大學聯考即將到來,同學們大學聯考數學複習的怎麼樣呢,不如讓我們做套大學聯考模擬試卷來看看吧,以下是本站小編為你整理的2018屆揚州市大學聯考數學模擬試卷,希望能幫到你。
2018屆揚州市大學聯考數學模擬試卷題目
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請將答案填寫在答題卷相應位置)
1.已知 ,則 ▲ .
2.若複數 滿足 ,則複數 在複平面上對應的點在第 ▲ 象限.
3.隨著社會的發展,食品安全問題漸漸成為社會關注的熱點,為了提高學生的食品安全意識,某學校組織全校學生參加食品安全知識競賽,成績的頻率分佈直方圖如下圖所示,資料的分組依次為 , , , ,若該校的學生總人數為3000,則成績不超過60分的學生人數大約為 ▲ .
4.在區間 內任取一個實數 , 則滿足 的概率為 ▲ .
5.如圖是一個演算法流程圖,則輸出 的值為 ▲ .
6.函式 的定義域為 ▲ .
7.已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ,則該雙曲線的焦距為
▲ .
8.已知 ,則 ▲ .
9.已知圓錐的側面展開圖是半徑為4,圓心角等於 的扇形,則這個圓錐的體積是 ▲
10.已知圓 為常數)與直線 相交於 兩點,若 ,則實數 ▲ .
11、設等差數列 的前 項和為 ,若 , , 則 的最小值為 ▲ .
12.若動直線 與函式 , 的圖象分別交於 兩點,則線段 長度的最大值為 ▲ .
13.在 中, 、 分別是 、 的中點, 是直線 上的動點.若 的面積為2,則 的最小值為 ▲ .
14.已知函式 有兩個不相等的零點 ,則 的最大值為 ▲ .
二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分14分)
在 中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若 , .
⑴求 的值;
⑵若 ,求 的面積.
16.(本小題滿分14分)
如圖,在四稜錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,CD∥AB,AB=2CD, AC交BD於O,銳角 PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,點Q在側稜PC上,且PQ=2QC.
求證:⑴PA∥平面QBD;
⑵BD AD.
17.(本小題滿分14分)
如圖是一座橋的截面圖,橋的路面由三段曲線構成,曲線 和曲線 分別是頂點在路面 、 的拋物線的一部分,曲線 是圓弧,已知它們在接點 、 處的切線相同,若橋的.最高點 到水平面的距離 米,圓弧的弓高 米,圓弧所對的弦長 米.
(1)求弧 所在圓的半徑;
(2)求橋底 的長.
18.(本小題滿分16分)
如圖,已知橢圓 的左頂點 ,且點 在橢圓上, 、 分別是橢圓的左、右焦點。過點 作斜率為 的直線交橢圓 於另一點 ,直線 交橢圓 於點 .
(1)求橢圓 的標準方程;
(2)若 為等腰三角形,求點 的座標;
(3)若 ,求 的值.
19.(本小題滿分16分)
已知函式 ,其中 為引數.
(1)當 時,求函式 在 處的切線方程;
(2)討論函式 極值點的個數,並說明理由;
(3)若對任意 , 恆成立,求實數 的取值範圍.
20.(本小題滿分16分)
已知各項不為零的數列 的前 項和為 ,且 , , .
(1)若 成等比數列,求實數 的值;
(2)若 成等差數列,
①求數列 的通項公式;
②在 與 間插入 個正數,共同組成公比為 的等比數列,若不等式
對任意的 恆成立,求實數 的最大值.
揚州市2017屆高三考前調研測試
數學Ⅱ(附加題 共40分)
21.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知矩陣 ,設曲線C: 在矩陣 對應的變換下得到曲線C′,求C′的方程.
22.[選修4-4:座標系與引數方程](本小題滿分10分)
在極座標系中,直線 和圓C的極座標方程為 ( )和 .若直線 與圓C有且只有一個公共點,求a的值.
23.(本小題滿分10分)
某校舉辦校園科技文化藝術節,在同一時間安排《生活趣味數學》和《校園舞蹈賞析》兩場講座.已知A、B兩學習小組各有5位同學,每位同學在兩場講座任意選聽一場.若A組1人選聽《生活趣味數學》,其餘4人選聽《校園舞蹈賞析》;B組2人選聽《生活趣味數學》,其餘3人選聽《校園舞蹈賞析》.
⑴若從此10人中任意選出3人,求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率;
⑵若從A、B兩組中各任選2人,設 為選出的4人中選聽《生活趣味數學》的人數,求 的分佈列和數學期望 .
24. (本小題滿分10分)
在數列 中, ( )
⑴試將 表示為 的函式關係式;
⑵若數列 滿足 ( ),猜想 與 的大小關係,並證明你的結論.
2018屆揚州市大學聯考數學模擬試卷答案
一、填空題
1. 2.一 3.900 4. 5. 120
6. 7.10 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15. 【解析】⑴由 得 ,
又 ,所以 , ………………3分
因為 ,且 為鈍角,所以 , ………………6分
所以 . ………………8分
⑵由正弦定理得 ,所以 , ……… 11分
所以 的面積 . ………………14分
16. 【解析】⑴如圖,連線OQ,
因為AB∥CD,AB =2 CD,
所以AO =2OC,又PQ=2QC,
所以PA∥OQ, …………………3分
又OQ 平面QBD,PA 平面QBD,
所以PA∥平面QBD. ………………… 6分
⑵在平面PAD內過 作 於H,因為側面PAD⊥底面ABCD,平面PAD 平面ABCD=AD,
PH 平面PAD,所以PH 平面ABCD, …………………9分
又BD 平面ABCD,所以PH BD,又PA⊥BD,
且PA和PH是平面PAD內的兩條相交直線,所以BD 平面PAD,…………………12分
又AD 平面PAD,所以BD AD. …………………14分
17. 解:(1)設弧 所在圓的半徑為 ,由題意得 ,
即弧 所在圓的半徑為13米。 …………………4分
(2)以線段 所在直線為 軸,線段 的中垂線為 軸,建立如圖的平面直角座標系。
米, 米,弓高 米,
, , ,設 所在圓的方程為
則
弧 的方程為 …………………6分
設曲線 所在拋物線的方程為: , …………………8分
點 在曲線 上 …………………10分
又弧 與曲線段 在接點 處的切線相同,且弧 在點B處的切線的斜率為 ,
由 得 , ,
…………………12分
由得 , ,
橋底 的長為58米 …………………13分
答:(1)弧 所在圓的半徑為13米;
(2)橋底 的長 58米。 (答和單位各1分) …………………14分
18. 解:(1)由題意得 ,解得
橢圓 的標準方程: …………………4分
(2) 為等腰三角形,且 點 在 軸下方
1° 若 ,則 ;
2° 若 ,則 , ;
3° 若 ,則 ,
直線 的方程 ,由 得 或
(不討論扣2分) …………………9分
(3)設直線 的方程 ,
由 得
…………………11分
若 則 , , 與 不垂直;
, , ,
直線 的方程 ,直線 的方程:
由 解得 …………………13分
又點 在橢圓上得 ,即 ,即
, …………………16分
19. 解析:(1) …………………3分
(2) ,定義域為
,設 ,
① 當 時, ,故 ,
所以 在 上為增函式,所以無極值點. …………………4分
②當 時, ,
若 時 , ,故 ,故 在 上遞增,所以無極值點.
若 時 ,設 的兩個不相等的實數根為 ,且 ,
且 ,而 ,則 ,
所以當 單調遞增;
當 單調遞減;
當 單調遞增.
所以此時函式 有兩個極值點; …………………7分
③當 時 ,設 的兩個不相等的實數根為 ,且 ,
但 ,所以 ,
所以當 單調遞増;
當 單調遞減.
所以此時函式 只有一個極值點。
綜上得:
當 時 有一個極值點;
當 時 的無極值點;
當 時, 的有兩個極值點. …………………9分
(3)方法一:
當 時,由(2)知 在 上遞增,
所以 ,符合題意; …………………10分
當 時, , 在 上遞增,所以 ,
符合題意; …………………12分
當 時, ,所以函式 在 上遞減, 所以 ,
不符合題意; …………………14分
當 時,由(1)知 ,於是
當 時, ,此時 ,不符合題意.
綜上所述, 的取值範圍是 . …………………16分
方法二: ,注意到對稱軸為 , ,
當 時,可得 ,故 在 上遞增,所以 ,符合題意;
當 時, ,所以函式 在 上遞減, 此時 ,
不符合題意;
當 時,由(1)知 ,於是
當 時, ,此時 ,不符合題意.
綜上所述, 的取值範圍是 . …………………16分
20. 解:(1)當 時, , ,當 時, , ,
由 得 ,即 ,解得: 。 …………………3分
(2)由 得 ,故 , ,所以 ,
當 時, ,
因為 ,所以 …………………6分
故數列 的所有奇數項組成以 為首項 為公差的等差數列,
其通項公式 , …………………7分
同理,數列 的所有偶數項組成以 為首項 為公差的等差數列,
其通項公式是 …………………8分
所以數列 的通項公式是 …………………9分
(3) ,在 與 間插入 個正數,組成公比為 的等比數列,故有 ,
即 , …………………10分
所以 ,即 ,兩邊取對數得 ,
分離引數得 恆成立 …………………11分
令 , ,則 , , …………………12分
令 , ,則 ,
下證 , ,
令 , 則 ,所以 ,
即 ,用 替代 可得 , , …………………14分
所以 ,所以 在 上遞減,
所以 …………………16分
揚州市2017屆高三考前調研測試
數學Ⅱ(附加題)參考答案
21.【解析】設 為曲線C上任意一點,點 在矩陣 對應的變換下得到點 ,則: ,即 ,解得 , ………………5分
(注:用逆矩陣的方式求解同樣給分)
又 ,∴ ,即 ,
∴曲線C′的方程為 . ………………10分
22. 【解析】將直線 的極座標方程化為直角座標方程得 ; ………………2分
將圓C的極座標方程化為直角座標方程得 . ………………4分
因為直線與圓有且只有一個公共點,所以 ,即 ………………8分
解得 或 . ………………10分
23.【解析】⑴設“選出的3人中恰2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件 ,
則 ,
答:選出的3人中恰2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為 . ………………3分
⑵ 可能的取值為 ,
, ,
,故 .
所以 的分佈列為:
X 0 1 2 3
………………8分
所以 的數學期望 . ………………10分
24.【解析】(1) =
又 , , ………………3分
⑵當n=1時, , ,
當n=2時, , ,
當n=3時, , , ………………4分
猜想:當 時, , ………………5分
下面用數學歸納法證明:
證:①當n=3時,由上知, ,結論成立。
②假設n=k, 時, 成立,即
則當n=k+1, ,
要證 ,即證明
即證明
即證明
即證明 ,顯然成立。
∴ 時,結論也成立.
綜合①②可知:當 時, 成立。
綜上可得:當n=1時, ;當n=2時,
當 , 時, ………………10分