四年級奧數動手學數學：巨石數學
多年來，科學家與考古學家對於在西歐許多地區發現的由石塊圍成的圓圈非常感興趣.其中英國的巨石柱群(Stonehenge)是最典型的例子，其石塊位置與太陽位置之間的關聯使得有人將巨石柱群描繪成一部天文電腦.不過，在這裡我們主要是要探討被稱為“圓圈”的基本形狀.巨石柱群非常近似於圓形，兩者之間並無多大差異，但是工程學家陶姆(Thom)教授在調查過數百個石柱遺蹟後發現，許多石柱圍成的圓圈事實上並不圓，而是以直角三角形為基礎精心構造出的曲線.
陶姆所發現的一種形狀類似於圖1所示的蛋形.要畫這個形狀，可先畫出邊長為3、4、5的直角三角形ABC，以及其在AB邊的映象，三角形ABC′.然後以A為圓心，畫出半徑為AB(4單位長)的.半圓，以及半圓的直徑XX′.以C′為圓心，C′X(7單位長)為半徑，畫出弧XY;並以C為圓心，以相同的半徑畫出弧X′Y′.再以B為圓心，BY(2單位長)為半徑畫出弧YY′，而完成此蛋形.在英國西羅申(WestLothian)的肯帕普山(CairnpappleHill)，以及印威內斯(Inverness)的克拉瓦(Clava)等地都可以找到排成這種形狀的巨石柱遺蹟.可以從任何直角三角形開始畫，同時用這種方法也可以畫出較圓或較尖的蛋形.請試著畫畫看.
在英國的德文(Devon)和康瓦爾(Cornwall)則發現了一種不同的石塊排列方式，雖然其邊的一部分為直線，但我們還是稱之為蛋形，參見圖2.此種形狀同樣也是以兩個全等的直角三角形為基礎，但這次卻是以斜邊BC互成映象.在畫出三角形ABC與A′BC後，先以C為圓心，CB為半徑(5單位長)畫主要的弧XX′;再畫平行於AB的XY及平行於A′B的X′Y′;最後以B為圓心，BY為半徑，畫出小弧YY′.
陶姆還發現了另外兩種形狀，他稱之為扁圓形.雖然此種曲線同樣是由圓形的弧所組成，但其“扁”的部分卻相當接近橢圓.第一種扁圓形如圖3所示，其中XX′以下的曲線部分是以A為圓心的一個半圓.然後在XX′上取C與C′，使AC與AC′為此半圓半徑的1/3，AB為此半圓與整個形狀的對稱線.再以C為圓心，CX為半徑(2單位長)畫弧XY，以C′為圓心，同樣的半徑畫弧X′Y′.最後以B為圓心，BY為半徑畫出弧YY′.在英國達特茅(Dartmoor)郊外的麥立維爾(Merrivale)和坎姆里亞(Cumbria)的“朗美格與其女”(LongMegandherdaughter)可以找到排成此種形狀的石塊.
第二種扁圓形如圖4所示.首先以A為圓心，由X經過B到X′畫出2/3個圓為此大扇形的對稱線，C與C′則是半徑AX與AX′的中點.然後以C為圓心，CX(1單位長)為半徑畫弧XY;再以C′為圓心，同樣的半徑畫弧X′Y′.最後以B為圓心，BY為半徑畫弧YY′，即完成此圖形.在英國凱斯維克(Keswick)的裡格堡(CastleRigg)可以找到這種形狀，此外在坎姆里亞與蘇格蘭也可以找到.
所有的這些形狀都具有一個有趣的性質，那就是即使它們是以不同的圓心與不同的半徑建構而成的，但其中不同的弧相接的地方都有公共的切線，所以曲線的方向並不會突然地改變.
如果你有機會去這些地方，可以試著做精確的測量，看看它們是否是我們討論過的形狀.請探討一下週長與面積的變化.
