一、梯形的定義、性質及判定：
1.定義：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形.兩腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一個角是直角的梯形叫做直角梯形.
2.分類：梯形分為一般梯形和特殊梯形，特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形.
3.等腰梯形：(1)定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)性質：等腰梯形的腰相等，同一底上的兩個內角相等，等腰梯形的對角線相等。
(3)判定方法：①兩腰相等的梯形是等腰梯形;
②同一底上的兩個內角相等的'梯形是等腰梯形;
③對角線相等的梯形是等腰梯形.
二、三角形、梯形的中位線：
1. 三角形中位線(1)定義：連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
(2)定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。
2.梯形中位線(1)定義：連線梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。
(2)定理：梯形中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半。
三、研究梯形問題的主要方法：
將梯形問題通過作輔助線轉化成三角形、平行四邊形或矩形來解決。
與些同時，學生應當理解並掌握梯形常用的七種輔助線：1.平移一腰;2.過頂點作高;3.平行一條對角線;4.延長兩腰相交於一點;5.過一腰中點和頂點作直線;6.過一腰的中點作另一腰的平行線;7.作梯形的中位線。
常見考法
(1)考查梯形的有關概念，梯形的一些有關計算(如求梯形的角、高以及面積);
(2)考查梯形中位線、梯形的對角線，以及梯形的常見輔助線的添法;
(3)有關梯形的拼圖問題以及梯形為背景的實際問題在段考、會考中也有體現。
誤區提醒
(1)誤認為梯形只有等腰梯形與直角梯形兩種，而實質上這兩種只是梯形的一個特殊情況;(2)對等腰梯形判定定理把握不準，忽視了“同一底”這一前提條件。
【典型例題】(2010年安徽省模擬)如圖，在梯形ABCD中AD//BC,BD=CD,且∠ABC為銳角，若AD=4 ,BC=12，E為BC上的一點，當CE分別為何值時，四邊形ABED是等腰梯形?直角梯形?寫出你的結論，並加以證明。
解：當CE=4時，四邊形ABCD是等腰梯形
在BC上擷取CE=AD,連線DE、AE.
又∵AD//BC, ∴四邊形AECD是平行四邊形
∴AE=CD=BD
∵BE=12-4=8>4, 即BE>AD
∴AB不平行於DE∴四邊形ABED是梯形
∵AE//CD,CD=BD, ∴∠AEB=∠C=∠DBE
在△ABE和△DEB中
AE=DB, ∠AEB=∠DBE,BE=EB
△ABE≌△DEB(SAS) , ∴AB=DE
∴四邊形ABED是等腰梯形
當CE=6,四邊形ABED是直角梯形
在BC上取一點E,使得EC=BE=BC=6,連線DE,
∵BD=CD,∴DE⊥BC
又∵BE≠AD,AD//BE, ∴AB不平行於DE
∴四邊形ABDE是直角梯形。
