×2×3=6
當n=3時,3n=27, (n+1)!=1×2×3×4=24
當n=4時,3n=81, (n+1)!=1×2×3×4×5=120
當n=5時,3n=243, (n+1)!=6!=720 ……
猜想其結論是:當n=1,2,3時,3n>(n+1)!,當n>3時3n<(n+1)!。
例3 求適合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解。
分析:這2003個正整數的和正好與它們的積相等,要確定每一個正整數的值,我們採用經驗歸納法從2個,3個,4個……直到發現規律為止。
解:x1+x2=x1x2的.正整數解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整數解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
…………
由此猜想結論是:適合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解為x1=x2=x3=……=x2001=1, x2002=2, x2003=2003。
丙練習
1.除以3餘1的正整數中,一位數有__個,二位數有__個,三位數有__個,n位數有____個。
2.十進位制的兩位數可記作10a1+a2,三位數記作100a1+10a2+a3,四位數記作____,n位數___記作______
3.由13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43
=(___)2,13+______=152,13+23+…+n3=()2。
4.用經驗歸納法猜想下列各數的結論(是什麼正整數的平方)
①=(___)2;;-=( __)2。
②=(____)2;=(___)2
5.把自然數1到100一個個地排下去:123……91011……99100
①這是一個幾位數?②這個數的各位上的各個數字和是多少
6.計算+++…+=
(提示把每個分數寫成兩個分數的差)
7.a是正整數,試比較aa+1和(a+1)a的大小.
8..如圖把長方形的四條邊塗上紅色,然
後把寬3等分,把長8等分,分成24個
小長方形,那麼這24個長方形中,
兩邊塗色的有__個,一邊塗色的有__個,四邊都不著色的有__個。
本題如果改為把寬m等分,長n等分(m,n都是大於1的自然數)那麼這mn個長方形中,兩邊塗色的有__個,一邊塗色的有__個,四邊都不著色的有__個
9.把表面塗有紅色的正方體的各稜都4等分,切成64個小正方體,那麼這64箇中,三面塗色的有__個,兩面塗色的有___個,一面塗色的有___個,四面都不塗色的有____個。
本題如果改為把長m等分,寬n等分,高p等分,(m,n,p都是大於2的自然數)那麼這mnp個正方體中,三面塗色的有___個,兩面塗色的有___個,一面塗色的有____個,四面都不塗色的有_____個。
10.一個西瓜按橫,縱,垂直三個方向各切三刀,共分成___塊,其中不帶皮的有__塊。
11.已知兩個正整數的積等於11112222,它們分別是___,___。
丙答案
1.3,30,3×102,3×10n-1
2.10n-1a1+10n-2a2_+……+10an-1+an
4.①333332, ②,
5.①192位,②901位(50個18,加上1)
6. ∵=- ……
7.a=1,2時,aa+1<(a+1)a……
8.4,14,6;4,2m+2n-8,(m-2)(n-2)
9.8,24,24,8;
8,4×[(m-2)+(n-2)+(p-2)],2[(m-2)(n-2)+(m-2)](p-2)+(n-2)(p-2)],
(m-2)(n-2)(p-2)
10.64,8
11.3334