一、幾何代數化思想的由來
數學的發展是以數和形兩個基本概念作為主幹的，數學思想方法的各種變革也是通過這兩個概念進行的。在數學的萌芽時期，數和形的研究並不是互相割裂的，長度、面積和體積的量度把數和形緊密地聯絡起來。可是，在爾後的數學發展中，數和形的聯絡卻長期沒能得到進一步的深化。這突出表現在幾何和代數的不協調性發展上。
我們知道，幾何學作為一門獨立的數學學科，最先是在古希臘學者手中形成的，歐幾里得《幾何原本》的問世就是重要的標誌。那時，代數尚處於潛科學階段，尚未形成嚴謹的邏輯體系，只是以零散、片斷的知識形態存在著。因此，從公元前3世紀到14世紀，幾何學在數學中佔據著主導地位，而代數則處於從屬的地位。由於幾何學有著嚴謹的推理方法和直觀的圖形，可以把種種空間性質、圖形關係問題的探討，歸結成一系列基本概念和基本命題來推演、論證，所以數學家們大都喜歡運用幾何思維方式來處理數學問題，甚至把代數看成是與幾何不相干的學科。這種人為的割裂，不僅延誤了代數的發展，也影響了幾何學的進步。
隨著數學研究範圍的擴大，用幾何方法來解決數學問題越來越困難，因為許多問題特別是證明問題往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、論證的步驟又顯得相當繁難，缺乏一般性方法。正當幾何學難於深入進展時，代數學日趨成熟起來。尤其是在16世紀代數學得到突破性進展，不僅形成了一整套簡明的字母符號，而且成功地解決了二次、三次、四次方程的求根問題。這就使代數學在數學中的地位逐漸得到上升，於是綜合幾何思維佔統治地位的局面開始被打破。
歷史上最先明確認識到代數力量的是16世紀法國數學家韋達。他嘗試用代數方法來解決幾何作圖問題，並隱約出現了用方程表示曲線的思想。他指出，幾何作圖中線段的加減乘除可以通過代數的術語表出，所以它們實質上屬於代數的運算。隨著代數方法向幾何學的滲透，代數方法的普遍性優點日益表露出來，於是用代數方法來改造傳統的綜合幾何思維，把代數和幾何有機結合起來，互相取長補短，便成為十分必要的了。
實現代數與幾何有機結合的關鍵，在於空間幾何結構的數量化，即把形與數統一起來。這一項工作是由法國數學家笛卡兒完成的。笛卡兒繼承和發展了韋達等人的先進數學思想，他充分看到代數思想的靈活性和方法的普遍性，為尋求一種能夠把代數全面應用到幾何中去的新方法思考了二十多年。1619年，他悟出建立新方法的關鍵，在於藉助座標系建立起平面上的點和數對之間的對應關係，由此可用方程來表示曲線。1637年，他的《幾何學》作為《方法論》一書的附錄出版，在這個附錄中，他明確提出了座標幾何的思想，並用於解決許多幾何問題。此書的問世，標誌著解析幾何的誕生。與笛卡兒同一時代、同一國度的另一位數學家費爾馬，也幾乎同時獨立地發現瞭解析幾何的基本原理。他的思想集中體現在他的《軌跡引論》一書中。
解析幾何的出現開創了幾何代數化的新時代，它藉助座標實現了空間幾何結構的數量化，由此把形與數、幾何與代數統一了起來。而座標本身就是幾何代數化的產物，是點與數的統一體，它既是點的位置的數量關係表現，又是數量關係的幾何直觀，因此它具有形與數的二重性。有了座標概念，就可以把空間形式的研究轉化為數量關係的研究了。
例如，求兩點間的距離，如果兩點的座標(x1，y1)和(x2，y2) 何學上兩點之間的測量問題就轉化成代數學上求一個代數式的值的問題。
再如，求兩條曲線的交點，這是幾何學中比較困難的一個問題，如果兩條曲線的方程給定，那麼通過解聯立方程組就可求出交點的位置，因為方程組的解恰是二條曲線交點的座標。
隨著解析幾何的發展，幾何代數的內容和方法不斷得到豐富。1704年，牛頓運用座標方法研究了三次曲線，1748年，尤拉在《分析引論》一書中全面而系統地論述了平面解析幾何的理論;1788年，拉格朗日又把力、速度和加速度給予了算術化，由此開創瞭解析幾何中的向量理論研究方向。與此同時，座標概念本身也在不斷地豐富，除直角座標系外，又相繼產生了斜座標、極座標、柱座標和球座標。座標系也從二維擴充套件到三維以及多維和無窮維，從而又出現了多維解析幾何和無窮維解析幾何。由此又導致了代數幾何和泛函分析的產生。
二、幾何代數化的意義
幾何代數化對於數學的發展有著重要的意義，這裡僅就幾個方面加以分析。
1.把幾何學推到一個新的階段
幾何代數化不僅為幾何學提供了新方法，使許多難以解決的幾何問題變得簡單易解，更重要的是為幾何學發展注入了新的活力，增添了嶄新的內容。
首先，傳統幾何學的邏輯基礎主要是推理，基本上是定性研究，如直線的平行性、曲線的相交、圖形的全等等。幾何代數化的出現，使得圖形性質的研究變成方程的討論和求解，而方程的研究又主要是數量上的分析，這就把幾何學從定性研究階段推到定量分析階段。
其次，在傳統幾何學中，空間概念是在人們的社會實踐活動中逐漸抽象和確立起來，這種空間概念具有明顯的直觀性和經驗性，如一維的直線、二維的平面和三維的立體。幾何代數化的出現，使得空間的幾何結構實現了數量化，而數量化了的空間幾何結構已不再侷限於一維、二維和三維，它可以是n維以至無窮維的，這就把幾何學的空間概念從低維擴張到了高維，即把幾何學研究的內容從現實空間圖形的性質擴充套件到抽象空間圖形的性質。
第三，傳統幾何學主要研究固定不變的圖形，如各種各樣的直線形和曲線形，這些圖形雖然可以移動和相互變換，但圖形本身的結構卻是“死”的，即傳統幾何學是一種靜態幾何學。幾何代數化的出現，使得曲線變成了具有某種特定性質的點的軌跡，即可把曲線看作是由“點”通過運動而生成的，這就使人們對形的認識由靜態發展到了動態。
2.為代數學研究提供了新的工具
幾何代數化不僅直接影響和改造了傳統的幾何學，擴大了幾何學的研究物件，豐富和發展了幾何學的思想方法，而且也使代數學獲得了新的生命力。
首先，幾何學的概念和術語進入代數學，使許多代數課題具有了直觀性。我們知道，和幾何學相比，代數學具有更高的抽象性，許多抽象的代數式和方程使人難以把握它們的現實意義。幾何代數化的出現，為抽象的代數式和方程提供了形象而直觀的`模型。如可把方程的解看作是曲線的交點的座標，可把二次方程根與係數關係的研究轉化為考察和分析圓錐曲線與座標軸的相對位置。
其次，幾何學思想方法向代數學的移植和滲透，開拓了代數學新的研究領域。如以線性方程（一次方程）為主要物件的線性代數，就是線上性空間概念的基礎上構造起來的，這裡的“線性”、“空間”等概念並不是代數學本身所固有的，而是從幾何學中借用的。
3.為微積分的創立準備了必要條件
幾何代數化思想形成的標誌是解析幾何的創立，笛卡兒在創立解析幾何過程中，不僅提出了代數與幾何相結合的思想，而且把變數引進了數學。變數的引進，對於數學的發展有著極為重要的意義，特別是為微積分的創立準備了重要工具，加速了微積分形成的歷史程序。從這種意義上看，可把解析幾何的產生看作是微積分創立的前奏。對此，恩格斯曾高度評價：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了”。
4.為數學的機械化證明提供了重要啟示
定理的機械化證明，是現代數學新興的一個研究領域，從機械化演算法上看，它的方法論基礎是利用代數方法把推理程式機械化。因此，定理機械化證明的思想淵源可追溯到幾何的代數化。關於這一點，我們在6中還要詳細介紹。
此外，幾何代數化的思想還給數學研究從方法論上提供了許多重要啟示。如數學家們把點與數對、曲線與方程相對應的思想加以發展，提出了函式與點、函式集與空間相對應的思想，在此基礎上進而創立了泛函分析這一新的理論。
數學思想方法的重大突破 從常量數學到變數數學
文章摘要：17世紀對於數學發展具有重大意義的事件，除了解析幾何開闢了幾何代數化這一新的方向外，還有微積分的創立使常量數學過渡到變數數學。從常量數學到變數數學，是數學思想方法的又一次重大突破。
【編者按】數學的發展並不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數學本身許多根本的變化，也即質的飛躍。歷史上發生的數學思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點。
17世紀對於數學發展具有重大意義的事件，除了解析幾何開闢了幾何代數化這一新的方向外，還有微積分的創立使常量數學過渡到變數數學。從常量數學到變數數學，是數學思想方法的又一次重大突破。
一、變數數學產生的歷史背景
變數數學是相對常量數學而言的數學領域。常量數學的物件主要是固定不變的圖形和數量，它包括算術、初等代數、初等幾何和三角等分支學科。常量數學是描述靜態事物的有力工具，可是，對於描述事物的運動和變化卻是無能為力的。因此，從常量數學發展到變數數學，就成為歷史的必然了。
變數數學之所以產生於17世紀，是有其特定的歷史背景的。
從自然科學的發展來看，變數數學是在回答16、17世紀自然科學提出的大量數學問題過程中，醞釀和創立起來的。我們知道，隨著歐洲封建社會的解體和資本主義工廠手工業向機器大生產的過渡，自然科學開始從神學的桎梏下解放出來，大踏步地前進。這時，社會生產和自然科學向數學提出了一系列與運動變化有關的新問題。這些新問題，大體可以分為以下五種型別。
第一類問題是描述非勻速運動物體的軌跡。如行星繞日運動的軌跡、各種拋射物體的運動軌跡。
第二類問題是求變速運動物體的速度、加速度和路程。如已知變速運動物體在某段時間內經過的路程，求物體在任意時刻的速度和加速度，或反過來由速度求路程。
第三類問題是求曲線在任一點的切線。如光線在曲面上的反射角問題，運動物體在其軌跡上任一點的運動方向問題。
第四類問題是求變數的極值。如斜拋物體的最大水平距離問題，行星繞日運動的近日點和遠日點問題。
第五類問題是計算曲線長度、曲邊形面積、曲面體體積、物體的重心以及大質量物體之間的引力等。
上述各類問題儘管內容和提法不同，但從思想方法上看，它們有一個共同的特徵，就是要求研究變數及其相互關係。這是16、17世紀數學研究的中心課題，正是對這個中心課題的深入研究，最終導致了變數數學的產生。
從數學的發展來看，變數數學的基礎理論-微積分，早在微積分誕生之前的二千多年，就已經有了它的思想萌芽。
公元前5世紀，希臘學者德漠克利特為解決不可公度問題，創立起數學的原子論。它的基本思想是：直線可分為若干小線段，小線段又可再分更小的線段，直至成為點而不可再分，故稱點為直線的數學原子即不可分量。平面圖形同樣可以如此分下去，使得線段成為平面圖形的數學原子。利用數學原子概念，德漠克利特求得錐體的體積等於等底等高圓柱的1/3.
公元前4世紀，希臘學者歐道克斯在前人工作的基礎上，創立了求曲邊形面積和曲面體體積的一般方法-窮竭法。運用此法，他成功地證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”和“球體積與其直徑的立方成比例”等命題。
微積分的早期先驅者主要是阿基米德，他繼承和發展了窮竭法，並應用這一方法解決了諸如拋物線弓形等許多複雜的曲邊形面積。繼阿基米德之後，微積分的思想方法逐漸成熟起來，其中作出重大貢獻的有開普勒、伽利略、卡瓦列利、華利斯、笛卡兒、費爾馬和巴羅等人。巴羅甚至接觸到了微積分的基本原理-微分和積分的互逆關係。
總之，變數數學的產生不僅有其特定的生產和自然科學背景，而且也是數學自身矛盾運動的必然結果。它是經過相當長時間的醞釀，在16、17世紀生產和自然科學需要的刺激下，經過許多人的努力而準備好由“潛”到“顯”過渡的條件的。
二、變數數學的創始及其意義
變數數學由“潛”到“顯”的過渡經歷了兩個具有決定性的重大步驟：一是解析幾何的產生，二是微積分的創立。前者為變數數學的創始提供了直接的前提，後者是變數數學創始的主要標誌。
微積分的主要創始人是牛頓和萊布尼茨。他們最大的功績是明確地提出了微分法和積分法，並把兩者有機結合起來，建立了微積分的基本原理（牛頓-萊布尼茨公式）。
牛頓主要是從運動學來研究和建立微積分的。他的微積分思想最早出現在1665年5月20日的一頁檔案中，這一天可做為微積分誕生的日子。他稱連續的變數為“流動量”，用符號x、y、z等字母表示，稱它們的導數為“流數”，用加小點的字母來表示，如x、y、z等，稱微分為“瞬”。
萊布尼茨是從幾何學的角度創立微積分的。他的微積分思想最先出現在1675年的手稿之中，他所發明的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，對微積分後來的發展有重大的影響。現今通用的符號dx、dy、∫等，就是萊布尼茨當年精心選擇和創設的。
繼牛頓和萊布尼茨之後，18世紀對微積分的創立和發展作出卓越貢獻的有尤拉、伯努利家族、泰勒、馬克勞林、達朗貝爾、拉格朗日等人。17、18世紀的數學，幾乎讓微積分佔據了主導地位，絕大部分的數學家都被這一新興的學科所吸引，可見微積分產生意義之重大。
變數數學創始的兩個決定性步驟都是在17世紀完成的，因此17世紀也就成了常量數學向變數數學轉變的時期。變數數學的產生，是數學史乃至整個科學史的一件大事。它來自於生產技術、自然科學發展的需要以及數學自身的矛盾運動，又回過頭來對生產技術、自然科學以及數學自身的發展產生巨大而深遠的影響。
首先，變數數學的產生，為自然科學描述現實世界的各種運動和變化提供了有效的工具。我們知道，在現實世界中，“靜”和“不變”總是暫時的、相對的，“動”和“變”則是永恆的、絕對的。“整個自然界，從最小的東西到最大的東西，從沙粒到太陽，從原生生物到人，都處於永恆的產生和消滅中，處於不斷的流動中，處於無休止的運動和變化中。”可見，自然科學的物件是運動變化著的物質世界，變數數學的產生，為自然科學精確地描述物質世界的運動、變化規律提供了不可缺少的工具。變數數學對於現代生產技術、自然科學的發展，就像望遠鏡對於天文學、顯微鏡對於生物學的發展一樣重要。假設沒有變數數學，現代物質文明建設將是不可想象的事。
其次，變數數學的產生，帶來了數學自身的巨大進步。變數數學是從常量數學發展的基礎上出現的，它的產生又反過來深深影響了常量數學的發展，特別是常量數學的各個分支學科由於變數數學的滲透而在內容上得到極大的豐富，在思想方法上發生一連串深刻的變革，並由此產生出許多新的分支學科。解析數論和微分幾何等分支學科，就是變數數學的思想方法向傳統數論和傳統幾何滲透的產物。就變數數學本身而言，由於它在生產技術和自然科學中有著廣泛的應用，所以它一產生出來就得到蓬勃而迅速的發展，並由此相繼派生出許多新的分支學科，逐漸形成一個龐大的體系，如級數論、常微分方程論、偏微分方程論、差分學、複變函式論、實變函式論、積分方程、泛函分析等。總之，變數數學無論從內容、思想方法上，還是從應用的範圍上，很快就在整個數學中佔據了主導地位，長時期以來一直規定和影響著近、現代數學發展的方向。
此外，變數數學的產生還有著深遠的哲學意義。眾所周知，變數數學的許多基本概念，諸如變數、函式、導數和微分，以及微分法和積分法，從哲學上看，不外是辯證法在數學中的運用，而且是辯證法在數學中取得的一次根本性勝利。正因為如此，革命導師馬克思和恩格斯十分重視微積分概念和運算的歷史演變，並對其進行了深刻而精闢的哲學分析。馬克思在他的《數學手稿》中，運用唯物辯證法的基本觀點，詳細考察了微積分思想的歷史演變過程，深刻揭示了微分概念和運算的辯證實質，還總結分析了不同學術觀點的論爭對於微分學發展的積極作用。恩格斯在他的《自然辯證法》一書中，闡述了微積分產生的重大意義，指出“在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”他還針對微積分概念的“神祕性”，給出了微積分概念直觀的現實原型，指出“自然界運用這些微分即分子時所使用的方式和所依據的規律，完全和數學運用其抽象的微分時的方式和規律相同。”由此可見，變數數學的產生使數學更加成為“辯證的輔助工具和表現方式”，又一次為辯證法的普適性從數學上提供了生動而有力的例證。
數學思想方法的重大突破 從必然數學到或然數學
文章摘要：在現實世界中存在著兩類性質截然不同的現象：一類是必然現象，另一類是或然現象。描述和研究必然現象的量及其關係的數學部分，稱為必然數學；描述和研究或然現象的量及其關係的數學部分，稱為或然數學。從必然數學到或然數學，是數學研究物件的一次顯著擴張，也是數學思想方法的又一次重大突破。…
【編者按】數學的發展並不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數學本身許多根本的變化，也即質的飛躍。歷史上發生的數學思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點。
在現實世界中存在著兩類性質截然不同的現象：一類是必然現象，另一類是或然現象。描述和研究必然現象的量及其關係的數學部分，稱為必然數學；描述和研究或然現象的量及其關係的數學部分，稱為或然數學。從必然數學到或然數學，是數學研究物件的一次顯著擴張，也是數學思想方法的又一次重大突破。
一、或然數學的現實基礎
或然數學的物件是或然現象。所謂或然現象，是指這樣的一類現象：它在一定條件下可能會引起某種結果，也可能不引起這種結果。也就是說，在或然現象中，條件和結果之間不存在必然性的聯絡。例如，投擲一枚硬幣，可能出現正面，也可能出現反面。
與或然現象不同，在必然現象中，只要條件具備，某種結果就一定會發生，即條件和結果之間存在著必然性聯絡。因此，對於必然現象，可由條件預知結果如何。這一點正是必然數學的現實基礎。例如，當我們用微分方程來定量描述某些必然現象的運動和變化過程時，只要建立起相應的微分方程式，並給定問題的初始條件，就可以通過求解微分方程預知未來某時刻這種現象的狀態。19世紀英國天文學家亞當斯藉助微分方程預言海王星的存在及其在天空中的位置，就是典型的一例。
由於或然現象的條件和結果之間不存在必然性的聯絡，因此無法用必然數學來加以精確的定量描述。例如，投擲一枚質量均勻的硬幣，要想預先準確計算出它一定會出現正面或一定會出現反面，是不可能的。但是，這並不意味著或然現象不存在著數量規律，也不意味著不能從量上來描述和研究或然現象的規律。
從表面上看，或然現象是雜亂無章的，無任何規律可談，但如果仔細考察，就會發現當同類的或然現象大量重複出現時，它在總體上將會呈現出某種規律性。
例如，一個充有有量氣體分子的容器，就單個分子而言，它的運動速度和方向帶有明顯的或然性，每個分子對器壁的壓力大小也具有或然性，因而難以對“速度”、“壓力”作以定量分析。然而，實踐卻表明，就全體分子對器壁的壓力而言，器壁所受的總壓力卻是一個確定的值，即大量氣體分子的運動在總體上呈現出一種規律性。同樣，當多次重複地投擲一枚質量均勻的硬幣時，將會發現出現正面的次數與總投擲次數之比總是在1/2左右擺，而且隨著投擲次數的增加，這個比越來越接近1/2.
大量同類或然現象所呈現出來的集體規律性，叫做統計規律性。這種統計規律性的存在，就是或然數學的現實基礎。
統計規律性是基於大量或然現象而言的。這裡的“大量”包含兩層意思：其一是某一或然現象在相同的條件下多次甚至無限地重複出現，如多次投擲硬幣，連續發射炮彈，連日觀測氣溫等。其二是眾多的同類或然現象同時發生，如容器內的氣體分子，電子束中的電子，小麥的催芽試驗等。
由於統計規律是一種巨集觀性的、總體性的規律，不同於單個事物或現象表現出那種“微觀性”的規律，因此或然數學在研究方法上有其自身的特殊性。統計方法就是它的一種基本研究方法。統計方法的基本思想是：從一組樣本分析、判斷整個物件系統的性質和特徵。統計方法的邏輯依據是“由區域性到整體”、“由特殊到一般”，是歸納推理在數學上的一種具體應用。
二、或然數學的產生和發展
概率論是或然數學的一門基礎理論，也是歷史上最先出現的或然數學的分支學科。它的創立可作為或然數學產生的標誌。
概率論創立於17世紀，但它的思想萌芽至少可追溯到16世紀。在自然界和社會生活中存在著各種各類的或然現象，但最先引起數學家們注意的則是中的問題。16世紀義大利數學家卡當曾計算過擲兩顆或三顆骰子時，在所有可能方法中有多少種方法能得到某一預想的總點數。他的研究成果集中體現在他的《論》一書中。由於中的概率問題最為典型，因此，從這類問題著手研究或然現象的數量規律，便成為當時數學研究的一個重要課題。
促使概率論產生的直接動力是社會保險事業的需要。17世紀資本主義工業與商業的興起和發展，使社會保險事業應運而生。這就刺激了數學家們對概率問題研究的興趣，因為保險公司需要計算各種意外事件發生的概率，如火災、水災和死亡等。由於概率論的思想與方法在保險理論、人口統計、射擊理論、財政預算、產品檢驗以及醫學、物理學和天文學中有著廣泛的應用，因此，它很快就成為許多數學家認真探討的一個研究領域。作為數學的一個分支學科，它是經17世紀許多數學家之手創立起來的。其中作出突出貢獻的有帕斯卡、費爾馬、惠更斯和雅各·伯努利等人。
概率論的許多重要定理是在18世紀提出和建立起來的。例如，棣美佛在他的《機會的學問》一書中，提出了著名的“棣美佛—拉普拉斯中心極限定理”的一種特殊情況。拉普拉斯提出了這一定理的一般情況，他撰寫的兩部著作《分析概率論》和《概率的哲學探討》，具有重要的理論和應用價值。蒲豐在其《或然算術試驗》一書中，提出了有名的“蒲豐問題”，對這一問題的研究，後來導致了著名的蒙特卡洛方法的產生。高斯和泊松也對概率論作出了重要貢獻，高斯奠定了最小二乘法和誤差理論的基礎，泊松提出了一種重要的概率分佈—泊松分佈。
從19世紀末開始，隨著生產和科學技術中的概率問題的大量出現，概率論得到迅速發展，並不斷地派生出一系列新的分支理論。俄國的馬爾科夫創立的馬爾科夫過程論，在原子物理、理論物理、化學和公共事業等方面有著廣泛的應用。此外，還有平穩隨機過程論、隨機微分方程論、多元分析、試驗分析、概率邏輯、數理統計、統計物理學、統計生物學、統計醫學等等。目前，或然數學已成為具有眾多分支的龐大數學部門，它仍處在發展之中，它的理論和方法在科學技術、工農業生產、國防和國民經濟各部門日益得到更加廣泛的應用。
數學思想方法的重大突破 從明晰數學到模糊數學
文章摘要：20世紀60年代，隨著現代科學技術的發展，數學領域又產生出了一支新秀-模糊數學。模糊數學無論在研究物件還是在思想方法上，都與已有的數學有著質的不同。它的產生不僅極大地拓展了數學的研究範圍，而且帶來了數學思想方法的一次重大突破。…
【編者按】數學的發展並不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數學本身許多根本的變化，也即質的飛躍。歷史上發生的數學思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點。
20世紀60年代，隨著現代科學技術的發展，數學領域又產生出了一支新秀-模糊數學。模糊數學無論在研究物件還是在思想方法上，都與已有的數學有著質的不同。它的產生不僅極大地拓展了數學的研究範圍，而且帶來了數學思想方法的一次重大突破。
一、模糊數學產生的背景
模糊數學是在特定的歷史背景中產生的，它是數學適應現代科學技術需要的產物。
首先，現實世界中存在著大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數學工具。我們知道，現實世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實踐表明，在自然界、生產、科學技術以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現實世界事物和現象的狀態反映，在量上是沒有明晰界限的。
模糊數學產生之前的數學，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用於描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結果符合實際。因此，隨著社會實踐的深化和科學技術的發展，對“模糊”數學方法進行研究也就成為十分必要的了。
其次，電子計算機的發展為模糊數學的誕生準備了搖籃。自本世紀40年代電子計算機問世以來，電子計算機在生產、科學技術各領域的應用日益廣泛。電子計算機發展的一個重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統、航天系統以及各種複雜的社會系統。而人腦本身就是一種極其複雜的系統。人腦中的思維活動之所以具有高度的靈活性，能夠應付複雜多變的環境，一個重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時在起作用。一般說來，邏輯思維活動可用明晰數學來描述和刻畫，而非邏輯思維活動卻具有很大的模糊性，無法用明晰數學來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎的電子計算機，也就無法真實地模擬人腦的思維活動，自然也就不具備人腦處理複雜問題的能力。這對電子計算機特別是人工智慧的發展，無疑是一個極大的障礙。為了把人的自然語言演算法化並編入程式，讓電子計算機能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為複雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關係的數學理論。這就是模糊數學產生的直接背景。
模糊數學的創立者是美國加利福尼亞大學的札德教授。為了改進和提高電子計算機的功能，他認真研究了傳統數學的基礎-集合論。他認為，要想從根本上解決電子計算機發展與數學工具侷限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數學這一新的數學領域。
二、模糊數學的理論基礎
明晰數學的理論基礎是普通集合論，模糊數學的理論基礎則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數學的。
模糊集合論與普通集合論的根本區別，在於兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對於這種集合，一個事物與它有著明確的隸屬關係，要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合，兩者必居其一，不可模稜兩可。如果用函式關係式表示，可寫成
這裡的A(u)稱為集合A的特徵函式。特徵函式的邏輯基礎是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態的定量描述，但不能用於刻劃某些事物在中介過渡時所呈現出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個年齡為50歲的人，我們拿不出什麼令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的侷限之所在。
與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎是多值邏輯。對於這種集合，一個事物與它沒有“屬於”或“不屬於”這種絕對分明的隸屬關係，因而也就不能用特徵函式A(u)來描述。那麼，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質和特徵呢?模糊集合論的創立者札德給出了隸屬函式的概念，用以代替普通集合論中的特徵函式概念。隸屬函式的實質，是將特徵函式由二值{0，1｝推廣到[0，1]閉區間上的任意值。通常把隸屬函式表示為μ(u)，它滿足
0≤μ(u)≤1（或記作μ(u)∈[0，1]）
有了隸屬函式概念，就可給模糊集合下一個準確的定義了。札德在1965年的論文中給出瞭如下的定義：
隸屬函式的選取是一個較為複雜的問題，目前還沒有一個固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達形式。在許多情況下，它是憑藉經驗或統計分析確定的。
例如，某小組有五名同學，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現在取為由“性格穩重”的同學組成的集合，顯然這是一個模糊集合。為確定每個同學隸屬於的程度，我們分別給每個同學的性格穩重程度打分，按百分制給分，再除以100.
這裡實際上就是求隸屬函式，如果打分的結果是
u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分
那麼隸屬函式的值應是
可表示為
還可表示為
或
普通集合與模糊集合有著內在的聯絡，這可由特徵函式A(u)和隸屬函式的關係來分析。事實上，當隸屬函式只取[0,1]閉區間的兩端點值0，1時，隸屬函式也就退化為特徵函式A(u)，從而模糊子集也就轉化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區別，又相互聯結，而且在一定條件下相互轉化。正因為有此內在的聯絡，決定了模糊數學可以廣泛地使用明晰數學的方法，從明晰數學到模糊數學存在著由此達彼的橋樑。
模糊數學作為一門新興的數學學科，雖然它的歷史很短，但由於它是在現代科學技術迫切需要下應運而生的，因而對於它的研究，無論是基礎理論還是實際應用，都得到了迅速的發展。
就其基礎理論而言，模糊數學研究的課題已涉及到廣泛的範圍，如模糊數、模糊關係、模糊矩陣、模糊圖、模糊對映和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。
在應用方面，模糊數學的思想與方法正在廣泛滲透到科學和技術的各個領域，如物理學、化學、生物學、醫學、心理學、氣象學、地質學、經濟學、語言學、系統論、資訊理論、控制論和人工智慧等。同時，在工農業生產的許多部門已取得明顯的社會效益。
數學思想方法的重大突破 從手工證明到機器證明
文章摘要：機器證明是20世紀50年代開始興起的一個數學領域，也是現代人工智慧發展的一個重要方向。從傳統的手工證明到定理的機器證明，是現代數學思想方法的一次重大突破。
【編者按】數學的發展並不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含著數學本身許多根本的變化，也即質的飛躍。歷史上發生的數學思想方法的幾次重大突破，就充分說明了這一點。
