大學聯考模擬試卷是考試前的前瞻，能幫助理科考生們熟悉理科數學考試的題型，這樣在大學聯考備考中就能很好的劃分重點進行復習，下面是小編為大家精心推薦的2018屆揭陽市大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
(1)函式 的定義域為
(A) (B) (C) (D)
(2)已知複數 ( ， 是虛數單位)是純虛數，則 為
(A) (B) (C)6 (D)3
(3)“ 為真”是“ 為真”的
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
(4)已知 ，則
(A) (B) (C) (D)
(5)已知 ，則
(A) (B)
(C) (D)
(6)中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年
商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，其三檢視如圖1
所示(單位：升)，則此量器的體積為(單位：立方升)
(A)14 (B)
(C) (D)
(7)設計如圖2的程式框圖，統計高三某班59位同
學的數學平均分，輸出不少於平均分的人數
(用j表示)，則判斷框中應填入的條件是
(A) (B)
(C) (D)
(8)某微信群中四人同時搶3個紅包，每人最多搶一個，
則其中甲、乙兩人都搶到紅包的概率為
(A) (B) (C) (D)
(9)已知實數 滿足不等式組 ，若
的最小值為-3，則a的值為
(A)1 (B) (C)2 (D)
(10)函式 的大致圖象是
(A) (B) (C) (D)
(11)已知一長方體的體對角線的長為10，這條對角線在長方體一個面上的正投影長為8，則這個長方體體積的最大值為
(A)64 (B)128 (C)192 (D)384
(12)已知函式 ， .若 在區間 內有零點，則 的取值範圍是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本捲包括必考題和選考題兩部分.第(13)題 第(21)題為必考題，每個試題考生都必須做答.第(22)題 第(23)題為選考題，考生根據要求做答.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確的答案填寫在答題卡相應的橫線上.
(13)已知向量 滿足 ，則 .
(14)已知直線 與圓 相切，則 的值為 .
(15)在△ABC中，已知 與 的夾角為150°， ，則 的取值範圍是 .
(16)已知雙曲線 的離心率為 ， 、 是雙曲線的兩個焦點，A為左頂點、B ，點P線上段AB上，則 的最小值為 .
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
(17)(本小題滿分12分)
已知數列 中， ， .
(I)求證：數列 是等比數列;
(II)求數列 的前 項和為 .
(18)(本小題滿分12分)
已知圖3中，四邊形 ABCD是等腰梯形， ， ，O、Q分別為線段AB、CD的中點，OQ與EF的交點為P，OP=1，PQ=2，現將梯形ABCD沿EF折起，使得 ，連結AD、BC，得一幾何體如圖4示.
(Ⅰ)證明：平面ABCD 平面ABFE;
(Ⅱ)若圖3中， ，CD=2，求平面ADE與平面BCF所成銳二面角的餘弦值.
(19)(本小題滿分12分)
某學校在一次第二課堂活動中，特意設定了過關智
力遊戲，遊戲共五關.規定第一關沒過者沒獎勵，過
關者獎勵 件小獎品(獎品都一樣).圖5
是小明在10次過關遊戲中過關數的條形圖，以此頻率估
計概率.
(Ⅰ)估計小明在1次遊戲中所得獎品數的期望值;
(Ⅱ)估計小明在3 次遊戲中至少過兩關的平均次數;
(Ⅲ)估計小明在3 次遊戲中所得獎品超過30件的概率.
(20)(本小題滿分12分)
已知橢圓 與拋物線 共焦點 ，拋物線上的點M到y軸的距離等於 ，且橢圓與拋物線的交點Q滿足 .
(I)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(II)過拋物線上的點 作拋物線的切線 交橢圓於 、 兩點，設線段AB的中點為 ，求 的取值範圍.
(21)(本小題滿分12分)
設函式 ( )， ，
(Ⅰ) 試求曲線 在點 處的切線l與曲線 的公共點個數;
(Ⅱ) 若函式 有兩個極值點，求實數a的取值範圍.
(附：當 ，x趨近於0時， 趨向於 )
請考生在第(22)、(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題目計分.
(22) (本小題滿分10分)選修4 4：座標系與引數方程
在直角座標系 中，已知直線l1： ( ， )，拋物線
C： (t為引數).以原點 為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極座標系.
(Ⅰ)求直線l1 和拋物線C的極座標方程;
(Ⅱ)若直線l1 和拋物線C相交於點A(異於原點O)，過原點作與l1垂直的直線l2，l2和拋物線C相交於點B(異於原點O)，求△OAB的面積的最小值.
(23) (本小題滿分10分)選修4 5：不等式選講
已知函式 .
(Ⅰ)求不等式 的解集 ;
(Ⅱ)當 時，證明： .
2018屆揭陽市大學聯考理科數學模擬試卷答案一、選擇題：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A C C B B D A B C D
解析：(6)易得該幾何體為一底面半徑為 、高為2的圓柱與一長、寬、高分別為4、3、1的長方體的組合，故其體積為： .
(8)3個紅包分配給四人共有 種分法，“甲、乙兩人都搶到紅包”指從3個紅包中選2個分配給甲、乙，其餘1個分配給另外二人，其概率為 .
(9)如右圖，當直線 過點 時，z取得最小值，即 .
(10)由 可排除(D)，由 ， ，可排(A)(C)，故選(B).
(11)以投影面為底面，易得正方體的高為 ，設長方體底面邊長分別為 ，則 ， .
(12) ，由 令 得函式 有一零點 ，排除(B)、(C)，令 得函式 在 上的零點從小到大為： ，顯然 ， 可排除(A)，故答案為(D)
【法二： ，由 得 ，當 時， ，由題意知存在 ， ，即 ，所以 ，由 知 ，當 時， ， ， ，…，所以選D.】
二、填空題：
題號 13 14 15 16
答案
解析：
(15) 由 與 的夾角為150°知 ,由正弦定理得：
,又 得 .
(16)易得 ，設 則 ，
顯然，當 時， 取得最小值，
由面積法易得 ，故 的最小值為 .
三、解答題：
(17)解：(I)證法1：由已知得 ，-----------------------------1分
∴ ，--------------------------------------------------------3分
又 ，得 ，∴ ，---------------------------------------5分
∴數列 是首項為2，公比為2的等比數列.-----------------------6分
【證法2：由 得 ，----------------1分
由 及遞推關係，可知 ，所以 ，
∴ ，------------------5分
∴數列 是首項為2，公比為2的'等比數列.----------------------------------6分】
(II)由(I)得 ，∴ ，---------------------------8分
，
設 ，-------------①
則 ，---------②
①式減去②式得
，
得 ，------------------------------------------------------------------10分
又 ，
∴ .-----------------------------------------------------12分
(18)解：(Ⅰ)證明：在圖3中，四邊形ABCD為等腰梯形，
O、Q分別為線段AB、CD的中點，
∴OQ為等腰梯形ABCD的對稱軸，又AB// ，
∴OP⊥EF、PQ⊥EF，①---------------------2分
在圖4中，∵ ，∴ --------------3分
由①及 ，得EF⊥平面OPQ，∴EF⊥OQ，----------------4分
又 ，∴OQ 平面ABFE，----------------------------------5分
又 平面ABCD，∴平面ABCD 平面ABFE;-------------------------------------6分
(Ⅱ)在圖4中，由 ，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分
以O為原點，PO所在的直線為x軸建立空間直角座標系 ，如圖所示，
則 、 、
得 ， -------8分
設 是平面BCF的一個法向量，
則 ，得 ，
取z=3，得 ---------9分
同理可得平面ADE的一個法向量 -------------------------------------10分
設所求銳二面角的平面角為 ，
則 =
所以平面ADE與平面BCF所成銳二面角的餘弦值為 .-------------------------------12分
(19)解：(Ⅰ)設小明在1次遊戲中所得獎品數為 ，則 的分佈列為
0 1 2 4 8 16
P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1
-------------------2分
的期望值 ;----------------4分
(Ⅱ)小明在1 次遊戲中至少過兩關的概率為0.7，-----------------------------5分
設小明在3 次遊戲中至少過兩關的次數為X，可知 ，
則X的平均次數 ;------------------------------------------7分
(Ⅲ)小明在3 次遊戲中所得獎品超過30件含三類：恰好一次 和兩次 ，恰好二次 ，恰好三次 ，---------------------------------------------------------------8分
，---------------------------------9分
= ，------------------------10分
------------------------------------------------------------11分
所以小明在3 次遊戲中所得獎品超過30件的概率為 .------12分
(20)解：(I)∵拋物線上的點M到y軸的距離等於 ，
∴點M到直線 的距離等於點M到焦點 的距離，----------------1分
得 是拋物線 的準線，即 ，
解得 ，∴拋物線的方程為 ;-----------------------------------3分
可知橢圓的右焦點 ，左焦點 ，
由 得 ，又 ，解得 ，-------4分
由橢圓的定義得 ，----------------------5分
∴ ，又 ，得 ，
∴橢圓的方程為 .-----------------------------------------------------6分
(II)顯然 ， ，
由 ，消去x，得 ，
由題意知 ，得 ，-----------------------------------7分
由 ，消去y，得 ，
其中 ，
化簡得 ，-------------------------------------------------------9分
又 ，得 ，解得 ，--------------------10分
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 <0，
由 ，得 ，∴ 的取值範圍是 .--------------12分
(21)解：(Ⅰ)∵ ， ，
切線 的斜率為 ，---------------------------------------------1分
∴切線 的方程為 ，即 ，-----2分
聯立 ，得 ;
設 ，則 ，----------3分
由 及 ，得 或 ，
∴ 在 和 上單調遞增，可知 在 上單調遞減，----4分
又 ， ，所以 ， ，-----------5分
∴方程 有兩個根：1和 ，從而切線l與曲線 有兩個公共點.--6分
(Ⅱ)由題意知 在 至少有兩不同根，----------------7分
設 ，
①當 時， 是 的根，
由 與 ( )恰有一個公共點，可知 恰有一根 ，
由 得a=1，不合題意，
∴當 且 時，檢驗可知 和 是 的兩個極值點;-----------------8分
②當 時， 在 僅一根，所以 不合題意;--9分
③當 時，需 在 至少有兩不同根，
由 ，得 ，所以 在 上單調遞增，
可知 在 上單調遞減，
因為 ，x趨近於0時， 趨向於 ，且 時， ，
由題意知，需 ，即 ，解得 ，------11分
∴ .
綜上知， .---------------------------------------------------12分
選做題：
(22)解：(Ⅰ)可知l1是過原點且傾斜角為 的直線，其極座標方程為
---------------------------------------------------------2分
拋物線C的普通方程為 ，-------------------------------------------3分
其極座標方程為 ，
化簡得 .-----------------------------------------------------5分
(Ⅱ)解法1：由直線l1 和拋物線C有兩個交點知 ，
把 代入 ，得 ，-----------------6分
可知直線l2的極座標方程為 ，-----------------------7分
代入 ，得 ，所以 ，----8分
，
∴△OAB的面積的最小值為16.----------------------------------------------------------10分
【解法2：設 的方程為 ，由 得點 ，------6分
依題意得直線 的方程為 ，同理可得點 ，-------------7分
故 -------------------------8分
，(當且僅當 時，等號成立)
∴△OAB的面積的最小值為16.----------------------------------------------------------10分】
(23)解：(Ⅰ)由 ，得 ，即 ，--------------3分
解得 ，所以 ;----------------------------------------------5分
(Ⅱ)法一：
-----------------------------------7分
因為 ，故 ， ， ， ，--------8分
故 ，
又顯然 ，故 .-------------------------------------------------1 0分
【法二：因為 ，故 ， ，----------------6分
而 ------------------------------7分
，-------------------------8分
即 ，故 .------------------------------------10分】
