對於大學聯考理科的考生來說,數學雖然相對比較容易,但是也需要通過多做數學模擬試卷來提升自己,下面是小編為大家精心推薦的2018屆山西省五校大學聯考理科數學模擬試卷,希望能夠對您有所幫助。
2018屆山西省五校大學聯考理科數學模擬試卷題目一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
2.若複數 滿足 , 其中 為虛數單位,則 =( )
A. B. C. D.
3.已知數列 為等差數列,其前 項和為 , ,則 為
A. B. C. D. 不能確定
4.命題 ,命題 ,則 ( )
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.必要充分條件 D.既不充分也不必要條件
5.若 滿足條件 ,則目標函式 的最小值是( )
A. B. C. D.
6.某幾何體的三檢視如圖所示(單位: ),則該幾何體的體積等於( )
A. B.
C. D.
7.美索不達米亞平原是人類文明的發祥地之一。美索不達米亞人善於計算,
他們創造了優良的計數系統,其中開平方演算法是最具有代表性的。程式框圖如圖所示,若輸入
的值分別為 , , ,(每次運算都精確到小數點後兩位)則輸出結果為( )
A. B. C. D.
8.已知直線 ⊥平面 ,直線 平面 ,給出下列命題:
① ∥ ② ⊥ ∥ ③ ∥ ⊥ ④ ⊥ ∥
其中正確命題的序號是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④
9.一個口袋內裝有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,從中一次摸出兩個球,則摸出的兩個都是白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.已知平面向量 的夾角為 , , ,則 ( )
A.2 B.3 C.4 D.
11.已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線 =1(a>0,b>0)有相同的焦點F,點A是兩曲線的一個交點,且AF⊥x軸,則雙曲線的離心率為( )
A. +2 B. +1 C. +1 D. +1
12.若對於任意的 ,都有 ,則 的最大值為( )
A. B. C.1 D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上.
13.某珠寶店丟了一件珍貴珠寶,以下四人中只有一人說真話,只有一人偷了珠寶.甲:我沒有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我沒有偷.根據以上條件,可以判斷偷珠寶的人是 .
14.在 的二項展開式中,所有項的二項式係數之和為256,則常數項等於_________.
15. 在正項等比數列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=________.
16.已知函式f(x)=-0.5x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不單調,則t的取值範圍是 .
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知函式f(x)=2sin xsinx+π6.
(1)求函式f(x)的最小正週期和單調遞增區間;
(2)當x∈0,π2時,求函式f(x)的值域.
18.(本小題滿分 分)
在如圖所示的`多面體 中,四邊形 為正方形,底面 為直角梯形, 為
直角, 平面 平面 .
(1)求證: ;
(2)若 求二面角 的餘弦值.
20.(本小題滿分12分)
心理學家發現視覺和空間能力與性別有關,某數學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中按分
層抽樣的方法抽取50名同學(男30女20),給所有同學幾何和代數各一題,讓各位同學自由選擇
一道題進行解答.選情況如下表:(單位:人)
幾何題 代數題 總計
男同學 22 8 30
女同學 8 12 20
總計 30 20 50
(1)能否據此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(2)經過多次測試後,女生甲每次解答一道幾何題所用的時間在5---7分鐘,女生乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘,現甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
(3)現從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究,記甲、乙兩女生中被抽到的人數為 ,求 的分佈列及數學期望 .
附表及公式
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0,005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.(本小題滿分12分)
已知橢圓C: 的離心率為 ,左焦點為 ,過點 且斜率為
的直線 交橢圓於A,B兩點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)在 軸上,是否存在定點E,使 恆為定值?若存在,求出E點的座標和這個定值;若
不存在,說明理由.
21(本小題滿分12分)
已知函式 , ( 為自然對數的底數).
(1)求 的極值;(2)在區間 上,對於任意的 ,總存在兩個不同的 ,使得 ,求 的取值範圍.
22.選修4-4:座標系與引數方程(本小題滿分10分)
在直角座標系 中,曲線 : ( 為引數, 為大於零的常數),以
座標原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立座標系,曲線 的極座標方程為:
.
(Ⅰ)若曲線 與 有公共點,求 的取值範圍;
(Ⅱ)若 ,過曲線上 任意一點 作曲線 的切線,切於點 ,求 的最大值.
2018屆山西省五校大學聯考理科數學模擬試卷答案一、選擇題:ABBAB;DDCBD;DC
二、填空題: 13.甲 14. 112 15.14 16.(0,1)∪(2,3)
三、解答題。
17.【解析】 (1)f(x)=2sin x32sin x+12cos x=3×1-cos 2x2+12sin 2x=sin2x-π3+32.
所以函式f(x)的最小正週期為T=π.
由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,
解得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,
所以函式f(x)的單調遞增區間是-π12+kπ,5π12+kπ,k∈Z.
(2)當x∈0,π2時,2x-π3∈-π3,2π3,
sin2x-π3∈-32,1,
f(x)∈0,1+32.
故f(x)的值域為0,1+32.
18. 解:(1)
設 ,
…………………6分
(2)
,
,即二面角 ……………12分
19.解:(1)由表中資料得 的觀測值 ,
所以根據統計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關
(2)設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為 分鐘,則基本事件滿足的區域為
設事件 為“乙比甲先做完此道題”,則滿足的區域為
∴由幾何概型 即乙比甲先解答完的概率
(3)由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人,抽取方法有 種,其中甲、乙兩人沒有一個被抽到有 種;恰有一人被抽到有 種;兩人都被抽到有 種,
∴ 可能取值為0,1,2, , ,
的分佈列為:
0 1 2
∴
20.(1)由已知可得 ,解得 所求的橢圓方程為 ……4分
(2)設過點D(0,2)且斜率為k的直線l的方程為y=kx+2,
由 消去y整理得:
設A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=﹣
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=﹣ ,
y1+y2=(kx1+2)+(kx2+2)=k(x1+x2)+4=
設存在點E(0,m),則 ,
所以 =
= ……………8分
要使得 (t為常數),
只要 =t,從而(2m2﹣2﹣2t)k2+m2﹣4m+10﹣t=0
即 由(1)得 t=m2﹣1,代入(2)解得m= ,從而t= ,
故存在定點 ,使 恆為定值 .……………12分
21解析:(1)因為 ,所以 ,令 ,得 . 當 時, , 是增函式;當 時, , 是減函式.
所以 在 時取得極大值 ,無極小值. (2)由(1)知,當 時, 單調遞增;當 時, 單調遞減.
又因為 ,
所以當 時,函式 的值域為 . 當 時, 在 上單調,不合題意;當 時, ,
故必須滿足 ,所以 . 此時,當 變化時, 的變化情況如下:
— 0 +
單調減 最小值 單調增
所以 .
所以對任意給定的 ,在區間 上總存在兩個不同的 ,
22.【解析】:(Ⅰ)曲線 的直角座標方程為 ,
曲線 的直角座標方程為 .
若 與 有公共點,則 ,所以 .
(Ⅱ)設 ,由
得 ,
當且僅當 時取最大值,故 的最大值為 .