設計思想：本節需兩課時來講授；教師首先從具體例項中入手，引入總體、個體等相關概念，在從解決實際問題的過程中學會普查與抽樣調查這兩種調查方式。在學習本節過程中，讓學生體會通過樣本瞭解總體的思想方法。
目標：
1．知識與技能：
知道抽樣調查與普查的概念；
明確總體、個體、樣本、樣本容量的概念；
知道抽樣調查是為了瞭解總體情況的一種重要的數學方法；
會用抽樣調查方式選取樣本。
2．過程與方法
經歷抽樣調查選取樣本的方法，體會抽樣調查方法的科學性及實際意義。
3．情感、態度與價值觀
教學重點：理解總體與個體的概念。
教學難點：能分辨問題中哪是考察物件、總體、個體、樣本與樣本容量。瞭解它們之間的區別與聯絡。
教學方法：啟發引導式。
教學媒體：幻燈片。
教學安排：2課時。
教學過程：
第一課時：
Ⅰ。問題情境
師：生活中有許多實際問題需要調查收集資料，並根據資料來作出判斷，但當要調查的物件太多或調查本身具有某種破壞性時，該怎麼辦呢？下面我們來看個例項！2008年，第29屆奧運會將在北京舉辦，游泳、跳水、體操、舉重、設計、羽毛球和乒乓球等都是我國的優越專案。在這些比賽專案中，你最愛看哪項比賽？我們班的同學中，哪個比賽最愛看的人最多？（幻燈片）
：以奧運會為匯入，激發學生們的興趣，讓學生們相互討論，增加課堂氣氛。
Ⅱ。新課講授
師：現在我們統計一下同學們都愛看哪個比賽，我說一個比賽專案，愛看的同學就舉起手。
採用舉手表決的方式進行調查，瞭解全班同學中最愛觀看的比賽專案的人數。將統計結果填入下表：
比賽專案游泳跳水體操]舉重射擊羽毛球乒乓球
最愛看的人數/名
教師總結：同學們，上面我們對咱們全班的同學做了這麼一個調查，那麼，像這種為了特定目的對所有考察物件作的全面調查叫做普查。
生：這只是對我們班做個調查，那如果對我們所在的省（或直轄市、自治區）全體在校七至九年級學生中，各比賽專案最愛看的人數，這樣的我們怎樣進行調查？適合用普查的方式？
師：這位同學的問題很值得我們思考，對這個問題雖然能進行普查，但要普查的人太多了，既費時又費力。現在，我們可以採用這樣的方法，按一定的比例（比如1‰）從各學校抽取一部分人，對這部分人進行調查，得出一個估計結果。
這樣我們又得出幾個新的概念：
我們把所要考察物件的全體叫做總體；把組成總體的每一個考察物件叫做個體。從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查方式叫做抽樣調查，這部分個體叫做總體的一個樣本。樣本中包含個體的數目叫做樣本容量。
師：同學們可以舉例子說明那些算是普查，哪些算是抽樣調查。
生：為了準確掌握我國的人口狀況，需要進行人口普查。人口普查的工作量極大，我國每10年進行一次人口普查，每5年進行一次1%的人口抽樣調查。
師：同學們回答的很好；還有當考察我國的人口年齡構成時，具有中華人民共和國國籍並在中華共和國境內常住的人口的年齡構成總體，個體是符合這一條件的每一個公民的年齡，抽出的符合條件的1%人口的年齡構成一個樣本。當考察全國家庭人口數時，總體是全國所有的家庭的人口數，每個家庭的人口數是一個個體，抽出的部分家庭的人口數構成一個樣本。
同學們根據我們上面所學的知識，現在思考下面的幾個問題：
1．我們可以用什麼方式獲得我們班男生的人數？怎樣獲得全校男生的人數？
2．中央電視臺對第3頻道各欄目收視情況進行調查，最後得出“同一首歌”是最受歡迎的欄目。這個結果是怎麼得到的？
3．能用普查的方式瞭解一批節能燈泡的壽命嗎？
讓學生相互交流，討論。
教師總結：
一般來說，普查能夠得到總體全面、準確地資訊。但有時總體中個體的數目非常大，普查工作量太大，有時受條件限制，無法進行普查；有的調查具有破壞性（如測試一批燈泡的壽命，瞭解炮彈的殺傷力等都是具有破壞性的實驗），不能進行普查，這時，多采用抽樣調查的方式，通過樣本瞭解總體。
Ⅲ。課上練習
課本練習
板書設計：
抽樣調查（1）
一、匯入2。抽樣調查
二、新課講授三、練習
1．普查
第二課時：
Ⅰ。新課講授
課前準備：讓同學們去調查電視臺的體育節目的收視率。
師：我們現在回憶一下上節課我們都學了哪些內容呢？
生：學習過普查和抽樣調查。
師：那這兩種調查方式有什麼區別呢？
生：普查能夠得到總體全面、準確地資訊；有的調查具有破壞性，不能進行普查，這時，多采用抽樣調查的方式。
師：我們課前準備的作業相信大家都完成了，現在我來提問幾名同學：
生甲：我調查了全班40名同學，有10人收看了這個節目。
生乙：我在火車站調查了50人，只有2人收看了這個節目。
生丙：我在爸爸工作的大學調查了100名大學生，其中有40人收看了這個節目。
生丁：我利用網際網路調查，共有200人做了回答，其中有30人收看了這個節目。
師：電視臺自己也對該體育節目按照不同地區、不同年齡和不同的文化背景，特約了1000人進行了調查，其中有95人收看了這個節目。
現在我們把這幾個同學和電視臺的調查結果以及估計的收視率整理成了下表：
調查者生甲生乙生丙生丁電視臺
調查的總人數/名40501002001000
收看某體育節目的人數/名102403095
估計的收視率25%4%40%9。5%
看上面的調查結果，我們一起思考這些問題：
1．為什麼用不同的調查方式得到的收視率差別很大？
2．你認為誰的調查方式代表性較好？
3．抽樣調查應該注意什麼？
4．抽樣調查的優點是什麼？缺點是什麼？
由於條件的限制，對這些問題只能進行抽樣調查。抽樣調查的優點是節省時間，比較經濟。但是，抽樣調查只考察了總體中的一部分個體，其調查結果不如普查準確。為了得到較為準確地結果，調查的個體不能太少，且要具有較好的代表性。可見，上面前四名學生的調查方式不是很好，電視臺的代表性就相對好些。
Ⅱ。出示例題
從某學校九年級100名學生中選擇10名學生，測量他們的肺活量。設計抽樣調查方案，保證每個人被選到的機會均等。
解：給100名學生分別編號為1，2，3，…，100，並將號碼寫在100張卡片上。用下面的方法得到10個號碼，選出對應這10個號碼的學生。
方案1：把卡片裝載一個盒子中，充分混合後，從中抽取10張卡片。
方案2：從1～10號卡片中隨機抽出一張，比如抽到3號，然後再依次取13，23，…，93號，共10個號碼。
方案3：用計算器產生1～100之間的10個隨機數，以這10個數為號碼，如10個隨機數為：
5149228381239744363。
Ⅲ。課上練習
課本練習
板書設計：
抽樣調查（2）
一、講授三、
二、例題
極差導學案
一。學習目標：
1．經歷刻畫資料離散程度的探索過程，感受表示資料離散程度的必要性。
2．掌握極差的概念，理解其統計意義。
3．瞭解極差是刻畫資料離散程度的一個統計量，並在具體情景中加以應用。
二．要點梳理
1。我們已經學習了用、、表示一組資料的集中程度，但發現對一些資料的研究，必須瞭解一組資料的程度。
2。為了體現一組資料的離散程度，我們可以用這組資料的表示。
3。一組資料中與的差叫做這組資料的極差。
一組資料的極差越大，表示離散程度。
一組資料的極差越小，表示離散程度。
三．問題探究
知識點1。感受表示資料離散程度的必要性
例1．人體舒適度預報也叫做體感溫度預報，就是以舒適指數的形式對“舒適”進行數字化定義，用反映不同的溫度環境下人體的舒適感覺。下表顯示的新疆和杭州兩地，在一天內不同時段的氣溫情況：
0：004：008：0012：0016：0020：00
新疆10°c14°c20°c24°c19°c16°c
杭州20°c22°c23°c25°c23°c21°c
（1）分別求出兩地的平均氣溫，並在圖中表示平均氣溫的直線；
（2）同學們大學畢業後，你會選擇那所城市居住？為什麼？
總結：在現實生活中，僅僅比較資料的集中程度是不夠的，如何進一步分析資料，指導我們的生活實踐呢？
知識點2。理解極差的統計意義
例2。觀察上面兩幅折線統計圖，你發現了什麼？
（1）新疆的氣溫的最大值、最小值各是多少？溫差是多少？杭州呢？
（2）什麼樣的指標可以反映一組資料變化範圍的大小？
（3）極差：極差=值—值
（4）極差能夠反映資料的。極差是最簡單的一種度量資料波動情況的量，但它受值的影響較大
【變式】。自動化生產線上，兩臺數控機床同時生產直徑為40。00毫米的零，為了檢驗產品質量，從產品中各抽出10進行測量，結果如下（單位：毫米）．
（1）機床甲的平均數是，機床甲的平均數是。
（2）就所生產的10個零的直徑變化範圍，你認為哪個機床生產的質量好？
四．堂操練
1．極差是指一組資料中和的差，它能反映
2．如果一組資料的最大值為12，極差為20，則這組資料的最小值為
3．資料3，4，2，1，5的平均數為；中位數為；極差為；
4．a+3，a+4，a+2，a+1，a+5的平均數為，中位數為；極差為。
5．一組資料：—1、0、3、5、X的極差是7，那麼X的值可能有個
6．試計算下列兩組資料的極差：
甲組：0，10，5，6，7，8，9，10，5，1
乙組：5，7，4，1，2，8，1，9，5，6
7．給出兩組資料；甲組：10，8，7，7，8：。乙組：9，8，7，7，9，則下列結論正確的是（）
A、平均數相同，甲的極差大於乙的極差
B、平均數相同，乙的極差大於甲的極差
C、平均數和極差都相同
D、平均數不同，但極差一樣
五．後拓展
一、填空題（每題5分，共30分）
1。若一組資料的最小值為12，極差為20，則這組資料的最大值為________；
2。一組資料35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的極差是________。
3。已知一組資料1，2，0，－1，x，1的平均數是1，則這組資料的極差為．
4。對某校同齡的70名女學生的身高進行測量，其中最高的是169？，最矮的是146？，對這組資料進行整理時，可得極差為。
5．若一組資料的最大值為12，極差為20，則這組資料的最小值為_______。
6．近年，義烏市對外貿易快速增長．右圖是根據我市2004年至2007年出口總額繪製的條形統計圖，觀察統計圖可得在這期間我市年出口總額的極差是億美元。
7．一組資料—1，0，3，5，x的極差是10，那麼x的值可能是
8．在本賽季NBA比賽中，姚明最後六場的得分情況如下：17、15、21、
28、12、19，這組資料的極差為．
9．已知一組資料—2。1、—1。9、—1。8、—x、—2。2的平均數為—2，則極差是。
10．若n個數的平均數是4，極差是3，則將這n個數都擴大10倍加2，則這組資料的平均數是，極差是。
11．（2010，常州）一次考試中7名學生的成績（單位：分）如下：61，62，71，78，85，85，92，這7名學生的成績的極差是分，眾數是。
二、選擇題（每空5分，共40分）
12．（2011衢州）在九年級體育會考中，某校某班參加仰臥起坐測試的一組女生（每組8人）測試成績如下（單位：次/分）：44，45，42，48，46，43，47，45。則這組資料的極差為（）
A．2B。4C。6D。8
13．一組資料x、x，…，x的極差是3，則另一組資料3x+1、3x+1…，3x+1的極差是（）
A。8B。16C。9D。17
14．（2011湘潭）資料：1，3，5的平均數與極差分別是（）
A。3，3B。3，4C。2，3D。2，4
15．下列幾個常見統計量中能夠反映一組資料波動範圍的是（）
A。平均數B。中位數C。極差D。眾數
16．一組資料3、—1、0、2、X的極差是9，且x為自然數，則x是（）
A。－6或8B。－6C。12D。8
17．已知資料：2，，3，5，6，5，則這組資料的眾數和極差分別是（）
A．5和7B．6和7C．5和3D．6和3
18．（2011德州）某賽季甲、乙兩名籃球運動員12場比賽得分情況用圖表示如下：
對這兩名運動員的成績進行比較，下列四個結論中，不正確的是（）
A。甲運動員得分的極差大於乙運動員得分的極差
B。甲運動員得分的的中位數大於乙運動員得分的的中位數
C。甲運動員的得分平均數大於乙運動員的得分平均數
D。甲運動員的成績比乙運動員的成績穩定
19．某班抽取6名同學參加體能測試，成績如下：85，95，85，80，80，85．下列表述錯誤的是（）
A．眾數是85B．平均數是85C．中位數是80D．極差是15
20．（2011益陽）“恆盛”超市購進一批大米，大米的標準包裝為每袋30kg，售貨員任選6袋進行了稱重檢驗，超過標準重量的記作“”，不足標準重量的記作“”，他記錄的結果是，，，，，，那麼這6袋大米重量的平均數和極差分別是（）
A．0，1。5B．29。5，1C．30，1。5D．30。5，0
三、解答題（每題5分、共10分）
２1。在一次體檢中，測得某小組5名同學的身高分別是170、162、155、160、168（單位：釐米），則這組資料的極差是多少？
22．試計算下列兩組資料的極差：
A組：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5；
B組：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5．
一元二次方程
一元二次方程是國中數學的重點內容，學好一元二次方程意義深遠。許多同學由於對這一部分內容理解不透，知識掌握不繫統，以致學習中形成很大的學習障礙，常出現畏難情緒。根據筆者的經驗，我們認為學好一元二次方程應注意以下幾個方面。
一、理解一個概念
學一元二次方程，首先要認識一元二次方程，課本中給出的定義是：“在整式方程中，只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是2的方程叫做一元二次方程”。其中包含三個方面的意思：一是方程中只含有一個未知數（未知數唯一），二是未知數的最大指數是2，二次項係數不等於0；三是一元二次方程的整式方程（而非分式方程）。此三者缺一不可，其一般形式為（a≠0）。判斷一個方程是否是一元二次方程，要將方程化為一般式。
例1。下列方程中，是一元二次方程的是（）
A。
B。
C。
D。
分析：方程（A）含有兩個未知數，方程（B）左邊是分式，方程（D）整理後是5x+7=0，是一元一次方程。（答案為C）
例2。關於x的方程是一元二次方程，則m的取值範圍是___________。
解：據一元二次方程定義可知
即。
二、掌握四種解法
一元二次方程的解法是這一部分內容的重點。一元二次方程有四種解法：即直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，其基本思想是降次。四種解法又各有特點，只有準確把握，解方程時才會得心應手。
直接開平方法適宜於解形如的方程；配方法與公式法是通法，適合任何形式的一元二次方程，其中求根公式的條件是。而因式分解法適合的方程是：
一邊為零而另一邊易於分解成兩個一次因式的積的方程（其依據是若ab=0，則a=0，或b=0）。在遇到不同形式的方程時，要根據方程的特點選擇恰當的方法求解。
例3。方程①②③④分別適宜於直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。
三、牢記兩個關係
同學們在學習中要切實把握一元二次方程中的兩個關係：一是一元二次方程根的判別式的值與方程的根的關係：二是一元二次方程的根與係數的關係。一元二次方程的判別式是（用符號表示），當時，方程的根依次是：有兩個不相等的實數根；有兩個相等的實數根；沒有實數根（在實數範圍內無解）；反過來也成立。
學習過程中同學們不僅要能根據判別式的值來確定方程的根的情況，也要學會根據方程的根的情況，結合判別式的值求方程中所含字母的值。
例4。不解方程，判別方程的根的情況。
解：把方程化為一般形式，由知方程無實數根。
例5。求證關於x的方程有兩個不相等的實數根。
分析：由題知，本題是根據方程根的情況來證明判別式的值恆大於0。
證明：∵，
又
∴方程有兩個不相等的實數根。
例6。k取何值時，方程有兩個實數根。
分析：本題是根據方程根的情況，結合判別式值構造含k的不等式。
解：，∵方程有兩個實數根，
一元二次方程的根與係數的關係是：
若（a≠0）的兩個根是；
那麼。
在此我們需要注意的是一元二次方程有實數根是存在以上關係的必要前提，否則不存在，一元二次方程的根與係數的關係應用廣泛。
①求引數值
例7。已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值。
解：設方程另一個根為，則，
例8。已知方程的兩個根的平方和是34，求m的值。
解：由根與係數的關係得，
②求含兩根的代數式的值。
例9。利用根與係數的關係，求一元二次方程的兩根的平方和。
解：設方程兩根為，
則。
③求作新方程
例10。a、b是方程的兩根，不解方程，求作一個新方程，使其兩根為。
解：由題知，
∴新方程為。
例11。已知兩數和為8，積為9，求這兩個數。
解：由題意得，這兩個數是方程
的.兩根，解此方程即得。
四、學會兩個應用
一元二次方程的應用主要有兩個方面：其一是在實數範圍內用公式法分解二次三項式。
例12。把分解因式。
解：方程。
其二是通過列一元二次方程解實際問題：
例13。已知菱形的周長是40，兩對角線比為3：4，求兩對角線的長。
解：由題知菱形的兩對角線的一半的比也是3：4，設兩對角線的一半分別是3x，4x，
則
解得（捨去）。
相似多邊形及其性質
29。6相似多邊形及其性質
教學目標
1。知識與技能
①相似三角形對應高的比，對應角的比，對應叫平分線的比和對應中線的比和相似比的關係。
②利用相似三角形的性質解決一些實際問題。
2。情感與態度
①相似三角形中對應線段的比和相似比的關係，培養學生的探索精神和合作意識。
②通過運用相似三角形的性質，增強學生的應用意識
重點與難點
重點：相似三角形中對應線段比值的推倒，運用相似三角形的性質解決實際問題。
難點：相似三角形的性質的運用。
教學思考
通過例題的分析講解，讓學生感受相似三角形的性質在實際生活中的應用。
解決問題
在理解並掌握相似三角形對應高的比，對應角平分線的比和對應中線的比都等於相似比的過程中，培養學生利用相似三角形的性質解決現實問題的意識和應用能力
教學方法
引導啟發式
課前準備
幻燈片
教學設計
□教師活動□學生活動
一、創設問題情境，引入新課
帶領學生複習相似多邊形的性質及相似三角形的性質，並提出疑問“在兩個相似三角形中，是否只有對應角相等，對應邊成比例這個性質？”從而引導學生探究相似三角形的其他性質。
認真聽課、思考、回答老師提出的問題。
二、新課講解
1、做一做
以實際問題做引例，初步讓學生感知相似三角形對應高的比和相似比的關係。
鉗工小王準備按照比例尺為3∶4的圖紙製作三角形零件，圖紙上的△ABC表示該零件的橫斷面△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的高。
（1），，各等於多少？
（2）△ABC與△A′B′C′相似嗎？如果相似，請說明理由，並指出它們的相似比。
（3）請你在圖4－38中再找出一對相似三角形。
（4）等於多少？你是怎麼做的？與同伴交流。
閱讀課本，弄清題意，根據已有的經驗積極思考，動手操作畫圖，在練習本上作答。
依次回答課本提出的4個問題並加以思考
2、議一議
根據上面的引例讓學生猜測，證明相似三角形對應高的比，對應角平分線的比和對應中線的比都等於相似比。
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比為k。
（1）如果CD和C′D′是它們的對應高，那麼等於多少？
（2）如果CD和C′D′是它們的對應角平分線，那麼等於多少？如果CD和C′D′是它們的對應中線呢？
學生經歷觀察，推證、討論，交流後，獨立回答。
3、教師歸納
相似三角形的性質：
相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等於相似比。
學生理解、熟記。
歸納、類比加深對相似性質的理解
三、課堂練習：
例題講解，利用相似三角形的性質解決一些問題。
如圖所示，在等腰三角形ABC中，底邊BC=60cm，高AD=40cm，四邊形PQRS是正方形。
（1）△ASR與△ABC相似嗎？為什麼？
（2）求正方形PQRS的邊長。
閱讀例題，弄懂題意，然後運用所學知識作答。寫出解題過程。
四、探索活動：
如圖，AD，A’D’分別是△ABC和△A’B’C’的角平分線，且AB：A’B’=BD：B’D’=AD：A’D’，你認為△ABC∽△A’B’C’嗎？
針對此題，學生先獨立思考，然後展開小組討論，充分交流後作答。
五、課時小結
指導學生結合本節課的知識點，對學習過程進行。
本節課主要根據相似三角形的性質和判定判定推導了相似三角形的性質、相似三角形的對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等於相似比。
學生暢所欲言，談學習的，遇到的困難以及獲得的啟發。
六、佈置課後作業：
課後習題節選
獨立完成作業。
板書設計
29。6相似多邊形及其性質
一、1。做一做
2。議一議
3。例題講解
二、課堂練習
三、課時小節
四、課後作業
相似三角形的應用舉例
19。7相似三角形的應用
目的：利用相似三角形的性質解決實際問題．
會考基礎知識
通過證明三角形相似
線段成比例
備考例題指導
例1．如圖，P是△ABC的BC邊上的一個動點，且四邊形ADPE是平行四邊形．
（1）求證：△DBP∽△EPC；
（2）當P點在什麼位置時，SADPE=S△ABC，說明理由．
分析：
（1）證明兩個三角形相似，常用方法是證明兩個角對應相等，題目中有ADPE平行線角相等，命題得證．
（2）設=x，則=1—x，
ADPEDP∥AC，EP∥AB，
△BDP∽△BAC△CPE∽△CBA
∴=（）2=（1—x）2，=（）2=x2
∴=x2+（1—x）2．
∵SADPE=S△ABC，即=．
∴x2+（1—x）2=（轉化為含x的方程）
x=，
即P應為BC之中點．
例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，過點C作CD⊥AB於D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又關於x的方程x2—2（n—1）x+m2—12=0的兩個實數根的差的平方小於192，求m，n為整數時，一次函式y=mx+n的解析式．
分析：這是一個幾何、代數綜合題，由條件發現，建立關於m，n的方程或不等式，求出m，n再寫出一次函式．
抓條件：AC2：BC2=2：1做文章（轉化到m，n上）．
雙直角圖形有相似形比例式（方程）
∠ACB=90°，CD⊥ABRt△BCD∽Rt△BAC
BC2=BD？BA，同理有AC2=AD？AB，
∴==m=2n①
抓條件：x1+x2=8（n—1），x1x2=4（m2—12）．
由（x1—x2）2<192配方（x1+x2）2—4x1x2<192．
64（n—1）2—16（m2—12）<192，
4n2—m2—8n+4<0．②
①代入②n>．
又由△≥0得4（n—1）2—4×（m2—12）≥0，
①代入上式得n≤2．③
由n>，n≤2得<n≤2．
∵n為整數，∴n=1，2．
∴m=2，4
∴y=2x+1，或y=4x+2．
遇根與係數關係題目則用韋達定理，但必須考慮△≥0．
備考鞏固練習
1．如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．關於x的一元二次方程x2—2b（a+）x+（a+b）2=0的兩根之和與兩根之積相等，D為AB上一點，DE∥AC交BC於E，EF⊥AB，垂足是F．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若BF=6，FD=4，CE=CD，求CE的長．
2．某生活小區的居民籌集資金1600元，在一塊上、下底分別為10m，20m的梯形空地上，種植花木如圖1
（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當△AMD地帶種滿花後，共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用．
（2）若其餘地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應選擇種哪種花木，剛好用完後籌集的資金？（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖2），請你設計一個花壇圖案，即在梯形內找到一點P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，並說出你的理由．
3．（1）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點，EF∥AB，且EF交於點F，某學生在研究這一問題時，發現如下事實：
①當=1時，有EF=；②當=2時，有EF=；③當=3時，有EF=．當=k時，參照上述研究結論，請你猜想用k表示DE的一般結論，並給出證明；
（2）現有一塊直角梯形田地ABCD（如圖2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，DC=120cm，AD=70m，若要將這塊分割成兩塊，由兩位農戶來承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等，請你給出具體分割方案．
答案：
1．（1）由x1+x2=x1x2
得2b（a+）=（a+b）2
2ab+c2=a2+b2+2ab
∴△ABC是直角三角形．
∴c2=a2+b2
（2）易證△EFD∽△EDB，
∴EF2=DF？DB=40．設CE=x，則CD=x，
∴DE=（x）2—x2=40x=4．
2．（1）∵四邊形ABCD是梯形（見圖）．
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，∴=（）2=．
∵種植△AMD地帶花帶160元．
∴=2（m2）∴S△OMB=80（m2）
∴△BMC地帶的花費為80×8=640（元）
（2）設△AMD的高為h1，△BMC的高為h2，梯形ABCD的高為h
∵S△AMD=×10h2=20∴h1=4
∵=∴h2=8
∴S梯形ABCD=（AD+BC）？h=×30×12=180
∴S△AMB+S△DMC=180—20—80=80（m2）
∴160+160+80×12=1760（元）
又：160+640+80×10=1600（元）
∴應種值茉莉花剛好用完所籌集的資金．
（3）點P在AD、BC的中垂線上（如圖），
此時，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC
∴△APB≌△DPC．
設△APD的高為x，則△BPC高為（12—x），
∴S△APD=×10x=5x，
S△BPC=×20（12—x）=10（12—x）．
當S△APD=S△BPC即5x=10（12—x）=8．
∴當點P在AD、BC的中垂線上且與AD的距離為8cm時，S△APD=S△BPC．
3．解：（1）猜想得：EF=
證明：過點E作BC的平行線交AB於G，交CD的延長線於H．
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
又EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，∴DH=EF—a，AG=b—EF，
∴=k，可得EF=．
（2）在AD上取一點EF∥AB交BC於點F，
設=k，則EF=，DE=，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，則S梯形ABCD=2S梯形DCFE
∵梯形ABCD、DCEF為直角梯形
∴×70=2×（170+）×，
化簡得12k2—7k—12=0，解得k1=，k2=—（捨去）
九年級數學上冊全冊教案（北師大版）
第一證明（二）（時安排）
1．你能證明它們嗎？3時
2．直角三角形2時
3．線段的垂直平分線2時
4．角平分線1時
1。你能證明它們嗎？（一）
教學目標：
知識與技能目標：
1．瞭解作為證明基礎的幾條公理的內容。
2．掌握證明的基本步驟和書寫格式．
過程與方法
1．經歷“探索——發現——猜想——證明”的過程。
2．能夠用綜合法證明等區三角形的有關性質定理。
情感態度與價值觀
1．啟發、引導學生體會探索結論和證明結論，即合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關係．
2．培養學生合作交流、獨立思考的良好學習習慣．
重點、難點、關鍵
1．重點：探索證明的思路與方法。能運用綜合法證明問題．
2．難點：探究問題的證明思路及方法．
3．關鍵：結合實際事例，採用綜合分析的方法尋找證明的思路．
教學過程：
一、議一議：
1．還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎？
2．你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？
給出公理和定理：
1．等腰三角形兩腰相等，兩個底角相等。
2．等邊三角形三邊相等，三個角都相等，並且每個角都等於延伸．
二、回憶上學期學過的公理
本套教材選用如下命題作為公理：
1。兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行；
2。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；
3。兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等；（SAS）
4。兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等；（ASA）
5。三邊對應相等的兩個三角形全等；（SSS）
6。全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
三、推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（AAS）
證明過程：
已知：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF
求證：△ABC≌△DEF
證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°
（三角形內角和等於180°）
∴∠C=180°—（∠A+∠B）
∠F=180°—（∠D+∠E）
又∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F
又∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
推論等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
隨堂練習：
做教科書第4頁第1，2題。
堂小結：
通過這節的學習你學到了什麼知識？
作業：
1、基礎作業：P5頁習題1。11、2。
1。你能證明它們嗎（二）
教學目標：
知識與技能目標：
掌握證明的基本思路和書寫格式。
過程與方法目標：
經歷觀察——探索——發現的過程，能運用綜合法證明等腰三角形判定定理。
情感態度與價值觀目標：
1．感悟證明的實際意義以及必要性，形成探究意識。
2．結合例項體會反證法的含義，培養逆向思維。
重點、難點、關鍵：
1．重點：掌握證明的常見方法以及書寫推理過程。
2．難點：尋找證明的思路，選擇證明的方法。
3．關鍵掌握綜合分析法，結合公理、定理，依據條、結論進行推斷、猜測，尋求證題的切入點．
教學過程：
一、提出問題，分組活動
（1）請同學們在練習本上畫一個等腰三角形，一個等邊三角形。
（2）在你所畫的等腰（等邊）三角形中作出一些你認為可以通過所學知識證明的相等線段。
二、下面是幾種結論：
（1）等腰三角形兩底角平分線相等。
（2）等腰三角形兩腰上的中線、高線相等。
（3）等腰三角形底邊上的高上任一點到兩腰的距離相等。
（4）等腰三角形兩底邊上的中點到兩腰的距離相等。
（5）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等。
（6）等腰三角形頂點到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等。
1。證明：等腰三角形兩腰上的中線相等。
2、證明：等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等．
三、將推理證明過程書寫出。
問題提出：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？
隨堂練習：
已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC
求證：DB=DE
堂小結：
（1）歸納判定等腰三角形判定有幾種方法，
（2）證明兩條線段相等的方法有哪幾種。
（3）通過這節的學習你學到了什麼知識？瞭解了什麼證明方法？
作業：
1、基礎作業：P9頁習題1。21、2、3。
2、拓展作業：《目標檢測》
3、預習作業：P10—12頁做一做
1。你能證明它們嗎（三）
教學目標：
知識與技能目標：
1．經歷探索等腰三角形成為等邊三角形的條及其推理證明過程．
2．經歷實際操作，探索含有30°角的直角三角形性質及其推理證明過程．
過程與方法目標：
1．經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維．
2．經歷觀察、實驗、猜想、證明的數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理的能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．
3．形成證明一些結論的基本策略，發展學生的實踐能力和創新精神．
情感態度與價值觀目標：
1．積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知慾．
2．在數學活動中獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難的意志，建立自信心．
重點、難點、關鍵：
1．重點：掌握兩個幾何定理，以及推理證明的邏輯思想。
2．難點：滲透分類討論的數學思想，以及輔助殘的應用。
3．關鍵：充分運用綜合分析法分析證明的思路．注意輔助線的新增、輔助圖形的構造。增強數學的分類意識。
教學過程：
一、提出問題：
（1）怎樣判別一個三角形是等使三角形？
（2）一個等腰三角形滿足什麼條時便成為等邊三角形？
（3）你認為有一個角等於的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結論嗎？
二、做一做
用兩塊含角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由。
三、提出問題：通過上述的拼擺，你聯想到什麼？在直角三角形中，角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關係？能證明你的結論嗎？
定理：在直角三角形中，如果一個銳角等於，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
堂小結：
本節是在學習了全等三角形判定、等腰三角形性質、判定以及推論的基礎上進行拓展，通過新舊知識的遷移以及拼擺實驗，直觀地探索出定理：有一個角等於的等腰三角形是等邊三角形．以及定理：在直角三角形中，如果一個銳角等於，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。這兩個定理在簡化幾何步驟，以及計算或證明中起著積極的作用．
作業：
本習題1．31、2、3
2．直角三角形（一）
教學目標：
知識與技能目標：
1．掌握推理證明的方法，發展學生初步的演繹推理能力。
2．進一步掌握推理證明和方法，發展演繹推理能力。
過程與方法目標：
1經歷探索、猜測、證明的過程。學會運用本節定理進行證明。
2．瞭解勾股定理及其逆定理的證明方法。
情感態度與價值觀目標：
1．培養學生綜合分析能力，幾何表達能力和積極主動的參與探索活動的良好習慣，體會數學結論在實際中的應用。
2．結合具體例子瞭解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。
重點、難點、關鍵：
1．重點：掌握推理證明的方法，提高思維能力。
2．難點：對勾股定理、逆定理的推理證明以及對逆命題的敘述。
3．關鍵：把握演繹推理思維，充分運用公理和學過的定理進行論證。對於逆命題問題應通過實際事例讓學生驗證逆命題的正確性。
教學過程：
議一議：
觀察下列三組命題，它們的條和結論之間有怎樣的關係？
如果兩個角是對頂角，那麼它們相等。
如果兩個角相等，那麼它們是對頂角。
如果小明患了肺炎，那麼他一定會發燒。
如果小明發燒，那麼他一定患了肺炎。
三角形中相等的邊所對的角相等。
三角形中相等的角所對的邊相等。
3、關於互逆命題和互逆定理。
（1）在兩個命題中，如果一個命題的條和結論分別是另一個命題的結論和條，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。
（2）一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題。如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。
隨堂練習：
1、寫出命題“如果有兩個有理數相等，那麼它們的平方相等”的逆命題，並判斷是否是真命題。
2、試著舉出一些其它的例子。
3、隨堂練習1
堂小結：
本節你都掌握了哪些內容？
軸對稱變換
25。3軸對稱變換
任務分析
教學目標知識技能1。通過例項認識軸對稱變換，認識軸對稱變換的性質和定義。能利用軸對稱變換的性質作出簡單平面圖形關於一條直線的軸對稱圖形。
2。能嘗試利用軸對稱變換設計圖案。
數學思考用軸對稱變換的方式去認識幾何圖形，並能逐步完成從“具體—抽象—具體”的認知過程。
解決問題1。經歷軸對稱變換的操作、觀察、交流探索軸對稱變換的性質和定義。
2。利用軸對稱變換進行作圖和圖案設計，發展學生用數學的能力。
情感態度1．通過學生親自操作，培養學生的動手能力。
2．通過欣賞和設計圖案，讓學生形成學數學、用數學的意識，並培養學生的創新能力。
重點軸對稱變換性質及利用軸對稱變換作圖。
難點軸對稱變換性質的利用。
流程安排
活動流程圖活動內容和目的
活動1創設情境，引入新課
活動2實踐活動，探求新知：理解軸對稱變換的性質和定義
活動3運用新知：利用軸對稱變換的性質作圖，歸納作圖方法，然後練習鞏固
活動4欣賞利用軸對稱變換設計的圖案，並對學生提出設計要求
活動5課堂小結，佈置作業
創設問題情境，提出問題，讓學生帶著疑問有目的的學習。
經歷操作、觀察、交流、討論，得到各圖例的共同點，從而歸納出軸對稱變換的性質和定義。
作已知三角形關於直線的對稱圖形，進一步理解利用軸對稱變換的性質，掌握軸對稱變換的作圖方法。
讓學生感覺對稱的靜態美及利用軸對稱變換設計圖案過程中的動態美，培養學生欣賞美和創造美的能力。
回顧知識要點，暢談收穫。
教學過程設計
問題與情境師生行為設計意圖
[活動1]
如果只知道軸對稱圖形的一半，你能得到另一半嗎？怎麼得到另一半？
學生欣賞軸對稱圖案思考教師提出的問題，由此引入新課，教師板書課題。
通過創設情境，提出相應問題，給學生思考的空間，也給學生學習本節課指出了方向。
[活動2]
問題1：在一張半透明紙的左邊部分畫一隻左腳印，你怎麼得到相應的右腳印呢？
觀察圖形提問：連線對稱點的線段與對稱軸有什麼關係？
問題2：觀察前四朵花的形成過程後提問：①圖案形成過程中有幾條對稱軸，它們有什麼關係？②如果想得到更多的花，你有什麼方法？
問題3：如果對稱軸的方向和位置發生變化，得到的新圖形與原圖形有哪些相同之處，又有哪些不同之處？
問題4：同學們在紙上畫一個自己喜歡的幾何圖形，將這張紙摺疊，描圖，再開啟，你能得到什麼？如果改變對稱軸的方向再重複，你又能得到什麼？
問題5：以上圖形的變換有什麼共性？從以下幾個方面進行討論：
①新圖形與原圖形的形狀、大小有什麼關係？
②新圖形上的點能在原圖形上找到相應的點嗎？
③連線對應點的線段與對稱
軸有什麼關係？
練習：出示課本圖
問題：這個圖案可以怎麼變換得到？
學生動手畫圖，教師指導，及時調整。
學生觀察所作圖形，思考教師提出的問題。
在學生畫圖過程中，教師應重點關注：
（1）學生如何選取摺痕；
（2）學生如何畫右腳印
教師利用上述方法演示由第一朵花得到第二朵，然後重複這個過程得到四朵花。
學生思考問題後得到：由不同方法可以得到相應圖形。
教師關注重點：學生在思考過中是否找準了對稱軸及它們的關係。
教師先演示對稱軸是鉛直線的情況，然後再演示改變對稱軸進行變換這一情形，學生觀察比較兩次變換的結果並回答提問。
教師重點關注學生對對稱軸的方向和位置的理解。
學生動手畫圖，教師指導、觀察。然後展示學生作品，師生進行評價交流。
教師關注重點：
學生是否改變了對稱軸。
學生通過討論，歸納所得圖形之間的共同特點，教師引導、補充，得到完整的歸納。
教師重點關注：
（1）是否找出了各圖形的共同點。
（2）學生語言敘述的準確性和規範性。教師給出軸對稱變換的定義。
提示學生以不同的部分為原圖形進行軸對稱變換。
通過學生動手，得到相應的右腳印，讓學生經歷軸對稱圖形的形成過程，培養學生的動手能力和觀察能力。
通過觀察由一個圖形得到它的軸對稱圖形的過程，理解軸對稱圖形的變換過程。結合平移變換，把原有知識聯絡起來，體現了前後知識的聯貫。
觀察對稱軸方向和位置的變化對圖形的影響，培養學生的觀察和歸納能力。
通過再次操作，進一步感受對稱軸變化對圖形的影響，培養學生的動手能力。
展示學生作品，讓學生獲得成功的體驗，激發學習的熱情。
通過以上一系列活動過程，培養學生的觀察和歸納能力，把學生對知識的理解由感性認識上升到理性認識。
利用具體的圖例，將抽象的知識具體化。通過多種不同角度的變換，發展學生的發散思維。
[活動3]
思考：如果有一個圖形和一條直線，你如何作出與這個圖形關於這條直線對稱的圖形呢？
結合例1進行分析，並分層提問：
（1）△ABC關於直線l對稱的圖形是什麼形狀？
（2）△ABC的對稱圖形由幾點確定？取△ABC上的哪幾點作其關於直線l的對稱點？
（3）怎樣作一點關於直線l的對稱點？
練習：1、2兩題
教師出示例1，師生雙方共同分析。
學生思考問題，並結合軸對稱變換的性質指出作圖的依據。
師生共同作出圖形後，通過摺疊方法驗證。然後歸納作圖方法。並強調作圖關鍵：找特殊點的對稱點。
在作圖的過程中，教師重點關注：
（1）在△ABC上，是否取的三個頂點；
（2）是否掌握了作一點關於直線的對稱點的方法；
（3）作圖的規範性。
分步設問，既降低了難度，也便於學生掌握作圖方法。
通過作圖，鞏固了軸對稱變換的性質，更體現了數學的學與用的結合，
通過練習，鞏固所學知識，及時反饋。
[活動4]
（1）欣賞由軸對稱變換得到的圖案。
（2）同學們，聰明的你們也可以利用軸對稱變換設計出很多美麗的圖案，你們一定能行。
學生先欣賞圖案，然後給學生提出作業要求（可以結合我們學過的平移變換。）
讓學生在欣賞中感受美，在創作設計中創造美，並培養學生的動手能力和創新意識。
[活動5]
通過這節課的學習，你有哪些收穫？
佈置作業：（1）第1題、第8題；（2）利用軸對稱變換設計圖案。
教師引導學生從知識、方法和應用等方面方面歸納小結。
讓學生對軸對換變換的認識系統化，條理化。
