同餘的定義：
①若兩個整數a、b除以m的餘數相同，則稱a、b對於模m同餘。
②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對於模m同餘，記作ab(modm)，讀作a同餘於b模m。
同餘的性質：
①自身性：aa(modm);
②對稱性：若ab(modm)，則ba(modm);
③傳遞性：若ab(modm)，bc(modm)，則ac(modm);
④和差性：若ab(modm)，cd(modm)，則a+cb+d(modm)，a-cb-d(modm);
⑤相乘性：若ab(modm)，cd(modm)，則acbd(modm);
⑥乘方性：若ab(modm)，則anbn(modm);
⑦同倍性：若ab(modm)，整數c，則acbc(modm
關於乘方的預備知識：
①若A=ab，則MA=Mab=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=McMd
被3、9、11除後的餘數特徵：
①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則Mn(mod9)或(mod3);
②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則MY-X或M11-(X-Y)(mod11);
費爾馬小定理：如果p是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則ap-11(modp)。
20.分數與百分數的應用
基本概念與性質：
分數：把單位1平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。
分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。
分數單位：把單位1平均分成幾份，表示這樣一份的數。
百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。
常用方法：
①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。
②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所佔的率的直接對應關係。
③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關係;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。
④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然後再進行調整，求出最後結果。
⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。
⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關係單一化、量率關係明朗化。
⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。
⑧濃度配比法：一般應用於總量和分量都發生變化的'狀況。
21.分數大小的比較
基本方法：
①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關係比較。
②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關係比較。
③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。
④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。
⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關係比較分數的大小。(具體運用見同倍率變化規律)
⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數(求出分數的值)後進行比較。
⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。
⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。
⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然後確定原數的大小。
⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。
22.分數拆分
一、將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式：
①=+
②=+(d為自然數);
23.完全平方數
完全平方數特徵：
1.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3餘0或餘1;反之不成立。
3.除以4餘0或餘1;反之不成立。
4.約數個數為奇數;反之成立。
5.奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。
6.奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。
7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24.比和比例
比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號後面的數叫比的後項。
比值：比的前項除以後項的商，叫做比值。
比的性質：比的前項和後項同時乘以或除以相同的數(零除外)，比值不變。
比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或
比例的性質：兩個外項積等於兩個內項積(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A擴大或縮小几倍，B也擴大或縮小几倍(AB的商不變時)，則A與B成正比。
反比例：若A擴大或縮小几倍，B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時)，則A與B成反比。
比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配
