一、集合(jihe)有關概念
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為一個集合，其中每一個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明：(1)對於一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入一個集合時，僅算一個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋
記作 a∈A ，相反，a不屬於集合A 記作 aA
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然後用一個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分類：
1.有限集 含有有限個元素的集合
2.無限集 含有無限個元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝ 二、集合間的基本關係 1.“包含”關係—子集 注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A 2.“相等”關係(5≥5，且5≤5，則5=5) 例項：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
結論：對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等於集合B，即：A=B
① 任何一個集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那麼 AC
④ 如果AB 同時 BA 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
二、集合的運算
1.交集的定義：一般地，由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.
記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集。記作：A∪B(讀作”A並B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交集與並集的性質：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集與補集
(1)補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即 )，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或餘集)
記作： CSA 即 CSA ={x xS且 xA}
(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。
(3)性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A= ⑶(CUA)∪A=U
三、函式的有關概念
1.函式的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函式.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變數，x的取值範圍A叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合{f(x)| x∈A }叫做函式的值域.
注意：○2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;○3 函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.
定義域補充
能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等於零; (2)偶次方根的被開方數不小於零; (3)對數式的真數必須大於零;(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於於1. (5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域。)
2. 構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域
再注意：(1)構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等(或為同一函式)(2)兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。相同函式的判斷方法：①表示式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
值域補充(1)、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函式 y=f(x),(x ∈A)的圖象.
C上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的'每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2) 畫法
A、描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點P(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.
B、圖象變換法(請參考必修4三角函式)
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函式的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4.快去了解區間的概念
(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.
5.什麼叫做對映
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個對映。記作“f：A B”
給定一個集合A到B的對映，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關係一般是不同的;③對於對映f：A→B來說，則應滿足：(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
6. 常用的函式表示法及各自的優點：
○1 函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函式圖象的依據;○2 解析法：必須註明函式的定義域;○3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函式的定義域;化簡函式的解析式;觀察函式的特徵;○4 列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵.
注意啊：解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖象法：便於量出函式值
補充一：分段函式 (參見課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用一個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況.(1)分段函式是一個函式，不要把它誤認為是幾個函式;(2)分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集.
補充二：複合函式
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的複合函式。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函式單調性
(1).增函式
設函式y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1
如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：○1 函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質;
○2 必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1，x2;當x1
(2) 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(3).函式單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
(B)圖象法(從圖象上看升降)_
(C)複合函式的單調性
複合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：
函式 單調性
u=g(x) 增 增 減 減
y=f(u) 增 減 增 減
y=f[g(x)] 增 減 減 增
注意：1、函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修裡學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?
8.函式的奇偶性
(1)偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式.
(2).奇函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函式.
注意：○1 函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質;函式可能沒有奇偶性,也可能既是奇函式又是偶函式。
○2 由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變數(即定義域關於原點對稱).
(3)具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.
總結：利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：○1 首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱;○2 確定f(-x)與f(x)的關係;○3 作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函式;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函式.
注意啊：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件.首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或藉助函式的圖象判定 .
9、函式的解析表示式
(1).函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
(2).求函式的解析式的主要方法有：待定係數法、換元法、消參法等，如果已知函式解析式的構造時，可用待定係數法;已知複合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍;當已知表示式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函式表示式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10.函式最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函式的性質(配方法)求函式的最大(小)值○2 利用圖象求函式的最大(小)值○3 利用函式單調性的判斷函式的最大(小)值：如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
