教學設計
1.1.1 集合的含義與表示
整體設計
教學分析
集合語言是現代數學的基本語言，同時也是一種抽象的數學語言．教材將集合的初步知識作為初、高中數學課程的銜接，既體現出集合在高中數學課程中舉足輕重的作用，又體現出集合在數學中的奠基性地位．
課本除了從學生熟悉的集合(自然數的集合、有理數的集合等)出發，結合例項給出元素、集合的含義、性質、表示方法之外，還特別注意滲透了“概括”與“類比”這兩種常用的邏輯思考方法．因此，建議教學時，應引導學生從大量的例項中概括出集合的含義；多創設讓學生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，以便學生在實際應用中逐漸熟悉自然語言、集合語言和圖形語言各自的特點和表示方法，能進行相互轉換並且靈活應用，充分掌握集合語言．與此同時，本小節作為高一數學教學的第一節新授課，知識體系中的新概念、新符號較多，建議教學時先引導學生閱讀課本，然後進行交流、討論，讓學生在閱讀與交流中理解概念並熟悉新符號的使用．這樣，既能夠培養學生自我閱讀、共同探究的能力，又能提高學生主動學習、合作交流的精神．
三維目標
1．瞭解集合的含義；理解元素與集合的“屬於”關係；熟記常用數集專用符號．
2．深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關問題．
3．能選擇不同的形式表示具體問題中的集合．
重點難點
教學重點：集合的 基本概念與表示方法．
教學難點：選擇適當的方法表示具體問題中的集合．
課時安排
1課時
教學過程
匯入新課
思路1．集合對我們來說可謂是“最熟悉的陌生人”．說它熟悉，是因為我們在現實生活中常常用到“集合”這個名詞；比如說，軍訓的時候，教官是不是經常喊：“高一(4)班的同學，集合啦！”那麼說它陌生，是因為我們還未從數學的角度理解集合，從數學的層面挖掘集合的內涵．那麼，在數學的領域中，集合究竟是什麼呢？集合又有著怎樣的含義呢？就讓我們通過今天這堂課的學習，一起揭開“集合”神祕的面紗．
思路2．你經常會 談論你的家庭，你的班級．其實在講到你的家庭、班級的時候，你必定在聯想構成家庭、班級的成員，例如：家庭成員就是被你稱為父親、母親、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班級成員就是與你在同一個教室裡一起上課、一起學習的人；一些具有特定屬性的人構成的群體，在數學上就是一個集合．那麼，在數學中，一些物件的總體怎樣才可以構成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？
這就是本節課我們所要學習的內容．
思路3．“同學們，在國小和國中的學習過程中，我們已經接觸過一些集合的例子，比如說：有理數集合，到一個定點的距離等於定長的點的集合(圓)，那麼大家是否能夠舉出更多關於集合的例子呢？”(通過兩個簡單的例子，引導大家進行類比，運用發散性思維思考說出更多的關於集合的例項，然後教師予以點評．)
“那麼，集合的含義究竟是什麼？它又該如何表示呢？這就是我們今天要研究的課題．”
推進新課
新知探究
提出問題
①中國有許多傳統的佳節，那麼這些傳統的節日是否能構成一個集合？如果能，這個集合由什麼組成？
②全體自然數能否構成一個集合？如果能，這個集合由什麼組成？
③方程x2－3x＋2＝0的所有實數根能否構成一個集合？如果能，這個集合由什麼組成？
④你能否根據上述幾個問題總結出集合的含義？
討論結果：①能．這個集合由春節、元宵節、端午節等有限個種類的節日組成，稱為有限集．
②能．這個集合由0,1,2,3，……等無限個元素組成，稱為無限集．
③能．這個集合由1,2兩個陣列成．
④我們把研究物件統稱為“元素”，把一些元素組成的總體叫做“集合”．
提出問題
通過以上的學習我們已經知道集合是由一些元素組成的總體，那麼是否所有的元素都能構成集合呢？請看下面幾個問題.
①近視超過300度的同學能否構成一個集合？
②“眼神很差”的同學能否構成一個集合？
③比較問題①②，說明集合中的元素具有什麼性質？
④我們知道冬蟲夏草既是一種植物，又是一種動物.那麼在所有動植物構成的集合中，冬蟲夏草出現的次數是一次呢還是兩次？
⑤組成英文單詞ever的字母構成的集合含有幾個元素？分別是什麼？
⑥問題④⑤說明集合中的元素具有什麼性質？
⑦在玩鬥地主的時候，我們都知道3，4，5，6，7是一個順子，那比如說老師出牌的時候把這五張牌的順序擺成了5，3，6，7，4，那麼這還是一個順子麼？類比集合中的元素，一個集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一個集合中的元素是5，3，6，7，4，這兩個集合中的元素相同麼？集合相同嗎？這體現了集合中的元素的什麼性質？
討論結果：
①能．
②不能．
③確定性．問題②對“眼神很差”的同學沒有一個確定的標準，到底怎樣才算眼神差，是近視300度？400度？還是說“眼神很差”只是寓意？我們不得而知．因此通過問題①②我們瞭解到，對於給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個元素要麼在這個集合中，要麼不在這個集合中，這就 是集合中元素的確定性．
④一次．
⑤4個元素．e，v，r，這四個字母．
⑥互異性．一個集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素不能重複出現．
⑦是．元素相同．集合相同．體現集合中元素的無序性，即集合中的元素的排列是沒有順序的．只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．
提出問題
①如果用A表示所有的自然數構成的集合，B表示所有的有理數構成的集合，a＝1.58，那麼元素a和集合A，B分別有著怎樣的關係？
②大家能否從問題①中總結出元素與集合的關係？
③A表示“1～20內的所有質數”組成的集合，那麼3__________A，4__________A.
討論結果 ：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．
②a是集合B中的元素，就說a屬於集合B，記作a∈B；a不是集合A中的元素，就說a不屬於集合A，記作a A.因此元素與集合的關係有兩種，即屬於和不屬於．
③3∈A,4 A.
提出問題
①從這堂課的開始到現在，你們注意到我用了幾種方法表示集合嗎？
②字母表示法中有哪些專用符號？
③除了自然語言法和字母表示法之外，課本還為我們提供了幾種集合的表示方法？分別是什麼？
④列舉法的含義是什麼？你能否運用列舉法表示一些集合？請舉例！
⑤能用列舉法把下列集合表示出來嗎？
小於10的質數；
不等式x－2＞5的解集.
⑥描述法的含義是什麼？你能否運用描述法表示一些集合？請舉例！
⑦集合的表示方法共有幾種？
討論結果：①兩種，自然語言法和字母表示法．
②非負整數集(或自然數集)，記作N；除0的非負整數集，也稱正整數集，記作N*或N＋；整數集，記作Z；有理數集，記作Q；實數集，記作R.
③兩種，列舉法與描述法．
④把集合中的元素一一列舉出來，並用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．例如“地球上的四大洋”組成的集合可以用列舉法表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有實數根組成的集合可以用列舉法表示為{1,2}．
⑤“小於10的質數”可以用列舉法表示出來；“不等式x－2＞5的.解集”不能夠用列舉法表示出來，因為這個集合是一個無限集．因此，當集合是無限集或者其元素數量較多而不便於無一遺漏地列舉出來的時候，如果我們再用列舉法來表示集合就顯得不夠簡潔明瞭．
⑥用集合所含元素的共同特徵表示集合的方法稱為描述法．具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示為{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示為{x|x是正方形}，也可寫成{正方形}．
⑦自然語言法、字母表示法、列舉法、描 述法．
應用示例
例1 下列所給物件不能構成集合的是__________．
(1)高一數學課本中所有的難題；
(2)某一班級16歲以下的學生；
(3)某中學的大個子；
(4)某學校身高超過1.80米的學生．
活動探究：教師首先引導學生通過讀題、審題，瞭解本題考查的基本知識點——集合中元素的確定性；然後指導學生對4個選項進行逐一判斷；判斷所給元素是否能構成集合，關鍵是看是否滿足集合元素的確定性．
解析：(1)不能構成集合．“難題”的概念是模糊的，不確定的，無明確的標準，對於一道數學題是否是“難題”無法客觀地判斷．實際上一道數學題是“難者不會，會者不難”，因而“高一數學課本中所有的難題”不能構成集合．
(2)能構成集合，其中的元素是某班級16歲以下的學生．
(3)因為未規定大個子的標準，所以(3)不能組成集合．
(4)由於(4)中的物件具備確定性，因此，能構成集合．
答案：(1)(3)
變式訓練
1．下列幾組物件可以構成集合的是( )
A．充分接近π的實數的全體
B．善良的人
C．某校高一所有聰明的同學
D．某單位所有身高在1.7 以上的人
答案：D
2．已知集合S的三個元素a，b，c是△ABC的三邊長，那麼△ABC一定不是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
答案：D
3．由a2,2－a,4組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
答案：C
點評：本題主要考查集合元素的性質．當所描述的物件明確的時候就能構成集合，若元素不明確就不能構成集合，稱為元素的確定性；同時，一個集合中的元素是互不相同的，稱為元素的互異性；此外還要注意元素的無序性.
例2 用列舉法表示下列集合：
(1)小於10的所有自然陣列成的集合；[:]
(2)方程x2＝x的所有實數根組成的集合；
(3)由1～20以內的所有質陣列成的集合．
活動探究：講解例2的過程中，可以設計如下問題引導學生：
針對例2(1)：①自然數中是否含有0？②小於10的自然數有哪些？③如何用列舉法表示小於10的所有自然陣列成的集合？
針對例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分別是什麼？②方程x2＝x的解是什麼？③如何用列舉法表示方程x2＝x的所有實數根組成的集合？
針對例2(3)：①如何判斷一個數是否為質數(即質數的定義是什麼)？②1～20以內的質數有哪些？③如何用列舉法表示由1～20以內的所有質陣列成的集合？[:ZXX]
在用列舉法表示集合的過程中，應讓學生先明確集合中的元素，再把元素寫入“{ }”內，並用逗號隔開．
解：(1)小於10的自然數有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，設小於10的所有自然陣列成的集合為A，那麼A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；
(2)方程x2＝x的兩個實根為x1＝0，x2＝1，設方程x2＝x的所有實數根組成的集合為B，那麼B＝{0,1}；
(3)1～20以內的質數有2, 3,5,7,11,13,17,19，設由1～20以內的所有質陣列成的集合為C，那麼C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
點評：本題主要考查了集合表示法中的列舉法，通過本題的教學可以體會利用集合表示教學內容的嚴謹性和簡潔性.
變式訓練
1．用列舉法表示下列集合：
(1)一年之中的四個季節組成的集合；
(2)滿足不等式1＜1＋2x＜19的素陣列成的集合．
答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}；
(2){2,3,5,7}．
2．已知集合A＝x∈N86－x∈N，試用列舉法表示集合A.
解：由題意可知6－x是8的正約數，當6－x＝1時，x＝5；當6－x＝2時，x＝4；當6－x＝4時，x＝2；當6－x＝8時，x＝－2；而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．
點評：變式訓練1主要對列舉法進行了考查；變式訓練2考查了兩個方面的知識點，一是元素與集合的關係，二是列舉法的應用，體現了對知識綜合應用的能力.
例3 試分別用列舉法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有實數根組成的集合；
(2)由大於10小於20的所有整陣列成的集合．
活動探究：講解例3的過程中，可以設計如下問題引導學生：
針對例3(1)——列舉法
①方程x2－2＝0的解是什麼？
②如何用列舉法表示方程x2－2＝0的所有實數根組成的集合？
針對例3(1)——描述法
①描述法的定義是什麼？
②所求集合中元素有幾個共同特徵？分別是什麼？
③如何用描述法表示所求集合？
針對例3(2)——列舉法
①大於10小於20的所有整數有哪些？
②由大於10小於20的所有整陣列成的集合用列舉法如何表示？
針對例3(2)——描述法
①所求集合中元素有幾個共同特徵？分別是什麼？
②如何用描述法表示所求集合？
解：(1)設方程x2－2＝0的實數根為x，並且滿足x2－2＝0，因此，用描述法表示為A＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的兩個實根為x1＝－2，x2＝2，因此，用列舉 法表示為A＝{－2，2}．
(2)設大於10小於20的整數為x，它滿足條件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示為B＝{x∈Z|10＜x＜20}；大於10小於20的整數有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列舉法表示為{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．
點評：例2和例3是通過“問題引導”的方式，使學生逐步逼近答案的過程．在此過程中，既幫助學生理清了解答問題的基本思路，又使得列舉法和描述法在例項中得到進一步的鞏固.
變式訓練
用適當的方法表示下列集合：
(1)Welce中的所有字母組成的集合；
(2)由所有小於20的既是奇數又是質數的正整陣列成的集合；
(3)由所有非負偶陣列成的集合；
(4)直角座標系內第三象限的點組成的集合；
(5)不等式2x－3＞2的解集．
解：(1)列舉法：{W，e，l，c，，}；
(2)列舉法：{3,5,7,11,13,17,19}；
(3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}；
(4)描述法：{(x，)|x＜0，且＜0}；
(5)描述法：{x|x＞2.5}.
知能訓練
課後練習1,2.
【補充練習】
1．考查下列物件能否構成集合：
(1)著名的數學家；
(2)某校2013年在校的所有高個子同學；
(3)不超過20的非負數；
(4)方程x2－9＝0在實數範圍內的解；
(5)直角座標平面內第一象限的一些點；
(6)3的近似值的全體．
答案：(1)(2)(5)(6)不能組成集合，(3)(4)能組成集合．
2．用適當的符號填空：
(1)0__________N，5__________N，16__________N；
(2)－12__________Q，π__________Q，e__________ RQ(e是個無理數)；
(3)2－3＋2＋3＝__________{x|x＝a＋6b，a∈Q，b∈Q}．
答案：(1)∈ ∈ (2)∈ ∈ (3)∈
3．已知集合A是由0，，2－3＋2三個元素組成的集合，且2∈A，求實數的值．
解：∵2∈A，
∴＝2或2－3＋2＝2.
若＝2，則2－3＋2＝0，不符合集合中元素的互異性，捨去．
若2－3＋2＝2，求得＝0或3.
＝0不合題意，捨去．
∴只能取3.
4．用適當方法表示下列集合：
(1)函式＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象上所有點的集合；
(2)一次函式＝x＋3與＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合；
(3)不等式x－3＞2的解集；
(4)自然數中不大於10的質數集．
答案：(1)描述法：{(x，)|＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．[:Zxx]
(2)描述法：(x，)＝x＋3＝－2x＋6＝(x，)x＝1＝4.
列舉法：{(1,4)}．
(3)描述法：{x|x＞5}
(4)列舉法：{2,3,5,7}．
拓展提升
問題1：設集合P＝{x－，x＋，x}，Q＝{x2＋2，x2－2,0}，若P＝Q，求x，的值及集合P，Q.
活動探究：首先，應讓學生思考兩個數集相等的條件——集合中的元素分別對應相等；然後，再引導學生討論：本題中集合P，Q對應相等時，其元素可能出現的幾種情況，並根據討論的結果進行計算；最後，應當指導學生自主探究，應用集合中元素的性質檢驗所求結果是否符合要求．
解：∵P＝Q且0∈Q，
∴0∈P.
若x＋＝0或x－＝0，則x2－2＝0，從而Q＝{x2＋2,0,0}，與集合中元素的互異性矛盾，∴x＋≠0且x－≠0；
若x＝0，則x＝0或＝0.
當＝0時，P＝{x，x,0}，與集合中元素的 互異性矛盾，
∴≠0；
當x＝0時，P＝{－，,0}，Q＝{2，－2,0}，
由P＝Q得－＝2，＝－2，≠0， ① 或－＝－2，＝2，≠0.②
由①得＝－1，由②得＝1，
∴x＝0，＝－1或x＝0，＝1，
此時P＝Q＝{1，－1,0}．
點評：本題綜合性地考查了兩數集相等的條件、集合中元素的性質以及學生的運算能力和分類討論能力．
問題2：已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中的元素至多隻有一個，求a的取值範圍．
活動探究：討論關於x的方程ax2－3x＋2＝0實數根的情況，從中確定a的取值範圍，依題意，方程有一個實數根或兩個相等的實數根或無實數根．
解：(1)a＝0時，原方程為－3x＋2＝0，x＝23，符合題意．
(2)a≠0時，方程ax2－3x＋2＝0為一元二次方程．
由Δ＝9－8a≤0，得a≥98.
∴當a≥98時，方程ax2－3x＋2＝0無實數根或有兩個相等的實 數根．
綜合(1)(2)，知a＝0或a≥98.
點評：“a＝0”這種情況最容易被忽視，只有在“a≠0”的條件下，方程ax2－3x＋2＝0才是一元二次方程，才能用判別式Δ解決問題．
問題3：設S＝{x|x＝＋2n，，n∈Z}．
(1)若a∈Z，則a是否是集合S中的元素？
(2)對S中的任意兩個x1，x2，則x1＋x2，x1x2是否屬於S?
活動探究：針對問題(1)——首先引導學生仔細觀察集合S中元素的共同特徵與構成方式；然後，再引導學生思考題中所給的元素a能否表示成＋2n的形式；如果能，和n分別是多少，如果不能，請說明理由；最後小結，判斷一個元素是否屬於集合時，轉化為判斷這個元素是否滿足集合元素的特徵即可．
針對問題(2)——首先引導學生將x1，x2分別表示出來，再引導大家根據正確的表示結果，推斷x1＋x2，x1x2是否是集合S中的元素．[:Zxx]
解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋2×0∈S.
(2)不妨設x1＝＋2n，x2＝p＋2q，，n，p，q∈Z.
則x1＋x2＝(＋2n)＋(p＋2q)＝(＋p)＋2(n＋q)，，n，p，q∈Z.
∴x1＋x2∈S；x1x2＝(＋2n)(p＋2q)＝(p＋2nq)＋2(q＋np)，，n，p，q∈Z.
∴x1x2∈S.綜上，x1＋x2，x1x2都屬於S.
點評：本題考查集合的描述法以及元素與集合間的關係．
課堂小結
本節學習了：(1)集合的含義；(2)集合中元素的性質；(3)元素與集合的關係；(4)集合的表示方法．
課後作業
習題1.1A組 3,4.
設計感想
本節教學設計是以數學課程標準的要求為指導，結合生活中的一些例項，重視引導學生積極思考，主動參與到教學中，體現了學生的主體地位．同時結合大學聯考的要求適當拓展了教材，使學生的發散性思維得到拓展，最大限度地挖掘了學生的學習潛力，真正做到了對教材的“活學活用”．
備課資料
集合論的誕生[:ZXX]
集合論是德國著名數學家康托爾於19世紀末創立的.17世紀，數學中出現了一門新的分支：微積分．在之後的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展並結出了豐碩成果．其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎.19世紀初，許多迫切問題得到解決後，出現了一場重建數學基礎的運動．正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端．到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念．他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的(不論是具體的或抽象的)事物合併起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素．人們把康托爾於1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日．
康托爾把無窮集這一詞彙引入數學．對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數學上的潘多拉盒子．“我們把全體自然陣列成的集合簡稱作自然數集，用字母N來表示．”學過集合的所有人應該對這句話不會感到陌生．但在接受這句話時我們根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作．在此以前數學家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋．無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在的．這種關於無窮的觀念在數學上被稱為潛無限.18世紀數學王子高斯就持這種觀點．由於潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是不足為怪的．然而康托爾並未就此止步，他以前所未有的方式，繼續正面探討無窮．他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數．他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢．由於一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應關係——也就是說無窮集可以與它的真 子集等勢，即具有相同的個數．這與傳統觀念“全體大於部分”相矛盾．而康托爾認為這恰恰是無窮集的特徵．在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他將其稱為可數集．又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而有理數集也是可數集．後來當他又證明了實數集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集．但出乎意料的是，他在1873年證明了實數集的勢大於自然數集．有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數是“霧中之霧”，稱“康托爾走進了超限數的地獄”．
然而集合論前後經歷二十餘年，最終獲得了世界公認．在1900年第二次國際數學家大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣佈“……數學已被算術化了．從康托爾提出集合論至今，時間已經過去了一 百多年，在這一段時間裡，數學又發生了極其巨大的變化，包括對上述經典集合論作出進一步發展的模糊集合論的出現等等．而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的．因而當現在回頭去看康托爾的貢獻時，我們仍然可以引用當時著名數學家對他的集合論的評價作為我們的總結．“它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優秀作品，是人類純智力活動的最高成 就之一．康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創性貢獻．”
