容斥原理、餘數問題
小升中奧數知識點講解：餘數問題
一、同餘的定義：
①若兩個整數a、b除以的`餘數相同，則稱a、b對於模同餘。
②已知三個整數a、b、，如果|a-b，就稱a、b對於模同餘，記作a≡b(d )，讀作a同餘於b模。
二、同餘的性質：
①自身性：a≡a(d )；
②對稱性：若a≡b(d )，則b≡a(d )；
③傳遞性：若a≡b(d )，b≡c(d )，則a≡ c(d )；
④和差性：若a≡b(d )，c≡d(d )，則a+c≡b+d(d )，a-c≡b-d(d )；
⑤相乘性：若a≡ b(d )，c≡d(d )，則a×c≡ b×d(d )；
⑥乘方性：若a≡b(d )，則an≡bn(d )；
⑦同倍性:若a≡ b(d )，整數c，則a×c≡ b×c(d ×c)；
三、關於乘方的預備知識：
①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除後的餘數特徵：
①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(d 9)或（d 3）；
②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡-X或M≡11-（X-）(d 11)；
五、費爾馬小定理：
如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(d p)。
