有一種叫“24點”的遊戲曾經風靡美國、日本等許多國家，深受青少年朋友的喜愛。這種遊戲將兩張王牌去掉，把A、J、Q、K分別看作1點，11點、12點、13點，或者將它們均看1點，其餘牌面是幾點，就是幾點。
玩的規則不盡相同，其中有一種方法是：
（1）四個人每人抓到13張牌，每人每次從手中任意抽取一張牌。
（2）參加遊戲者對這四張牌所代表的數值進行＋、－、×、÷、（）運算，使結果為24。
（3）誰先列出，誰就得1分，牌入底；若四人均無法列出，則無人得分，牌也入底。
（4）再次每人任意抽取一張牌，再次按（2）（3）規則進行。
（5）重複（2）、（3）、（4），直至每人手中13張牌全部用完為一局，得分多者為勝。
例如，抽出的四張牌為3、4、7、11，可以這樣計算：
（7－4）×（11－3）＝3×8＝24，或（7＋11）÷3×4＝18÷3×4＝6×4＝24
這是一種非常有趣的遊戲，下面我們一起來試一試：
例1 抽出下面四組牌：（A，J，Q，K分別為1點，11點，12點，13點）
（1）2，3，4，5 （2）3，4，5，10
（3）K，7，9，5 （4）J，6，Q，5
你能算出24點嗎？
分別：要想比賽獲勝，必須有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎樣的兩個數求得，如2×12＝24，4×6＝24，3×8＝24，18＋6＝24，30－6＝24……這樣就可以把問題轉化成怎樣使用4個數，湊出兩個數的問題，其中有一點值得大家注意，就是四個數的順序可以依據需要任意安排。
解：（1）依據2×12＝24，可得2×（3＋4＋5）＝24，
（2）依據3×8＝12，可得3×（10÷5×4）＝24，
（3）依據4×6＝24，可得（13－7）×（9－5）＝24，
（4）依據18＋6＝24，可得（11－5）＋（6＋12）＝24
說明：上面各題的解法並不一定是唯一的，如依據4×6＝24，也可得第（2）組為4×（10×3÷5）＝24，可是，就因為這樣，才非常激烈、刺激。
例2 如果恰巧四個人抽出的撲克牌是“1～9”中的同一數字的牌，請你幫忙想一想哪種情況可以算出“24”？怎樣算？
分析：四人抽出同一數字的牌有9種情況，4個1，4個3，4個4……4個8，4個9，現在的問題轉化為如何使四個相同的數字（1~9中的一個）填加運算子號，得“24”的問題。由於4個數字相同，用乘法關係最後求得“24”就不太容易，應考慮＋、－關係，27－3＝24，25－1＝24，20＋4＝24，12＋12＝24……經過嘗試，我們發現，4個1，4個2，由於數太小，無法算出“24”，而4個7，4個8，4個9由於太大，也無法算出。其餘可以實現。
解：依據27－3＝24 ，可得3×3×3－3＝24，
依據20＋4＝24 ，可得4×4＋4＋4＝24，
依據25－1＝24 ，可得5×5－5÷5＝24，
依據12＋12＝24 ，可得（6＋6）＋（6＋6）＝24，
說明：有些不能算出24，可能是由於我們知識水平的限制，而並非真的不能，如請同學們想一想4個10，4個11，4個12，4個13你能求解嗎？
由上面的例子，我們可以很自然地想到這種遊戲可以發展成一類專門的數學的問題，下面我們就來研究。
例3 填上適當的運算子號，使算式成立
（1）4 4 4 4＝5
（2）4 4 4 4＝6
（3）4 4 4 4＝7
（4）4 4 4 4＝8
（5）4 4 4 4＝9
（6）4 4 4 4＝10
分析：（1）4 4 4 4＝5，最後一個4前面是三個4，如可湊出1，1＋4＝5，如可湊出20，20÷4＝5，4×4 ＋4＝20，因此可求解。
（2）4 4 4 4＝6，最後一個4前面是三個4，如可湊出2，2＋4＝6；即（4＋4）÷4＝2，因此可求解。
（3）4 4 4 4＝7，前面兩個4＋4＝8，後面兩個4得1即可求解，4÷4＝1剛剛好。
（4）和（6）可利用（3）的思路稍加變化就可以求解。
（5）4 4 4 4＝10，最後一個4，前面如是6，6＋4＝10可求解，但不易做到。如前面是40，40÷4＝10也可以求解，44－4＝40，數字連用在這類題目中是常用的一種技巧。（題目中沒有限制，當然是可以這樣做的）。
解：
（1）（4×4＋4）÷ 4＝5
（2）（4＋4）÷4＋4＝6
（3）（4＋4）－4÷4＝7
（4）（4＋4）×4÷4＝8
（5）（4＋4）+4÷4＝9
（6）（44－4）÷4＝10
說明：（1），（2），（6）中的解題思路是一種倒推的方法，這是一種常用的，行之有效的方法同學們加以掌握。（4），（5）中解題思路是依據數字的特點，這種方法，依賴於良好的數感，需要大家經過一段時間的訓練才能獲得。
例4 不用（），且運算子號不超過三次，添在適當位置，使下面的算式成立。
9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000
分析：不使用（），運算順序只能從左往右，先×、÷後＋、－；運算子號不超過三次，就會得到一些多位數。首先選一個多位數儘可能接近1000，可選999，1000－999＝1，後面6個 9要得到“1”，就很簡單了999÷999，問題可求解；還可以用另一種方法接近1000，9999÷9＝1111，1111－1000＝111，後面9999想辦法等於111，999÷9＝111，問題也可解出。
解：999＋999÷999＝1000
9999÷9－999÷9＝1000
說明：先靠近所求數，再進行適當調整，這是一種非常行之有效的方法，在數字比較多時常常用到。當然此題還有其它方法，同學們
可以用上面的思路再試一試。
例5 填入適當運算子號，使下式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1000
分析：此題中9~1九個數字各不相同，位置固定，初看與前面的例題有很大不同，但是經仔細讀題，認真分析，我們可以發現，做此題時，＋、－、×、÷（）均可使用，運算子號用多少次沒有限制，數字可以連用，也可以分開，條件很寬鬆。由於1000數比較大，我們也採用例4中靠近結果，再湊較小數的方法解決。可以用987＋6＝993，再用5 4 3 2 1湊成7即可，這個方法就很多了。還可以取前邊987和後邊的21相加得1008，中間的6 5 4 3 湊成8就行了。
解：987＋6＋5－4＋3×2×1＝1000
987＋6＋5＋4－3+2－1＝1000
987＋6＋（5－4）×（3×2＋1）＝1000
987＋6＋5＋（4－3）×2×1＝1000
987－（6－5＋4＋3）＋21＝1000
說明：此題還有許多解決，但不論哪種方法，都遵循先靠近結果，再湊較少數的原則，大家可以再想想，你還能想到什麼方法？
例6 在下列算式中合適的地方，填上括號，使算式成立。
（1）4＋5×6＋8÷4－2＝30
（2）4＋5×6＋8÷4－2＝39
（3）4＋5×6＋8÷4－2＝21
（4）4＋5×6＋8÷4－2＝140
分析：（1）從最後一步逆推，減2前面的式子得32，還從後面入手，這就需要4＋5×6＋8，填上適當的括號得128，嘗試發現括號的填法有兩種（4＋5）×6＋8，4＋5×（6＋8），分別得128，74，因此括號的填法為[（4＋5）×6＋8] ÷4－2＝30
（2）從最後一步逆推，減號前面的式子要得41，還從後面入手要求4＋5×6＋8＝41×4這是無法實現的。從前面入手考慮，就應設法使5×6＋8÷4－2＝35，還從前面想這就需要6＋8÷4－2＝7，可從這樣實現（6＋8）÷（4－2）。因此括號的填法為4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39
（3）從後面減2前面的式子得23才能有解，可4＋5×6＋8÷4無論如何填加括號，都不可能現實。把4－2放在一個括號裡等於2，i除號前面的式子就要得42，通過觀察容易發現，4＋5×6＋8按順序計算就可得42，所以此題括號的填法是（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21
（4）140比較大，應充分發揮“×”的作用，使“×”左右兩側的因數儘可能大，即（4×5）×（6＋8）＝280，再縮小2倍，就是所求結果，正好“÷”後面4－2＝2，所以此題括號的填法是（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140
解：
（1）[（4＋5）×6＋8]÷4－2＝30
（2）4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39
（3）（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21
（4）（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140
說明：填括號時既可以用“（）”，也可以根據需要用“[]”，從一端想起經過嘗試，淘汰，最終可以找到解題方法。
閱讀材料
數學符號的起源
數學除了記數以外，還需要一套數學符號來表示數和數、數和形的相互關係。數學符號的發明和使用比數字晚，但數量多得多。現在常用的200多個，國中數學書裡就不下20多種。他們都有一段有趣的經歷。例如：（1）加號曾經有好幾種，現在通用“+”號。“+”號是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變而來的。也有人說，賣酒的商人用“-”表示酒桶裡的'酒賣了多少。以後，當把新酒灌入大桶的時候，就在“-”上加一豎，意思是把原線條勾銷。這樣就成了個“+”號。到了十五世紀，德國數學家魏德美正式確定：“+”用作加號，“-”號用作減號。（2）乘號曾經用過十幾種，現在通用兩種。一個是“×”，最早是英國數學家奧屈特1631年提出的；一個是“”，最早是英國數學家赫銳奧特首創的。德國數學家萊布尼茨認為：“×”向拉丁字母“X”，加以反對，而贊成用“ ”號。到了十八世紀，美國數學家歐德萊確定，把“×”作為乘號，他認為“×”是“+”斜起來寫，是另一種表示增加的符號。（3）“÷”最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數學家奧屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除線）表示除。後來瑞士數學家拉哈在他所著的《代數學》裡，才根據群眾創造，正式將“÷”作為除號。（4）十六世紀法國數學家維葉特用“=”表示兩個量的差別。可是英國牛津大學數學、修辭學教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數量相等是最合適不過的了，於是等於符號“=”就從1540年開始使用起來。1591年，法國數學家韋達大量使用這個符號，才逐漸為人們接受。
練習題
1．在“24”點遊戲中提出了下面幾組牌，你能很快求出“24”嗎？
（1）1，3，5，7 （2）2，5，7，9
（3）1，3，9，10 （4）10，4，10，4
（5）K，Q，J，J （6）Q，10，Q，1
分析：（4）10×10＝100是4的25倍，100－4＝96，正好是4的24倍，所以可以這樣做（10×10－4）÷4＝24
（5）K，Q，J，J即13，12，11，11，依據25－1＝24可得13＋12－11÷11＝24
（6）Q，10，Q，1即12，10，12，1，依據12×2＝24可得12×（12－10）×1＝24
解：
（1）（5＋7）×（3－1）＝24 （2）5×7－9－2＝24
（3）（1＋10）×3－9＝24 （4）（10×10－4）÷4＝24
（5）13＋12－11÷11＝24 （6）12×（12－10）×1＝24
2．在“24”點遊戲中，抽出了下面兩組牌，你能求出“24”嗎？
（1）3，3，7，7 （2）1，5，5，5
分析：（1）用常用的方法無論怎麼求都不能得出“24”，是否就沒有辦法了呢？當然不是，用乘法分配律的方法就可以求解
（3＋3÷7）×7
＝3×7＋3÷7×7
＝24
（2）用同樣的方法求解
（5－1÷5）×5
＝5×5－1÷5×5
＝24
解：（1）（3＋3÷7）×7＝24
（2）（5－1÷5）×5＝24
說明：熟練地掌握運算定律可以把題目化難為易，這裡安排這兩個題是為了開闊同學們的眼界，拓寬同學們的思路。
3．抽的四張牌恰好是“1～9”中從大到小連續排列的四張，這樣的牌能算出“24”嗎？
分析：符合要求的組合有六組：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不難發現它們均可求出24點。
解：
（1）依據4×6＝24得8÷（9－7）×6＝24
（2）依據2×12＝24得（7＋5）×（8－6）＝24
（3）依據2×12＝24得（5＋7）×（6－4）＝24
（4）依據4×6＝24得2×（3＋4＋5）＝24
（5）依據4×6＝24得1×2×3×4＝24
說明：這個例子告訴我們不論從大到小，還是從小到大，連續取“1~9”中任意四個數均可湊成“24”。
4．添上適當的運算子號，使算式成立。
（1）6 6 6 6＝1 （2）6 6 6 6＝2
（3）6 6 6 6＝3 （4）6 6 6 6＝4
（5）6 6 6 6＝5 （6）6 6 6 6＝6
分析：（1）根據A÷A＝1，可得許多種解，如（6＋6）÷（6＋6）＝1或（6×6）÷（6×6）＝1……
（2）根據1＋1＝2，可得6÷6＋6÷6＝2
（3）根據18÷6＝3，可得（6＋6＋6）÷6＝3
（4）根據6－2＝4，可得6－[（6＋6）÷6]＝4
（5）根據30÷6＝5，可得（6×6－6）＝5
（6）根據0＋6＝6，可得6×（6－6）＋6＝6或（6－6）×6＋6＝0……
解：
（1）（6＋6）÷（6＋6）＝1 （2）（6÷6）＋（6÷6）＝2
（3）（6＋6＋6）÷6＝3 （4）6－［（6＋6）÷6］＝4
（5）（6×6－6）÷6＝5 （6）（6－6）×6＋6＝0
5．用7個7組成4個數，並使運算結果為100
7，7，7，7，7，7，7＝100
分析：首先要使一部分接近100，777÷7＝111，111－100＝11，後面的777湊成11就可以了77÷7＝11，所以可以這樣解：
777÷7－77÷7＝100
6．在9個9之間填適當的運算子號，使下面算式成立。
9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2008
分析：先要想辦法使一部分靠近“2000”，999＋999＝1998，2008－1998＝10，後面的三個9湊成10即可。
解：999＋999＋9÷9＋9＝2008
說明：前六個數也可以用其他方法求得1998，如999×[（9＋9）÷9]＝1998這種題目往往不只一種解法。
7．填上適當的運算子號，使算式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1＝2007
分析：結果較大，先用一部分湊出與2007相接近的數，即654×3＝1962而2007－1962＝45，現在我們要辦法使9，8，7，2，1湊成45，而45－21＝24，9＋8＋7＝24。
解：9＋8＋7＋654×3＋21＝2007
8．在11～15之間，選擇恰當位置，填上適合的運算子號，使算式結果為100。
11 12 13 14 15=100
分析：原題的意思是使下式成立：
1 1 1 2 13 14 15 ＝100
取121靠近100，11＋121－31＝101，415湊成“1”即可有解，（4＋1）÷5＝1。還可以取111靠近100，111－21＝90，3 1 4 1 5 湊成10即可有解，3－1＋4－1＋５＝10此題還有許多方法，請同學們自己試一試。
解：11＋121－31－（4＋1）÷5＝100或111－21＋3－1＋4－1 ＋5＝100
9．現有的牌為1～10，請從中選牌，每張牌只用一次，使下列“24”點遊戲成立。
（1）□＋□×６＋11＝24
（2）（□＋5）×2＋□＝24
（3）（□×10－□）÷4＋11＝24
（4）□×3－□÷2＝24
（5）□×5－4÷4＝24
（6）13＋□×3－10＝24
分析：觀察這六個算式，我們發現（5），（6）很好確定所選牌是5和7。再觀察餘下的四個算式，（4）□×3－□÷2＝24，□×3>24，□可取9，10，取10時，□÷2的方塊在1~10中無值可取，所以□×3只能取9，另一個□中可以取6。
再來觀察（3）（□×10－□）÷4＝24 24×4＝96，所以□×10－□＝96，□×10≥100，1~10中，只能取10，另一個方□中就只能取4。
接下來看（1）□+□×6+11＝24，24－11＝13，□+□×6＝13，□×6<13的方格中可取1和2；取1時有7＋1×6＝13，7在（6）中已經用過，所以□×6的方格中只能取2，另一個□中取1。
最後觀察（2）式，現在只剩下3、8，（□＋5）×2為偶數，24為偶數，所以第二個□只能取8，第一個方面中取3。
解：
（1） ×６＋11＝24 （2）（ ＋5）×2＋ ＝24
（3）（ ×10－ ）÷4＝24 （4） ×3－ ÷2＝24
（5） ×5－4÷4＝24 （6）13＋□×3－10＝24
10．在適當的位置中，填上括號，使下列算式成立。
（1）9＋60÷3＋2×4－1＝30
（2）9＋60÷3＋2×4－1＝56
（3）9＋60÷3＋2×4－1＝15
（4）9＋60÷3＋2×4－1＝45
分析：（1）題中只有÷3，－1兩處可以使數值變小，特別值得注意的是“－”後面只有1，所以要想辦法使算式中數靠近30，又要小於30，（9＋60）÷3＝23，再使後面得7即可，2×4－1正好得7。
（2）56是個較大的數，我們還要先靠近56，再湊小數，在中間的÷、×之間想辦法，60÷（3＋2）×4＝48，再加8就得結果了，9－1＝8。
（3）從前端想15－9＝6，想辦法使後面部分得6，60÷10＝6，3＋2×4－1正好得10。
（4）從前端想45－9＝36，36＝12×3＝9×4，60÷（3＋2）＝12，4－1＝3，可求解。
解：（1）（9＋60）÷3＋2×4－1＝30
（2）9＋60÷（3＋2）×4－1＝56
（3）9＋60÷（3＋2×4－1）＝15
（4）9＋60÷（3＋2）×（4－1）＝45
