衛星變軌問題
引例：飛船發射及執行過程：先由運載火箭將飛船送入橢圓軌道，然後在橢圓軌道的遠地點A實施變軌，進入預定圓軌道，如圖所示，飛船變軌前後速度分別為v1、v2，變軌前後的執行週期分別為T1、T2，飛船變軌前後通過A點
時的加速度分別為a1、a2，則下列說法正確的是
A．T1＜T2，v1＜v2，a1＜a2B．T1＜T2，v1＜v2，a1＝a2
C．T1＞T2，v1＞v2，a1＜a2D．T1＞T2，v1＝v2，a1＝a2
解答：首先，同樣是A點，到地心的距離相等，萬有引力相等，由萬有引力提供的向心力也相等，向心
加速度相等。如果對開普勒定律比較熟悉，從T的角度分析：
由開普勒定律知道，同樣的中心體，k=a^3/T^2為一常數。從圖中很容易知道，圓軌道的半徑R大於橢圓軌道的半長軸a，這樣可得圓軌道上執行的週期T2大於橢圓軌道的週期T1。如果對離心運動規律比較熟悉，從v的角度分析：
1、當合力[引力]不足以提供向心力（速度比維持圓軌道運動所需的速度大）時，物體偏離圓軌道向外運動，這一點可以說明橢圓軌道近地點天體的運動趨向。
2、當合力[引力]超過運動向心力（速度比維持圓軌道運動所需的速度小）時，物體偏離圓軌道向內運動，這一點可以說明橢圓軌道遠地點天體的運動趨向。
對橢圓軌道，A點為遠地點，由上述第2條不難判斷，在橢圓軌道上A點的執行速度v1比圓軌道上時A點的速度v2小。 綜上，正確選項為B。
注意：變軌的物理實質就是變速。由低軌變向高軌是加速，由高軌變向低軌是減速。其基本操作都是開啟火箭發動機做功，但加速時做正功，減速時做負功。
一、人造衛星基本原理
1、繞地球做勻速圓周運動的人造衛星所需向心力由萬有引力提供。
2、軌道半徑r確定後，與之對應的衛星線速度vGMGMr3、週期T2、向心加速度a也都是唯一確定2rrGM的。
3、如果衛星的質量是確定的，那麼與軌道半徑r對應的衛星的動能Ek、重力勢能Ep和總機械能E機也是唯一確定的。
4、一旦衛星發生了變軌，即軌道半徑r發生變化，上述所有物理量都將隨之變化（Ek由線速度變化決定、Ep由衛星高度變化決定、E機不守恆，其增減由該過程的能量轉換情況決定）。同理，只要上述七個物理量之一發生變化，另外六個也必將隨之變化。
在高中物理中，涉及到人造衛星的兩種變軌問題。
二、漸變
由於某個因素的影響使原來做勻速圓周運動的衛星的軌道半徑發生緩慢的變化（逐漸增大或逐漸減小），由於半徑變化緩慢，衛星每一週的運動仍可以看做是勻速圓周運動。
解決此類問題，首先要判斷這種變軌是離心還是向心，即軌道半徑r是增大還是減小，然後再判斷衛星的其他相關物理量如何變化。
如：人造衛星繞地球做勻速圓周運動，無論軌道多高，都會受到稀薄大氣的阻力作用。如果不及時進行軌道維持（即通過啟動星上小型發動機，將化學能轉化為機械能，保持衛星應具有的狀態），衛星就會自動變軌，偏離原來的圓周軌道，從而引起各個物理量的變化。
這種變軌的起因是阻力。阻力對衛星做負功，使衛星速度減小，衛星所需要的向心力r減小了，而萬有引力GMm的2r
大小沒有變，因此衛星將做向心運動，即軌道半徑r將減小。
由基本原理中的結論可知：衛星線速度v將增大，將引起：
1、週期T將減小； 2、向心加速度a將增大；
3、動能Ek將增大； 4、勢能Ep將減小；
5、有部分機械能轉化為內能（摩擦生熱），衛星機械能E機將減小。
為什麼衛星克服阻力做功，動能反而增加了呢？這是因為一旦軌道半徑減小，在衛星克服阻力做功的同時，萬有引力（即重力）將對衛星做正功。而且萬有引力做的正功遠大於克服空氣阻力做的功，外力對衛星做的總功是正的，因此衛星動能增加。
根據E機=Ek+Ep，該過程重力勢能的減少總是大於動能的增加。
又如：有一種宇宙學的理論認為在漫長的宇宙演化過程中，引力常量G是逐漸減小的。如果這個結論正確，那麼環繞星球將發生離心現象，即環繞星球到中心星球間的距離r將逐漸增大，環繞星球的線速度v將減小，週期T將增大，向心加速度a將減小，動能Ek將減小，勢能Ep將增大。
三、突變 由於技術上的需要，有時要在適當的位置短時間啟動飛行器上的發動機，使飛行器軌道發生突變，使其進入預定的軌道。
如：發射同步衛星時，可以先將衛星傳送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運動，速率為v1；變軌時在P點點火加速，短時間內將速率由v1增加到v2，使衛星進入橢圓形的轉移軌道Ⅱ；
衛星執行到遠地點Q時的速率為v3；此時進行第二次點火加速，在短時間內將速率由v3增加到v4，
使衛星進入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運動。
2第一次加速：衛星需要的向心力mvr增大了，但萬有引力GMm沒變，因此衛星開始做離r2
心運動，進入橢圓形的轉移軌道Ⅱ。點火過程有化學能轉化為機械能，衛星的機械能增大。
在轉移軌道上，衛星從近地點P向遠地點Q運動過程只受重力作用，機械能守恆。重力做負功，重力勢能增加，動能減小。在遠地點Q處，如果不進行再次點火加速，衛星將繼續沿橢圓形軌道執行，從遠地點Q回到近地點P，不會自動進入同步軌道。這種情況下衛星在Q點受到的萬有引力大於以速率v3沿同步軌道運動所需要的向心力，因此衛星做向心運動。
為使衛星進入同步軌道，在衛星運動到Q點時必須再次啟動衛星上的小火箭，短時間內使衛星的速率由v3增加到v4，使它所2mv4需要的向心力r增大到和該位置的萬有引力大小恰好相等，這樣才能使衛星進入同步軌道Ⅲ做勻速圓周運動。該過程再次啟
動火箭加速，又有化學能轉化為機械能，衛星的機械能再次增大。
結論是：要使衛星由較低的圓軌道進入較高的圓軌道，即增大軌道半徑（增大軌道高度h），一定要給衛星增加能量。與在低軌道Ⅰ時比較（不考慮衛星質量的改變），衛星在同步軌道Ⅲ上的動能Ek減小了，勢能Ep增大了，機械能E機也增大了。增加的機械能由化學能轉化而來。
四、與氫原子模型類比
人造衛星繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供。按照玻爾的原子理論，電子繞氫原子核做圓周運動的向心力由庫侖力提供。萬有引力和庫侖力都遵從平方反比律：F
間的躍遷，分析方法是完全一樣的。
⑴電子的不同軌道，對應著原子系統的不同能級E，E包括電子的動能Ek和系統的電勢能Ep，即E=Ek+Ep。
⑵量子數n減小時，電子軌道半徑r減小，線速度v增大，週期T減小，向心加速度a增大，動能Ek增大，電勢能Ep減小；原子將輻射光子（釋放能量），因此氫原子系統的總能量E減小，向低能級躍遷。由E=Ek+Ep可知，該過程Ep的減小量一定大於Gm1m2r2、Fkq1q2r2，因此關於人造衛星的變軌和電子在氫原子各能級Ek的增加量。
反之，量子數n增大時，電子軌道半徑r增大，線速度v減小，週期T增大，向心加速度a減小，動能Ek減小，電勢能Ep增大，原子將吸收吸收光子（吸收能量），因此氫原子系統的總能量E增大，向高能級躍遷。由E=Ek+Ep可知，該過程Ep的增加量一定大於Ek的減少量。
用萬有引力處理天體問題的基本方法是：把天體的運動看成圓周運動，其做圓周運動的向心力有萬有引力提供。 Mmv2222mmrm()rm(2f)rman，得2rrT
當飛船等天體做變軌運動時，軌道半徑發生變化，從而引起v、T及的變化。 由G2vGMrr3T2GM，， GMr3 。
例1．某人造衛星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓．由於阻力作用，人造衛星到地心的距離從r1慢慢變到r2，用EKl．EK2分別表示衛星在這兩個軌道上的動能，則
(A)r1EK2
誤區 本題中由於阻力作用會誤因為v2＜v1，錯選D。深刻理解速度是由高度決定的，加深“越高越慢”的印象。
解析 由於阻力使衛星高度降低，故r1>r2，由GMr知變軌後衛星速度變大，動能變大EK1<EK2，也可理解為衛星在做向心運動時引力做功大於克服阻力做功，故動能增加大，故B正確。
例2 人造飛船首先進入的是距地面高度近地點為200km，遠地點為340km的的橢圓軌道，在飛行第五圈的時候，飛船從橢
2圓軌道執行到以遠地點為半徑的圓行軌道上，如圖所示，試處理下面幾個問題（地球的半徑R=6370km，g=9.8m/s）：
（1）飛船在橢圓軌道１上執行，Q為近地點，P為遠地點，當飛船運動
到P點時點火，使飛船沿圓軌道２執行，以下說法正確的是 A．飛船在Q點的萬有引力大於該點所需的向心力 PB．飛船在P點的萬有引力大於該點所需的向心力
C．飛船在軌道1上P的速度小於在軌道2上P的速度
D．飛船在軌道1上P的加速度大於在軌道2上P的加速度
解析 飛船在軌道1上執行，在近地點Q處飛船速度較大，相對於以近地點到地球球心的距離為半徑的軌道做離心運動，說明飛船在該點所受的萬有引力小於在該點所需的向心力；在遠地點P處飛船的速度較小，相對於以遠地點到地球球心為半徑的軌道飛船做向心運動，說明飛船在該點所受的萬有引力大於在該點所需的向心力；當飛船在軌道1上運動到P點時，飛船向後噴氣使飛船加速，萬有引力提供飛船繞地球做圓周運動的向心力不足，飛船將沿橢圓軌道做離心運動，執行到軌道2上，反之亦然，當飛船在軌道2上的p點向前噴氣使飛船減速，萬有引力提供向心力有餘，飛船將做向心運動回到軌道1上，所以飛船在軌道1上P的速度小於在軌道2上P的速度；飛船執行到P點，不論在軌道1還是在軌道2上，所受的萬有引力大小相等，且方向均於線速度垂直，故飛船在兩軌道上的點加速度等大。答案 BC
（2）假設由於飛船的特殊需要，美國的一艘原來在圓軌道執行的飛船前往與之對接，則飛船一定是
A．從較低軌道上加速B．從較高軌道上加速C．從同一軌道上加速 D．從任意軌道上加速
解析 由（1）題的分析可知，飛船應從低圓規道上加速，做離心運動，由橢圓軌道執行到較高的圓軌道上與飛船對接。答案 A
例4.如下圖所示，飛船沿半徑為R的圓周圍繞著地球運動，其執行週期為T.如果飛船沿橢圓軌道執行，直至要下落返回地面，可在軌道的某一點A處將速率降低到適當數值，從而使飛船沿著以地心O為焦點的橢圓軌道運動，軌道與地球表面相切於B
A
點。求飛船由A點到B點的時間。（圖中R0
R0R
2.設飛船沿橢圓軌道執行的週期為T′，由開普勒第三定律得：解析 設飛船的橢圓軌道的半長軸為a，由圖可知a=
R3a3T23T=T.飛船從A到B的時間t=2.
由以上三式求解得t例6．空間站墜毀過程分兩個階段，首先使空間站進人無動力自由運動狀態，因受高空稀薄空氣阻力的影響，空間站在繞地球運動的同時緩慢向地球靠近當空間站下降到距地球320km高度時，再由控制中心控制其墜毀。在空間站自由運動的過程中 ①角速度逐漸減小 ②線速度逐漸減小 ③加速度逐漸增大④週期逐漸減小 ⑤機械能逐漸增大
以上敘述正確的是
A、①③④ B、②③④C、③④⑤D、③④
解析 整體上看,衛星的軌道高度和執行速度發生連續的.變化,但微觀上,在任一瞬間,衛星還是可以近似看作在圓形軌道上運
Mm42
FG2mr2rT動,由知r減小時TMmv212G2mEkmvr2r亦減小;由,及知衛星在軌執行的動能EkGMm
2r，有EK2>EK1，但在降低軌道高度時,重力做正功,阻力做負功,故總機械能應是不斷減少的。空間站由遠地軌
vGM,RGMR3,T23GMR道向近地軌道移動時，受地球引力變大，故加速度增大；由
v變大，T變小而變大。答案 C 知
總結：人造衛星及天體的運動都近似為勻速圓周運動。當天體做變軌運動時關鍵看軌道半徑的變化，v
然後根據公式GM,RGMR3,T23GMR判斷線速度、角速度和週期的變化。
衛星變軌問題易錯題分析
一、不清楚變軌原因導致錯解
分析變軌問題時,首先要讓學生弄明白兩個問題:一是物體做圓周運動需要的向心力,二是提供的向心力。只有當提供的力能滿足它需要的向心力時,即“供”與“需”平衡時,物體才能在穩定的軌道上做圓周運動，否則物體將發生變軌現象——物體遠離圓心或靠近圓心。
當衛星受到的萬有引力不夠提供衛星做圓周運動所需的向心力時，衛星將做離心運動；
當衛星受到的萬有引力大於做圓周運動所需的向心力時衛星將在較低的橢圓軌道上運動，做近心運動。
導致變軌的原因是衛星或飛船在引力之外的外力，如阻力、發動機的推力等作用下，使執行速率發生變化，從而導致"供"與
"
需"不平衡而導致變軌。這是衛星或飛船的不穩定執行階段，不能用公式
A. 飛船加速直到追上空間站，完成對接
B. 飛船從原軌道減速至一個較低軌道，再加速追上空間站完成對接
C. 飛船加速至一個較高軌道再減速追上空間站完成對接
D. 無論飛船採取何種措施，均不能與空間站對接
分析速度變化和軌道變化的關係。 例一：宇宙飛船和空間站在同一軌道上運動，若飛船想與前面的空間站對接，飛船為了追上軌道空間站，可採取的方法是
答案：選B 。分析：先開動飛船上的發動機使飛船減速，此時萬有引力大於所需要的向心力，飛船做近心運動，到達較低軌道時，
Mm22由G2m()r得T2rT
追上空間站時，再開動飛船上的發動機讓飛船加速，使萬有引力小於所需要的向心力而做離心運動，到達空間站軌道而追上空間站，故B正確。如果飛船先加速，它受到的萬有引力將不足以提供向心力而做離心運動，到達更高的軌道，這使它的週期變長。這樣它再減速回到空間站所在的軌道時，會看到它離空間站更遠了，因此C錯。
二、不會分析能量轉化導致錯解
例二：人造地球衛星在軌道半徑較小的軌道A上執行時機械能為EA，它若進入軌道半徑較大的軌道B執行時機械能為EB，在軌道變化後這顆衛星( )
A、動能減小，勢能增加，EB＞EA B、動能減小，勢能增加，EB=EA
C、動能減小，勢能增加，EB＜EA D、動能增加，勢能增加，EB＞EA
答案：A。要使衛星由較低軌道進入較高軌道，必須開動發動機使衛星加速，衛星做離心運動。在離心運動過程中萬有引力對衛星做負功，衛星執行速度的大小不斷減小，動能不斷減小而勢能增大。由於推力對衛星做了正功，因此衛星機械能變大。 針對練習：
1. 地球繞太陽的運動可視為勻速圓周運動,太陽對地球的萬有引力提供地球繞太陽做圓周運動所需要的向心力,由於太陽內部的核反應而使太陽發光,在這個過程中,太陽的質量在不斷減小.根據這一事實可以推知,在若干年後,地球繞太陽的運動情況與現在相比()
A.運動半徑變大 B.運動週期變大C.運動速率變大 D.運動角速度變大
2.（09·山東）2008年9月25日至28日我國成功實施了“神舟”七號載入航天飛行並實現了航天員首次出艙。飛船先沿橢圓軌道飛行，後在遠地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船執行週期約為90分鐘。下列判斷正確的是 （ ）
A．飛船變軌前後的機械能相等
B．飛船在圓軌道上時航天員出艙前後都處於失重狀態
C．飛船在此圓軌道上運動的角度速度大於同步衛星運動的角速度
D．飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大於變軌後沿圓軌道運動的加速度 P
3.如圖所示，關閉動力的太空梭在月球引力作用下經橢圓軌道向月球靠近，並將與空間站在B處對接.已知空間站繞月軌道半徑為r，週期為T，萬有引力常量為G，下列說法中正確的是（）
A．圖中太空梭在飛向B處的過程中，月球引力做正功
B．太空梭在B處由橢圓軌道可直接進入空間一站軌道
C．根據題中條件可以算出月球質量
D．根據題中條件可以算出空間站受到月球引力的大小天
