實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進位制或二進位制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數的'補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。這裡給出其中一種，其他方法請詳見實數的構造。
公理的方法設 R 是所有實數的集合，則：
集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。
域 R 是個有序域，即存在全序關係≥ ，對所有實數 x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠)，若 S 在 R 內有上界，那麼 S 在 R 內有上確界。
最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於 2 的有理數的集合存在有理數上界，如 1.5;但是不存在有理數上確界(因為 √2 不是有理數)。
實數通過上述性質唯一確定。更準確的說，給定任意兩個有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。
相關性質基本運算
實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數(即正數和0)還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除(除數不為零)、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。
