目前的數學大學聯考已經由單純的知識綜合型轉化為知識、方法和能力的綜合型考試，單純的複習課本是不行的，我們需要多做大學聯考數學模擬試卷來熟悉裡面的題型，以下是本站小編為你整理的2018屆豐臺區大學聯考數學模擬試卷，希望能幫到你。
一、選擇題
1.複數z= 在複平面內對應的點位於
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
2. 設 為等比數列 的前 項和， ，則
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
3. 執行右邊的程式框圖，輸出k的值是
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
4.已知變數 滿足約束條件 ，則 的最大值是
(A) (B) (C) 1 (D)
5.已知命題p: ;
命題q: ,則下列命題為真命題的是
(A) (B)
(C) (D)
6. 已知 關於x的一元二次不等式 的解集中有且僅有3個整數，則所有符合條件的a的值之和是
(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26
7. 如果函式y=f(x)影象上任意一點的座標(x,y)都滿足方程 ，那麼正確的選項是
(A) y=f(x)是區間(0， )上的減函式，且x+y
(B) y=f(x)是區間(1， )上的增函式，且x+y
(C) y=f(x)是區間(1， )上的減函式，且x+y
(D) y=f(x)是區間(1， )上的減函式，且x+y
8.動圓C經過點F(1,0)，並且與直線x=-1相切，若動圓C與直線 總有公共點，則圓C的面積
(A) 有最大值8 (B) 有最小值2
(C) 有最小值3 (D) 有最小值4
二 填空題
9.在平面直角座標系中，已知直線C : ( 是引數)被圓C : 截得的弦長為 ;
10. 某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期會考試的數學成績(均為整數)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]後得到頻率分佈直方圖(如圖所示).則分數在[70,80)內的人數是________。
11.如圖，已知直線PD切⊙O於點D，直線PO交⊙O於點E,F.若 ，則⊙O的半徑為 ; .
12.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中點， 則 .
13.某四面體的三檢視如圖所示，則該四面體的四個面中，直角三角形的面積和是_______.
14. 已知M是集合 的非空子集，且當 時，有 .記滿足條件的集合M的個數為 ，則 ; 。
三、解答題
15. 已知函式
(Ⅰ)求函式 的最小正週期和單調遞增區間;
(Ⅱ)求函式 在 上的值域.
16.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2;(Ⅰ)求證：AM∥平面BCN;
(Ⅱ)求AN與平面MNC所成角的正弦值;
(Ⅲ)E為直線MN上一點，且平面ADE⊥平面MNC，求 的值.
17.在一次抽獎活動中，有甲、乙等6人獲得抽獎的機會。抽獎規則如下：主辦方先從6人中隨機抽取兩人均獲獎1000元，再從餘下的4人中隨機抽取1人獲獎600元，最後還從這4人中隨機抽取1人獲獎400元。
(Ⅰ)求甲和乙都不獲獎的概率;
(Ⅱ)設X是甲獲獎的金額，求X的分佈列和均值 。
18.已知函式 ， .
(Ⅰ)若曲線 在點(1，0)處的切線斜率為0，求a,b的值;
(Ⅱ)當 ，且ab=8時，求函式 的單調區間，並求函式在區間[-2，-1]上的最小值。
19. 已知以原點為對稱中心、F(2,0)為右焦點的橢圓C過P(2， )，直線 ：y=kx+m(k≠0)交橢圓C於不同的兩點A，B。
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)是否存在實數k，使線段AB的垂直平分線經過點Q(0,3)?若存在求出 k的取值範圍;若不存在，請說明理由。
20. 設滿足以下兩個條件的有窮數列 為n(n=2,3,4,…,)階“期待數列”：
① ;
② .
(Ⅰ)分別寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數列”;
(Ⅱ)若某2k+1( )階“期待數列”是等差數列，求該數列的通項公式;
(Ⅲ)記n階“期待數列”的前k項和為 ，
試證：(1) ; (2)
2018屆豐臺區大學聯考數學模擬試卷答案一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B B C C D
二 填空題
9. ; 10. 30; 11. ，15° (第一個空2分，第二個空3分); 12. -1;
13. ; 14. 3， (第一個空2分，第二個空3分)。
三、解答題
15. (本題13分)已知函式
(Ⅰ)求 的最小正週期和單調遞增區間;
(Ⅱ)求函式 在 上的值域.
解：(Ⅰ) ，………………………………………3分
最小正週期T= , …………………………………………………………………………………4分
單調增區間 , …………………………………………………………7分
(Ⅱ) ，
， ………………………………………………………………………………10分
在 上的值域是 . ………………………………………………………13分
16.(本題14分)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且 ，MD=2;
(Ⅰ)求證：AM∥平面BCN;
(Ⅱ)求AN與平面MNC所成角的正弦值;
(Ⅲ)E為直線MN上一點，且平面ADE⊥平面MNC，求 的值.
解：(Ⅰ)∵ABCD是正方形,
∴BC∥AD.
∵BC平面AMD,AD 平面AMD,
∴BC∥平面AMD.
∵NB∥MD,
∵NB平面AMD,MD 平面AMD,
∴NB∥平面AMD.
∵NB BC=B,NB 平面BCN, BC 平面BCN,
∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分
∵AM 平面AMD,
∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分
(也可建立直角座標系，證明AM垂直平面BCN的法向量，酌情給分)
(Ⅱ) 平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可選點D為原點，DA,DC,DM所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角座標系(如圖)…………………………………………………………………5分
則 ， ， , .
, ………………………………………6分
， ,
設平面MNC的法向量 ,
則 ，令 ，則 … 7分
設AN與平面MNC所成角為 ,
. ……9分
(Ⅲ)設 ， ， ，
又 ，
E點的座標為 ， …………………………………………………………………11分
面MDC, ，
欲使平面ADE⊥平面MNC，只要 ，
， ，
. ………………………………………………………………………………14分
17.(本題13分)在一次抽獎活動中，有甲、乙等6人獲得抽獎的機會。抽獎規則如下：主辦方先從6人中隨機抽取兩人均獲獎1000元，再從餘下的.4人中隨機抽取1人獲獎600元，最後還從這4人中隨機抽取1人獲獎400元。
(Ⅰ)求甲和乙都不獲獎的概率;
(Ⅱ)設X是甲獲獎的金額，求X的分佈列和均值 。
解：(Ⅰ)設“甲和乙都不獲獎”為事件A , ……………………………………………………1分
則P(A)= ，
答：甲和乙都不獲獎的概率為 . …………………………………………………………………5分
(Ⅱ)X的所有可能的取值為0，400，600，1000，…………………………………………………6分
P(X=0)= , P(X=400)= , P(X=600)= ,
P(X=1000)= , ……………………………………………………………………10分
∴X的分佈列為
X 0 400 600 1000
P
…………………………………11分
∴E(X)=0× +400× +600× +1000× =500(元).
答: 甲獲獎的金額的均值為500(元). ……………………………………………………………13分
18. (本題13分)已知函式 ， .
(Ⅰ)若曲線 在點(1，0)處的切線斜率為0，求a,b的值;
(Ⅱ)當 ，且ab=8時，求函式 的單調區間，並討論函式在區間[-2，-1]上的最小值.
解：(Ⅰ)函式h(x)定義域為{x|x≠-a}，……………………………………………………………1分
則 ， …………………………………………………3分
h(x)在點(1，0)處的切線斜率為0，
即 ,解得 或 ……………………6分
(Ⅱ)記 (x)= ，則 (x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),
ab=8，所以 ， (x≠-a),
,
令 ，得 ，或 , …………………………………………………8分
因為 ， 所以 ，
故當 ，或 時， ，當 時， ，
函式 (x)的單調遞增區間為 ，
單調遞減區間為 , ……………………………………………………………………10分
, , ，
① 當 ，即 時, (x)在[-2,-1]單調遞增,
(x)在該區間的最小值為 ， ………………………………………11分
② 當 時,即 ,
(x)在[-2, 單調遞減, 在 單調遞增，
(x)在該區間的最小值為 ，………………………………………………12分
③當 時,即 時,
(x)在[-2,-1]單調遞減, (x)在該區間的最小值為 ，………13分
綜上所述，當 時，最小值為 ;當 時，最小值為 ;當 時，最小值為 . (不綜述者不扣分)
19.(本題13分)已知以原點為對稱中心、F(2,0)為右焦點的橢圓C過點P(2， )，直線 ：y=kx+m(k≠0)交橢圓C於不同的兩點A、B。
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)是否存在k的值，使線段AB的垂直平分線經過點Q(0,3)，若存在求出 k的取值範圍，若不存在，請說明理由。
解：(Ⅰ)設橢圓C的方程為 ，由題意
，解得 ， ，所以橢圓C的方程為 . ……………………5分
(Ⅱ)假設存在斜率為k的直線，其垂直平分線經過點Q(0,3)，
設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點為N(x0,y0),
由 得 , ……………………………………………6分
，所以 ,……………7分
,
， , …………………………………………8分
線段AB的垂直平分線過點Q(0,3)，
，即 ， ， ………………………………………10分
，
整理得 ，顯然矛盾 不存在滿足題意的k的值。……………………………13分
20.(本題14分)設滿足以下兩個條件的有窮數列 為n(n=2,3,4,…,)階“期待數列”：
① ;
② .
(Ⅰ)分別寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數列”;
(Ⅱ)若某2k+1( )階“期待數列”是等差數列，求該數列的通項公式;
(Ⅲ)記n階“期待數列”的前k項和為 ，
試證：(1) ; (2)
解：(Ⅰ)數列 為三階期待數列…………………………………………………………1分
數列 為四階期待數列,……………………………………..…..3分(其它答案酌情給分)
(Ⅱ)設等差數列 的公差為 ，
，
所以 ，
即 ， ………………………………………………………………………4分
當d=0時,與期待數列的條件①②矛盾， ……………………………………………………………5分
當d>0時,據期待數列的條件①②得：
由 得 ，
…………………………7分
當d<0時，
同理可得
由 得 ，
………………………8分
(Ⅲ)(1)當k=n時，顯然 成立;…………………………………………………9分
當k
，
即 ，
