世界盃足球賽小組賽，每個小組4個隊進行單循環比賽，每場比賽勝隊得3分，敗隊得0分，平局時兩隊各得1分。小組賽完以後,總積分最高的兩隊出線進入下輪比賽,如果總積分相同,還要按小分排序。問:(1)一個隊至少要積幾分才能保證本隊一定出線?(2)若有一隊只積3分,這個隊有可能出現嗎?
解 (1)一個隊至少要積7分才能保證出線。
∵4個隊單循環比賽共有C42= 6場比賽,每場比賽後兩隊得分之和或者為2分(即打平),或者為3分(有勝負)。
∴6場比賽後各隊的得分和不超過18分。
∴若一個隊得7分,剩下的3個隊得分和不超過11分,不可能再有兩個隊的得分大於等於7分。這個隊必出線。
又如果一個隊得6分,因有可能還有兩個隊的'得分均為6分,而小分比該隊高,該隊就不可能出線了。
如果一個隊積3分,仍然有可能出線的。
當6場比賽都是平局,每一個隊都得3分,這時兩個小分最高的隊就可以出線。由上面例題可以看出,運用邏輯推理的數學思想方法可以解決世界盃出線的問題。這是數學思想方法在實際問題中應用的最簡單的範例。
一般地説,數學思想是人們對數學內容的本質認識,是對數學知識和數學方法的進一步抽象和概括,屬於對數學規律的理性認識的範疇。而數學方法是解決數學問題的手段,具有行為規則的意義和一定的可操作。同一個數學成果,當用它去解決別的問題時,就稱之為方法;當論及它在數學體系中的價值和意義時,則稱之為思想。欲將數學思想與數學方法嚴格區分開來是很困難的,因此,我們常對兩者不加區分,而統稱為數學思想方法。
數學是從實際生活中抽象概括出來的,因此,數學思想方法能夠遷移到任何場合,可以應用於各行各業,可被廣泛運用於處理和解決各種實際問題。隨着中國足球職業聯賽的進行,越來越多的人都在關注足球比賽。筆者採編了關於足球比賽規則的題目以饗讀者,其中也不乏一些數學中重要且常用的思想方法,如:邏輯推理方法、數學模型方法(MM方法)、分類的方法等。
