共面向量定理是數學學科的基本定理之一,那它該怎麼被證明呢?證明的過程是怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的證明向量共面內容,希望大家喜歡。
證明向量共面的方法一已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線
但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?
寫詳細點怎麼做謝謝了~明白後加分!!!
我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性,取一個不在ABCD所在平面的O,這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD,那麼b+c+d必定等於1。
(證明:設O在該平面上的投影為P,那麼對平面上任何一點X,OX=OP+PX,然後取X=A、B、C、D代你給的關係式並比較OP分量即可。)
你給的右端向量都反向,所以2x+3y+4z=-1。
充分不必要條件。
如果有三點共線,則第四點一定與這三點共面,因為線和直線外一點可以確定一個平面,如果第四點在這條線上,則四點共線,也一定是共面的。
而有四點共面,不一定就其中三點共線,比如四邊形的四個頂點共面,但這四個頂點中沒有三個是共線的。
“三點共線”可以推出“四點共面”,但“四點共面”不能推出“三點共線”。因此是充分不必要條件
任取3個點,如果這三點共線,那麼四點共面;如果這三點不共線,那麼它們確定一個平面,考慮第四點到這個平面的距離。方法二A、B、C、D四點共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無關。
證明向量共面的方法二已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線
,但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?
寫詳細點怎麼做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。
由O的.任意性,取一個不在ABCD所在平面的O,這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD,那麼b+c+d必定等於1。
(證明:設O在該平面上的投影為P,那麼對平面上任何一點X,OX=OP+PX,然後取X=A、B、C、D代你給的關係式並比較OP分量即可。)
你給的右端向量都反向,所以2x+3y+4z=-1。
4Xa-Yb+Yb-Zc+ Zc-Xa=0
∴ Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)
由共面判定定理知它們共面。
簡單的說一個向量能夠用另外兩個向量表示,它們就共面。
證明向量共面的方法三1.若向量e1、e2、e3共面,
(i)其中至少有兩個不共線,不妨設e1,e2不共線,則e1,e2線性無關,e3可用e1,e2線性表示,即存在實數λ,μ,使得e3=λe1+μe2,於是
λe1+μe2-e3=0.
即存在三個不全為零的實數λ,μ,υ=-1,使得
λe1+μe2+υe3=0”。
(ii)若e1,e2,e3都共線,則其中至少有一個不為0,不妨設e1≠0,則存在實數λ,使得e2=λe1.於是λe1-e2=0,即存在三個不全為零的實數λ,μ=-1,υ=0,使得λe1+μe2+υe3=0”.
2.存在三個不全為零的實數λ,μ,υ,使得λe1+μe2+υe3=0”,不妨設λ≠0,
就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,
於是e1,e2,e3共面。