八年級年級下學年數學期末備考知識點
第四章相似圖形
一.線段的比
1.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那麼就說這兩條線段的比AB:CD=m:n,或寫成
ABmn
.
abcd
2.四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等於c與d的比,即b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
,那麼這四條線段a、
3.注意點:①a:b=k,說明a是b的k倍;②由於線段a、b的長度都是正數,所以k是正數;③比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,
ab
與
ba
互為倒數;⑤比例的基本性質:若
ab
cd
,則ad=bc;若ad=bc,則
ab
cd
二.黃金分割
1.如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果
ACAB
BCAC
,那麼稱線段AB被點C
黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.
_A
6
圖1_
_C
_B
AC:AB51
20.618:1
2.黃金分割點是最優美、最令人賞心悅目的.點.
四.相似多邊形
1.一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.
2.對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
五.相似三角形
1.在相似多邊形中,最為簡單的就是相似三角形.
2.對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.
3.全等三角形是相似三角形的特例,這時相似比等於1.注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.
4.相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比.
5.相似三角形周長的比等於相似比.
6.相似三角形面積的比等於相似比的平方.
六.探索三角形相似的條件
1.相似三角形的判定方法:
基本定理:平行於三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相
交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.
2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
如圖2,l1//l2//l3,則
7圖2_ABDEBCEF._l_1_l_2_l_33.平行於三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.
八.相似的多邊形的性質
相似多邊形的周長等於相似比;面積比等於相似比的平方.
九.圖形的放大與縮小
1.如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過同一點,那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形;這個點叫做位似中心;這時的相似比又稱為位似比.
2.位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於位似比.
3.位似變換:①變換後的圖形,不僅與原圖相似,而且對應頂點的連線相交於一點,並且對應點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心.②一個圖形經過位似變換後得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.
