國小奧數數論綜合約數與倍數問題分析解答：
已知x、y為正整數，且滿足xy-(x+y)=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數和最小公倍數，求所有這樣的數對(x，y)(x≥y)
考點：約數與倍數.
分析：此題需分類討論，①當x是y的倍數時，設x=ky(k是正整數).解方程k(y-2)=3;②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①當x是y的倍數時，設x=ky(k是正整數).
則由原方程，得
kyy-(ky+y)=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-(k+1)=2+k，
∴k(y-2)=3，
當k=1時，x=5，y=5;
當k=3時，x=9，y=3;
②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp，代入原式
得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)
當p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件;
當p>1時，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)
此時，abp-1=(a-1)(b+1)不滿足條件;
綜上所述，滿足條件的數對有
點評：本題主要考查的'是最大公約數與最小公倍數.由於兩個數的乘積等於這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求兩個數的最小公倍數，就可以先求出它們的最大公約數，然後用上述公式求出它們的最小公倍數.
