正數和負數
⒈正數和負數的概念
負數：比0小的數 正數：比0大的數 0既不是正數，也不是負數
注意：①字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a表示負數時，-a是正數；當a表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷）
②正數有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號是正號。
2.具有相反意義的量
若正數表示某種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量，比如：
零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃
3.0表示的意義
⑴0表示“ 沒有”，如教室裡有0個人，就是說教室裡沒有人；
⑵0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數。如：
（3） 0表示一個確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準，比如以海平面為基準，則0米就表示海平面。
有理數
1.有理數的概念
⑴正整數、0、負整數統稱為整數（0和正整數統稱為自然數）
⑵正分數和負分數統稱為分數
⑶正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。
理解：只有能化成分數的數才是有理數。①π是無限不迴圈小數，不能寫成分數形式，不是有理數。②有限小數和無限迴圈小數都可化成分數，都是有理數。3，整數也能化成分數，也是有理數
注意：引入負數以後，奇數和偶數的範圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8?也是偶數，-1,-3,-5?也是奇數。
2.有理數的分類
⑴按有理數的意義分類 ⑵按正、負來分 正整數
整數0 正有理數正分數
有理數有理數0 （0不能忽視）
負整數
分數負有理數負分數
總結：①正整數、0統稱為非負整數（也叫自然數）
②負整數、0統稱為非正整數
③正有理數、0統稱為非負有理數
④負有理數、0統稱為非正有理數
數軸
⒈數軸的概念
規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。
注意：⑴數軸是一條向兩端無限延伸的直線；⑵原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不
可；⑶同一數軸上的單位長度要統一；⑷數軸的三要素都是根據實際需要規定的。
2.數軸上的點與有理數的關係
⑴所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右邊的點表示，負有理數可用原點左邊的點表示，0用原點表示。
⑵所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關係。（如，數軸上的點π不是有理數）
3.利用數軸表示兩數大小
⑴在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；
⑵正數都大於0，負數都小於0，正數大於負數；
⑶兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。
4.數軸上特殊的最大（小）數
⑴最小的自然數是0，無最大的自然數；
⑵最小的正整數是1，無最大的正整數；
⑶最大的負整數是-1，無最小的負整數
5.a可以表示什麼數
⑴a>0表示a是正數；反之，a是正數，則a>0；
⑵a<0表示a是負數；反之，a是負數，則a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=0
相反數
⒈相反數
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數，0的相反數是0。
注意：⑴相反數是成對出現的；⑵相反數只有符號不同，若一個為正，則另一個為負；
⑶0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。
2.相反數的性質與判定
⑴任何數都有相反數，且只有一個；
⑵0的相反數是0；
⑶互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=0
3.相反數的幾何意義
在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，並且與原點的距離相等。0的相反數對應原點；原點表示0的相反數。 說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關於原點對稱。
4.相反數的求法
⑴求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號“-”即可求得（如：5的相反數是-5）；
⑵求多個數的和或差的相反數時，要用括號括起來再添“-”，然後化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b）。化簡得-5a-b）；
⑶求前面帶“-”的單個數，也應先用括號括起來再添“-”，然後化簡(如：-5的相反數是-（-5），化
簡得5)
5.相反數的表示方法
⑴一般地，數a 的相反數是-a ，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。
當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）
當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）
當a=0時，-a=0，（0的相反數是0）
絕對值
⒈絕對值的幾何定義
一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。
2.絕對值的代數定義
⑴一個正數的絕對值是它本身； ⑵一個負數的絕對值是它的'相反數； ⑶0的絕對值是0.
可用字母表示為：
①如果a>0，那麼|a|=a； ②如果a<0，那麼|a|=-a； ③如果a=0，那麼|a|=0。
可歸納為①：a≥0，<═> |a|=a （非負數的絕對值等於本身；絕對值等於本身的數是非負數。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正數的絕對值等於其相反數；絕對值等於其相反數的數是非正數。） 經典考題
如數軸所示，化簡下列各數
|a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b+c|
解：由題知道，因為a>0 ，b<0，c<0, a-b="">0, a-c>0, b+c<0，
所以|a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c
3.絕對值的性質
任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a|≥0；
⑶任何數的絕對值都不小於原數。即：|a|≥a；
⑷絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；
⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；
⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；
⑺若幾個數的絕對值的和等於0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）
經典考題
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值
解：因為|a+3|≥0，|2b-2|≥0，|c-1|≥0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0 ，|2b-2|=0 ，|c-1|=0
即a=-3 ,b=1 ,c=1
所以a+b+c=-3+1+1=-1
4.有理數大小的比較
⑴利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；
⑵利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數
大於負數。
5.絕對值的化簡
①當a≥0時， |a|=a ； ②當a≤0時， |a|=-a
6.已知一個數的絕對值，求這個數
一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。如：|a|=5，則a=土5
有理數的加減法
1.有理數的加法法則
⑴同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；
⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值； ⑶互為相反數的兩數相加，和為零；
⑷一個數與零相加，仍得這個數。
2.有理數加法的運算律
⑴加法交換律：a+b=b+a
⑵加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規律：
①互為相反數的兩個數先相加——“相反數結合法”；
②符號相同的兩個數先相加——“同號結合法”；
③分母相同的數先相加——“同分母結合法”；
④幾個數相加得到整數，先相加——“湊整法”；
⑤整數與整數、小數與小數相加——“同形結合法”。
3.加法性質
一個數加正數後的和比原數大；加負數後的和比原數小；加0後的和等於原數。即：
⑴當b>0時，a+b>a ⑵當b<0時，a+b<a ⑶當b=0時，a+b=a
4.有理數減法法則
減去一個數，等於加上這個數的相反數。用字母表示為：a-b=a+(-b)。
5.有理數加減法統一成加法的意義
在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法後，再按照加法法則進行計算。
在和式裡，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的讀法：①按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”
②按運算意義讀作“負8減7減6加5”
6.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：
Ⅰ.把符號相同的加數相結合（同號結合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （將減法轉換成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加號和括號）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符號相同的加數相結合）
=-49+41 （運用加法法則一進行運算）
=-8 （運用加法法則二進行運算）
Ⅱ.把和為整數的加數相結合 （湊整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （將減法轉換成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加號和括號）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和為整數的加數相結合）
=4-10+3.8 （運用加法法則進行運算）
=7.8-10 （把符號相同的加數相結合，並進行運算） =-2.2
Ⅲ.把分母相同或便於通分的加數相結合（同分母結合法） 313217-+-+- 524528
321137原式=(--)+(-+)+(+-) 552248
1=-1+0- 8
1=-1 8-
Ⅳ.既有小數又有分數的運算要統一後再結合（先統一後結合） 312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 483
13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 84834
13121=+3-3+10-1 84834
31112=(3-1)+(-3)+10 44883
12=2-3+10 23
1=-3+13 6
1=10 6 (+0.125)-(-3
Ⅴ.把帶分數拆分後再結合（先拆分後結合） -31617+10-12+4 5112215
