一、勾股定理：
1.勾股定理內容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，斜邊長為c，那麼a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
2.勾股定理的證明：
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：
(1)圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變;
(2)根據同一種圖形的面積不同的.表示方法，列出等式，推匯出勾股定理。
4.勾股定理的適用範圍：
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，它只適用於直角三角形，對於銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特徵。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的內容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。
說明：(1)勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形;
(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c，那麼以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b.
2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：
(1)確定最大邊;
(2)算出最大邊的平方與另兩邊的平方和;
(3)比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。
三、勾股數
能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數.
四、一個重要結論：
由直角三角形三邊為邊長所構成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等於較大面積”。
五、勾股定理及其逆定理的應用
解決圓柱側面兩點間的距離問題、航海問題，摺疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應用。
